Проблема Хуа Ло-Кена с простыми числами специального вида §

Проблема Хуа Ло-Кена с простыми числами специального вида
§ 1. Введение
Пусть - представление натурального числа в двоичной системе счисления . Пусть - множество натуральных чисел, двоичные разложения которых содержат четное число единиц, . Пусть

А. О. Гельфонд в 1968 г. доказал (см. [1]), что числа классов и peгyлярно распределены в арифметических прогрессиях.
В 1991 г. автор (см. [2]) получил формулу

где - число делителей числа , - постоянная Эйлера.
В 2010 г. К. Маудюит и Дж. Риват (см. [3]) вывели асимптотическую формулу для числа простых чисел из множества , не превосходящих , главный член которой равен , а остаточный член имеет степенное понижение по сравнению с главным.
В 2014 г. автор (см 4]) получил оценку
, ,
где - простое число, справедливую для любого , а также на основании этой оценки решил тернарную проблему Гольбаха в простых числах из .
В 2019 г. автор (см. [5]) решил аддитивную задачу о числе решений уравнения

в простых числах и натуральных числах таких, что , где - произвольный набор из нулей и единиц.
В настоящей статье продолжаются исследования автора арифметических свойств простых чисел из множества .
В ней решается задача о числе решений уравнения
(1.1)
в простых числах четыре из которых принадлежат а пятое удовлетворяет неравенству
(1.2)
где - константа из промежутка (1, 2].
Асимптотическая формула для числа решений уравнения (1.1) в произвольных простых числах решена Хуа Ло-Кеном [6] в 1938 г.
При И.М. Виноградов (см. [7]) вывел асимптотическую формулу для числа простых чисел, удовлетворяющих неравенству (1.2) и не превосходящих . Другим способом эту же задачу решил Ю. В. Линник (см. [8]).
В 1992 г. С.А. Гриценко (см. [9]) получил асимптотическую формулу для числа простых чисел, удовлетворяющих неравенству (1.2) при любом фиксированном , и решил некоторые аддитивные задачи с такими простыми числами.
В 2003 г. ряд интересных результатов о простых числах, удовлетворяющих неравенству (1.2), при получил М. Е. Чанга (см. [10]).
Сформулируем наш основной результат.
Пусть , - число решений уравнения (1.1) в простых числах .
Пусть число решений уравнения (1.1) в простых числах , a удовлетворяет неравенству (1.2).
ТЕОРЕМА 1. Существует такое, что
(1.3)
ЗАМЕЧАНИЕ. Формула (1.3) является асимптотической со степенным понижением, так как

где


при и в противном случае (см. В [11]).