Primitiv rekursiya operatorlari Rekursiv funktsiyalar

plamlar uchun kardinallik tushunchasi to
plam elementlari soni tushunchasiga mos keladi.

Ta'rif. To'plam deyiladi hisoblash mumkin agar u bilan natural sonlar to'plami o'rtasida birma-bir yozishmalar o'rnatish mumkin bo'lsa. (Ya'ni, hisoblanadigan to'plam cheksiz, N to'plamga teng).

(Ya'ni, hisoblanadigan to'plamning barcha elementlarini raqamlash mumkin).

Teng kuch munosabatlarining xususiyatlari.

1) AAA- refleksivlik.

2) AV, keyin VA - simmetriya.

3) AV va VS, keyin AS - tranzitivlik.

Misollar.

1) n → 2n, 2,4,6, ... hatto tabiiydir

2) n → 2n-1, 1,3,5,…-g'alati natural sonlar.

Hisoblanadigan to'plamlarning xususiyatlari.

1. Hisoblanadigan to'plamning cheksiz kichik to'plamlari sanaladi.

Dalil... Chunki A - sanoqli, keyin A: x 1, x 2, ... - A da N harfida ko'rsatiladi.

VA, V: → 1, → 2, ... - V ning har bir elementiga mos keladigan natural sonni qo'ying, ya'ni. B ni N ga xaritaga yozgan. Shuning uchun B sanaladi. Ch.t.d.

2. Sonli (hisoblanadigan) sanaladigan to'plamlar tizimining birlashishi sanaladi.

Misollar.

1. Z butun sonlar to'plamini sanash mumkin, chunki Z to'plami A va B hisoblanadigan ko'pliklarning birlashmasi sifatida ifodalanishi mumkin, bu erda A: 0,1,2, .. va B: -1, -2, -3, ...

2. Ko'p tartibli juftlar ((m, n): m, nZ) (ya'ni (1,3) ≠ (3,1)).

3 (!) ... Ratsional sonlar to'plamini hisoblash mumkin.

Q =. Siz qaytarilmaydigan kasrlar to'plami Q va tartiblangan juftliklar to'plami o'rtasida birma-bir yozishmalar o'rnatishingiz mumkin:

Bu. Q to'plami ((p, q))  ((m, n)) to'plamga teng.

To'plam ((m, n)) - barcha tartiblangan juftliklar to'plami - sanoqli. Shunday qilib, ((p, q)) majmui ham hisobga olinadi va shuning uchun Q ham hisobga olinadi.

Ta'rif. Irratsional son - bu ixtiyoriy cheksiz kasr davriy bo'lmagan kasr, ya'ni  0,  1  2 ...

Barcha kasrli kasrlar to'plami to'plamni hosil qiladi haqiqiy (haqiqiy) raqamlar.

Irratsional sonlar to'plamini sanab bo'lmaydi.

Teorema 1... (0,1) intervaldagi haqiqiy sonlar to'plami sanab bo'lmaydigan to'plamdir.

Dalil... Faraz qilaylik, ya'ni. (0,1) oralig'idagi barcha raqamlarni raqamlash mumkin. Keyin, bu sonlarni cheksiz kasr kasrlari sifatida yozib, ketma -ketlikni olamiz:

x 1 = 0 va 11 a 12 ... a 1n ...

x 2 = 0, a 21 a 22 ... a 2n ...

…………………..

x n = 0, a n 1 a n 2… a nn…

……………………

Endi haqiqiy sonni x = 0, b 1 b 2 ... bn ... deb hisoblang, bu erda b 1 - 11, (0 va 9) dan boshqa har qanday raqam, b 2 - 22 dan boshqa har qanday raqam, (0 va 9),…, Bn - nn dan boshqa har qanday raqam, (0 va 9).

Bu. x (0,1), lekin xx i (i = 1, ..., n) buyon aks holda, b i = a ii. Biz qarama -qarshilikka keldik. Ch.t.d.

Funktsiya y = f (x) qonun (qoida, xaritalash) deyiladi, unga ko'ra, X to'plamning har bir x elementi Y to'plamining bitta va bitta y elementi bilan bog'liq.

X to'plami deyiladi funktsiya doirasi.

Y elementlari to'plami ∈ Y X to'plamida oldindan tasvirga ega bo'lganlar deyiladi funktsiya qiymatlari to'plami(yoki diapazon).

Domen funktsiyalari ba'zan chaqiriladi ko'p ta'riflar yoki ko'p vazifalar vazifalar.

X element ∈ X chaqiriladi funktsiya argumenti yoki mustaqil o'zgaruvchi.
Y element ∈ Y chaqiriladi funktsiya qiymati yoki qaram o'zgaruvchi.

F xaritaning o'zi deyiladi funktsiya xususiyati.

F xarakteristikasi, agar ikkita element va ta'riflar to'plamidan teng qiymatlarga ega bo'lsa, shunday xususiyatga ega:, keyin.

Xarakterli belgi funktsiya qiymati elementi belgisi bilan bir xil bo'lishi mumkin. Ya'ni, siz uni shunday yozishingiz mumkin :. Shuni esda tutish kerakki, y - bu funktsiya qiymatlari to'plamining elementi va bu element y elementi x elementi bilan bog'liq bo'lgan qoidadir.

Funktsiyani hisoblash jarayonining o'zi uch bosqichdan iborat. Birinchi qadamda biz X to'plamdan x elementini tanlaymiz. Bundan tashqari, qoidani foydalanib, Y elementining elementi x elementiga tayinlanadi. Uchinchi bosqichda bu element y o'zgaruvchiga beriladi.

Funktsiyaning o'ziga xos qiymati funktsiya qiymatini uning argumentining tanlangan (xususiy) qiymatida chaqiring.

F funktsiyasining grafigi juftliklar to'plami deb ataladi.

Murakkab funktsiyalar

Ta'rif
Funktsiyalar va berilganlarga ruxsat bering. Bundan tashqari, f funktsiyasining sohasi g funktsiyasining qiymatlar to'plamini o'z ichiga oladi. Keyin g funktsiyasi sohasidagi har bir t element x elementiga mos keladi va bu x y ga mos keladi. Bu yozishmalar deyiladi murakkab funksiya: .

Murakkab funksiya ham deyiladi funktsiyalarning tarkibi yoki superpozitsiyasi va ba'zida shunday belgilanadi:

Matematik tahlilda, odatda, agar funktsiyaning xarakteristikasi bitta harf yoki belgi bilan ko'rsatilgan bo'lsa, u xuddi shu moslikni o'rnatadi. Biroq, boshqa fanlarda, bir xil xarakterga ega, lekin har xil dalillarga ega bo'lgan xaritalashlar boshqacha deb hisoblanadigan boshqa belgi yozish usuli mavjud. Ya'ni, xaritalar boshqacha deb hisoblanadi. Keling, fizikadan misol keltiraylik. Aytaylik, biz momentumning koordinataga bog'liqligini ko'rib chiqayapmiz. Keling, koordinataning o'z vaqtida bog'liqligini bilib olaylik. Keyin impulsning vaqtga bog'liqligi murakkab vazifadir. Ammo qisqartirish uchun u quyidagicha belgilanadi: Ushbu yondashuv bilan va turli xil funktsiyalar mavjud. Xuddi shu dalil qiymatlarini hisobga olsak, ular har xil qiymatlarni berishi mumkin. Matematikada bu belgi qabul qilinmaydi. Agar kamaytirish zarur bo'lsa, unda yangi xarakteristikani kiritish kerak. Masalan . Shunda aniq ko'rinib turibdiki, bu turli xil funktsiyalar.

Yaroqli funktsiyalar

Funktsiyaning maydoni va uning qiymatlari to'plami har qanday to'plam bo'lishi mumkin.
Masalan, sonli ketma -ketlik - bu aniqlanish sohasi natural sonlar to'plami, qiymatlar to'plami haqiqiy yoki murakkab sonlar bo'lgan funktsiyalar.
O'zaro faoliyat mahsuloti ham funktsiyadir, chunki ikkita vektor uchun bitta vektorli qiymat mavjud. Bu erda ta'rif doirasi - mumkin bo'lgan barcha vektor juftlarining yig'indisi. Qiymatlar to'plami - bu barcha vektorlar to'plami.
Mantiqiy ifoda - bu funksiya. Uning ko'lami - bu haqiqiy sonlar to'plami (yoki "0" elementi bilan solishtirish operatsiyasi aniqlangan har qanday to'plam). Qiymatlar to'plami ikkita elementdan iborat - "rost" va "noto'g'ri".

Matematik tahlilda sonli funktsiyalar muhim rol o'ynaydi.

Raqamli funktsiya qiymatlari haqiqiy yoki murakkab sonlar bo'lgan funksiya.

Haqiqiy yoki haqiqiy funktsiya qiymatlari haqiqiy sonlar bo'lgan funktsiyadir.

Maksimal va minimal
Haqiqiy raqamlar taqqoslash operatoriga ega. Demak, haqiqiy funksiyaning qiymatlar to'plami cheklangan bo'lishi mumkin va eng katta va eng kichik qiymatlarga ega bo'lishi mumkin.

Haqiqiy funktsiya deyiladi yuqorida chegaralangan (pastda) agar M raqami bo'lsa, unda quyidagi tengsizlik teng bo'ladi:

.

Raqamli funktsiya deyiladi cheklangan agar M raqami bo'lsa, hamma uchun:

.

Maksimal M (minimal m) f funktsiyasi, ba'zi X to'plamlarida, uning argumentining ba'zi qiymati uchun funktsiyaning qiymati deb ataladi, bu hamma uchun,

.

Yuqori chet yoki aniq yuqori chegara Haqiqiy, yuqori chegarali funksiya-bu qiymatlar oralig'ini yuqoridan chegaralovchi sonlarning eng kichigi. Ya'ni, bu hamma s va har bir kishi uchun shunday argument mavjud bo'lgan s raqamidir, bu funksiyaning qiymati s 'dan oshadi:.

Funktsiyaning yuqori chegarasi quyidagicha ifodalanishi mumkin:
.

Funktsiyaning yuqori chegarasi yuqoridan chegaralanmagan

Pastki qirrasi yoki aniq pastki chegarasi Haqiqiy, pastki chegarali funksiya sonlarning eng kattasi deb ataladi, bu uning qiymatlari diapazonini pastdan cheklaydi. Ya'ni, bu shunday i raqami, hamma uchun va hamma uchun shunday argument borki, funktsiya qiymati i 'dan kichik:.
Funktsiyaning pastki chegarasi quyidagicha ifodalanishi mumkin:
.

Funktsiyaning pastki chegarasi pastdan chegaralanmagan cheksizlik nuqtasidir.

Shunday qilib, bo'sh bo'lmagan X to'plamdagi har qanday haqiqiy funktsiya yuqori va pastki chegaralarga ega. Ammo har bir funktsiya maksimal va minimalga ega emas.

Misol sifatida, ochiq intervalda o'rnatilgan funktsiyani ko'rib chiqing.

Bu intervalda yuqoridan qiymat bilan cheklangan 1 va pastda - qiymat 0 :
Barcha uchun .
Bu funksiyaning yuqori va pastki qirralari bor:
.
Ammo uning maksimal va minimumi yo'q.

Agar biz bir xil funktsiyani segmentda ko'rib chiqsak, u yuqoridan va pastdan chegaralangan, yuqori va pastki qirralarga ega va maksimal va minimalga ega:

Barcha uchun ;

Monoton funktsiyalari

Funktsiyalarning ko'payishi va kamayishi ta'riflari
Funktsiya X haqiqiy sonlar to'plamida aniqlansin. Funktsiya deyiladi keskin oshadi (keskin kamayadi)
.
Funktsiya deyiladi kamaymaydigan (oshmaydigan) agar tengsizlik mavjud bo'lgan barcha narsalar uchun:
.

Monoton funktsiyasining ta'rifi

Funktsiya deyiladi monoton agar u kamaymasa yoki ko'paymasa.

Ko'p qiymatli funktsiyalar

Ko'p qiymatli funktsiyaga misol. Uning shoxlari turli xil ranglar bilan belgilangan. Har bir filial vazifadir.

Funktsiya ta'rifidan kelib chiqqan holda, ta'rif sohasidagi har bir x elementga qiymatlar to'plamidan faqat bitta element beriladi. Ammo shunday xaritalashlar mavjudki, bunda x elementida bir nechta yoki cheksiz tasvirlar mavjud.

Masalan, funktsiyani ko'rib chiqing yoy:. Bu funksiyaning teskarisi sinus va tenglamadan aniqlanadi:
(1) .
Intervalga tegishli bo'lgan x mustaqil o'zgaruvchining berilgan qiymati uchun cheksiz ko'p y qiymatlari bu tenglamani qondiradi (rasmga qarang).

(1) tenglamaning echimlariga cheklov qo'yaylik. Bo'lsin

(2) .

Bunday holda, berilgan qiymatga (1) tenglamaning faqat bitta yechimi mos keladi. Ya'ni, (2) shart ostida (1) tenglama bilan aniqlangan yozishmalar funktsiya hisoblanadi.

(2) shart o'rniga, siz shaklning boshqa shartlarini qo'yishingiz mumkin:
(2.n) ,
bu erda n - butun son. Natijada, har bir n qiymati uchun biz boshqalardan farq qiladigan o'z funktsiyamizga ega bo'lamiz. Ko'p shunga o'xshash funktsiyalar ko'p qiymatli funktsiya... Va (2.n) shartli (1) dan aniqlangan funksiya ko'p qadriyatli funktsiyaning bo'limi.

Bu ma'lum bir to'plamda aniqlangan funktsiyalar to'plami.

Ko'p qiymatli funktsional bo'lim ko'p qiymatli funktsiyaga kiritilgan funktsiyalardan biridir.

Manbalar:

O.I. Jinlar. Matematik tahlil bo'yicha ma'ruzalar. 1 -qism. Moskva, 2004 yil.
L. D. Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. Jild 1. Moskva, 2003 yil.
SM. Nikolskiy. Matematik tahlil kursi. Jild 1. Moskva, 1983 yil.