Psi quydagiga teng bo’lsa

2.2.Lagranj funksiyasi zichligi bilan berilgan sistema uchun variatsion metod bilan parametrlar uchun oddiy difrensial tenglamalarni chiqarish

Psi quydagiga teng bo’lsa

Endi esa lagaranj funksiyasi zichligini quyidagicha yozib olamiz

, , , ,
Va ni hisoblaymiz . Buning uchun Psi funksiyadan vaqt bo’yicha hosila olamiz.

ga teng bo’ladi .Yuqoridagi hosilani Psini qo’shmasiga ko’paytiramiz.
Buning uchun psi qo’shmani yozib olamiz

Endi ko’paytmani bajaramiz

Endi quyidani topib olamiz

Chiqqan ifodamizni

_{Ga ko’paytiramiz}


Kompleks sondan o’zining qo’shmasini ayirilsa faqt mavhum qismi ikkilanib qoladi.

Endi esa (13) ifodani mavhum qismini ajratib olamiz.
va ni hisoblaymiz
Soddalashtirib quyidagi ifodani olamiz.

ni hisoblaymiz

Buning uchun avval Psidan bo’yicha hosila olamiz


ni yozib olamiz

dan x bo’yicha xosila olamiz

_{O’rniga qo’ysak}

Soddalshtirsak ushbu natijani olamiz
(15)
ni hisoblaymiz
ni hisoblaymiz

Buning uchun bizga va kerak bo’ladi



soddalashtirsak quyidagi ifodani olamiz
(16)
ni hisblaymiz




Soddalashtirsak quyidagi ifodani olamiz
(17)
ni hioblaymiz





Endi esa (12) ifodaga natijalarimizni qo’yamiz

(18)
Soddalashtirish maqsadida quyidagi belgilashni kiritamiz


Endi esa lagranj funksiyasini topish uchun lagranj funksiyasi zichligini bo’yicha integrallaymiz

Bu integralni hisoblashdan avval soddalashtirish kiritamiz ya’ni exp juft funksiya bo’lsa unga ko’paytirilgan y ni darajasiga qarab toq yoki juftligini ajuratishimiz mumkin , Toq integrallarini hisoblashimiz shart emas integral olganimizda dan nolga aylanib ketadi .
Demak , toqlarini tashlab yozib olamiz

Integralga olib borib qo’yamiz

Soddalashtirib quyidagicha yozib olamiz

Endi integrallaymiz natijada quyidagi ifoda hosil bo’ladi
(19)
Endi esa ni hisoblaymiz
dan foydalanamiz



O’rniga qo’ysak

Demak bu yerdan ni topsak
kelib chiqadi. (19) chi ifodaga olib borib qo’yamiz

Soddalashtiramiz
(20)
Parametrlari uchun Lagranj funksiyasidan foydalanib difrensial tenglamalar tuzamiz

1) parametr uchun tuzamiz


2) parametr uchun tuzamiz


3) parametr uchun tuzamiz


4) parametr uchun tuzamiz