Пусть функция задана приближенно с ошибкой

Пример 2.5.3 (метод последовательных приближений). Пусть выполнены все условия примера 2.5.2 и, дополнительно, . Определим последовательность по правилу

Покажем, что если существует точное решение уравнения , то


.
В самом деле,

Упражнение 2.5.1. Доказать, что
. (2.5.14)
Разложим (2.5.14) по базису :
.
Следовательно,
.
Упражнение 2.5.2. Доказать, что .
Упражнение 2.5.3. Доказать, что последовательность операторов, п
определяемых равенством , является регуляризирующей и .
В следующем разделе мы рассмотрим один из самых эффективных и наиболее часто применяемых на практике класс методов итеративной регуляризации — градиентные методы.


2.6. Градиентные методы
Скорость пули при низкой температуре сильно зависит от свойств мишени
И. Бродский
Идея замены исходного уравнения (задачи)
(2.6.1)
задачей поиска минимума целевого функционала
(2.6.2)
восходит к работам А. Лежандра [2.51] и К. Гаусса [2.42], предложивших метод наименьших квадратов для решения систем алгебраических уравнений. О. Коши [2.41] разработал метод наискорейшего спуска для решения задачи о минимуме функции переменных. Л. В. Канторович [2.13] предложил решать линейные операторные уравнения гильбертовых пространствах, минимизируя функционал методом наискорейшего спуска, и исследовал его сходимость в случае , наметив путь исследования и для случая . Вместо мы будем использовать более распространенный на практике функционал . Отметим, что в случае градиент функционала равен и его убывание по д означает, что д приближается к решению уравнения
В данном разделе мы кратко изложим общую структуру нескольких градиентных методов решения операторного уравнения и обсудим вопросы сходимости этих методов в случае, когда задача некорректна. Более детально градиентные методы и их применение в обратных задачах изложены в [1].
Структура градиентных методов. Рассмотрим случай, когда , — гильбертовы пространства, — дифференцируемый по Фреше оператор, действующий из в . Решение уравнения будем искать, минимизируя целевой функционал