Qarshi 2023 Mavzu: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish

Oddiy differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash usulini amaliyotda qo‘llash.

Misol_1. (691-son) Dastlabki shartlar bilan qatorning dastlabki bir necha koeffitsientlarini (x 4 inklyuziv koeffitsientigacha) hisoblang.
Dastlabki shartlardan kelib chiqadiki, endi qolgan koeffitsientlarni topamiz:
Misol_2. (696-son) Dastlabki shartlar bilan qatorning dastlabki bir necha koeffitsientlarini (x 4 inklyuziv koeffitsientigacha) hisoblang.
Yechish: Tenglamaning yechimini shaklda izlaymiz
Olingan ifodalarni asl tenglamaga almashtiramiz:
O'ng tomonni darajalar qatori sifatida ifodalab, tenglamaning har ikki tomonidagi x ning bir xil darajadagi koeffitsientlarini tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
Shartga ko'ra, x 4 koeffitsientigacha bo'lgan qator koeffitsientlarini hisoblash kerak bo'lganligi sababli, koeffitsientlarni hisoblash kifoya.
Dastlabki shartlardan shunday va 2. Endi qolgan koeffitsientlarni topamiz:
Shuning uchun tenglamaning yechimi shaklda yoziladi
Misol_3. (№700) Tenglamaning darajali qator ko'rinishidagi chiziqli mustaqil yechimlarni toping. Iloji bo'lsa, elementar funksiyalar yordamida olingan qatorlar yig'indisini ifodalang.
Yechim. Tenglama yechimini ketma-ket ko‘rinishda izlaymiz
Bu qatorni ikki marta differensiallash va uni bu tenglamaga almashtirsak, biz bor
Keling, hosil bo'lgan tenglamadagi qatorning birinchi bir necha shartlarini yozamiz:
X ning bir xil kuchlaridagi koeffitsientlarni nolga tenglashtirib, biz aniqlash uchun tenglamalar tizimini olamiz:
………………………………….
Bu tenglamalardan topamiz
Aytaylik, u holda faqat koeffitsientlar nolga teng bo'lmaydi. Biz buni tushunamiz
Tenglamaning bitta yechimi
Topilganidan chiziqli mustaqil bo'lgan ikkinchi yechim faraz qilish yo'li bilan olinadi. Shunda faqat koeffitsientlar nolga teng bo'lmaydi:
X ning istalgan qiymatini ifodalovchi va yaqinlashuvchi qatorlar analitik funksiyalardir. Shunday qilib, asl tenglamaning barcha yechimlari x ning barcha qiymatlari uchun analitik funktsiyalardir. Barcha yechimlar formula bilan ifodalanadi, bunda S 1, S 2 ixtiyoriy konstantalardir:
Olingan qatorlar yig‘indisini elementar funksiyalar yordamida ifodalash oson bo‘lgani uchun u quyidagicha yoziladi:
Misol_4. (# 711) 2x 2 y "+ (3x - 2x 2) y" - (x + 1) y = 0 tenglamasini yeching.
Yechim. x = 0 nuqtasi bu tenglamaning muntazam singulyar nuqtasidir. Aniqlovchi tenglama tuzamiz: Uning ildizlari l 1 = 1/2 va l 2 = - 1. l = l 1 ildizga mos keladigan asl tenglamaning yechimini ko‘rinishda izlaymiz.
Asl tenglamani almashtirib, bizda mavjud
Demak, kamaytirib, biz olamiz
X ning bir xil kuchlaridagi koeffitsientlarni tenglashtirib, bizda aniqlash uchun tenglamalar mavjud:
y 0 = 1 ni qo'yib, topamiz
Shunday qilib,
l = l 2 ildiziga mos keladigan asl tenglamaning yechimini ko‘rinishda izlaymiz.
Ushbu ifodani asl tenglamaga qo'yib, koeffitsientlarni x ning bir xil darajalariga tenglashtirib, biz olamiz yoki y 0 = 1 ni qo'yib, topamiz.
Asl tenglamaning umumiy yechimini shaklda yozamiz, bu erda va ixtiyoriy doimiylar.
Xulosa
Noma'lum funktsiyalar va ularning hosilalarini o'z ichiga olgan tenglamani birinchisidan yuqoriroq yoki murakkabroq usulda yechish ko'pincha juda qiyin.
So'nggi yillarda bunday differensial tenglamalar tobora ko'proq e'tiborni tortmoqda. Tenglamalar yechimlari ko'pincha juda murakkab va oddiy formulalar bilan ifodalash qiyin bo'lganligi sababli, zamonaviy nazariyaning muhim qismi ularning xatti-harakatlarini sifatli tahlil qilishga bag'ishlangan, ya'ni. Tenglamani yechmasdan, umuman yechimlarning tabiati haqida muhim narsani aytishga imkon beradigan usullarni ishlab chiqish: masalan, ularning barchasi cheklangan yoki davriy xususiyatga ega yoki ma'lum bir tarzda koeffitsientlarga bog'liq. .
Kurs ishi jarayonida differensial tenglamalarni quvvat va umumlashgan darajali qatorlar yordamida integrallash usuli tahlil qilindi.