Qarshi davlat universiteti matematik analiz va algebra kafedrasi

bet	4/5
Sana	10.06.2020
Hajmi	0.95 Mb.
	#116971

1 2 3 4 5

Bog'liq
chiziqli operatorlarning bazi bir tatbiqlari

ya`ni diagonal ko`rinishda bo`ladi.

A matritsa

А

operatorning

}

{

k

e bazisdagi diagonal ko`rinishda bo`lsin, ya`ni (2)

ko`rinishda bo`lsin. U holda (1) o`rinli, demak

k

e bazis vektorlari bu operatorning

xos vektorlari.Teorema isbotlandi.

3-teorema.

А

operatorning

,...,

lar xos qiymatlari bo`lsin. U holda

ularga mos

p

e

e

e

,...,

xos vertorlari o`zaro chiziqli erkli bo`ladi.

Isboti. Induksiya usulidan foydalanamiz.

1

p

da teorema o`rinli. Bu holda

1

e -

noldan farqli vector, chunki noldan farqli bitta vector chiziqli erkli. Faraz qilaylik,

teorema

m ta

m

e

e

e

,...,

vektorlar uchun o`rinli bo`lsin. Bu vektorlarga

1

m

vektorni qo`shaylik, u holda

m

k

k

k

o

e

(3)

bo`lsin.U holda operatorni chiziqli ekanligidan quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

1

.

0

m

k

k

k

Ae

(4)

Shunday qilib,

k

e

xos vektorlar, u holda

k

k

k

e

Ae

Shu sababli (4) quyidagicha yozish mumkin:

m

k

k

k

k

o

e

(5)

(3) tenglikdan

1

1

1

m

k

k

k

m

o

e

(5) tenglikdan ushbu tenglikni ayirib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

)

(

1

m

k

k

k

m

k

o

e

(6)

Shartga ko`ra barcha

k

har xil, ya`ni

0

m

k

. Shu sababli (6) dan olishimizga

ko`ra

m

e

e

e

,...,

vektorlar chiziqli ekanligidan

...

1

m

kelib chiqadi.

Bundan va (3) dan hamda

1

m

e

xos vektor ekanligidan

)

0

(

1

m

e

1

m

kelib

chiqadi. Shunday qilib, (3) tenglikdan biz

...

tenglikni hosil

qilamiz. Bu esa

,...,

,

m

e

e

e

vektorlarni chiziqli erkli ekanligini bildiradi.

Teorema isbotlandi.

Natija. Agar

operatorning xarakteristik ko`phadi

n ta har xil ildizga ega bo`lsa,

u holda biror bazisda

operatorning matritsasi diagonal ko`rinishga bo`ladi.

Haqiqatan ham, qaralayotgan holda isbot qilingan 2-teoremaga ko`ra barcha xos

vektorlari chiziqli erkli va ularni bazis sifatida olish mumkin U holda 1- teoremaga

ko`ra

А

operatorning matritsasi bu bazisda diagonal ko`rinishda bo`ladi.

2.4. Evklid fazoda chiziqli va bir yarim chiziqli formalar.

evklid fazosi va C kompleks tekislik (bir o`lchovli kompleks chiziqli

fazo) bo`lsin. U holda ma`lumki, V ni C ga o`tqazuvchi chiziqli operator chiziqli

forma deyiladi. Ushbu mavzuda

)

,

(

C

V

L

dagi ixtiyoriy

chiziqli forma uchun

maxsus ko`rinish topamiz.

Lemma.

)

(

C

V

L

dagi chiziqli forma bo`lsin, u holda V da chunday yagona

h element mavjudki,

)

,

(

)

(

h

x

x

f

(1)

bo`ladi.

Isboti. h elementni mavjudligini isbotlash uchun V da

n

e

e

e

,...,

bazis tanlab

olamiz.

k

h koordinatasi quyidagicha ifodalangan h elementni qaraymiz:

)

(

k

k

e

f

h

. (2)

Shunday qilib, olishimizga ko`ra

n

k

k

k

e

h

h

n

k

k

k

e

x

x

V dagi ixtiyoriy element bo`lsin.

formaning chiziqli ekanligidan va

(2) tenglikdan foydalanib

n

k

n

k

k

k

k

k

h

x

e

f

x

x

f

)

(

)

(

(3)

ni hosil qilamiz. Ma`lumki, ortonormallangan

}

{

k

e bazisda

n

k

k

k

e

x

x

n

k

k

k

e

h

h

vektorlarning

)

( h

skalyar ko`paytmasi

n

k

k

k

h

x

ga teng. U holda

(3) dan

)

(

)

(

h

x

x

f

tenglikni hosil qilamiz.

h vektorni mavjudligi isbotlandi.

Endi bu vektorning yagonaligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, shunday ikkita

1

h va

2

h vektorlar mavjud bo`lsinki, ular yordamida

)

chiziqli forma (1)

ko`rinishda ifodalansin. U holda ixtiyoriy

x vektor uchun

)

(

)

(

h

x

h

x

, bundan

esa

0

)

(

1

h

h

x

kelib chiqadi. Bu tenglikda

1

h

h

x

deb olib, evklid fazosida

elementni normasi ta`rifidan foydalanib

2

1

h

h

tenglikka kelamiz. Shunday qilib,

1

h

. Lemma isbotlandi.

Ravshanki, lemma V

haqiqiy evklid fazosi,

)

,

(

R

V

L

f

bo`lgan holda ham

o`rinli. Bu yerda

R

haqiqiy to`g`ri chiziq.

Evklid fazosida bir yarim chiziqli formalar va ularni maxsus ifodalanishi.

1-ta`rif. Argumentlari x va y

L

chiziqli fazodagi barcha mumkin bo`lgan vektorlar

bo`lgan

)

(

y

x

B

sonli funksiya bir yarim chiziqli forma deyiladi, agar

dagi

ixtiyoriy

y

x, va z vektorlar va ixtiyoriy kompleks son uchun

)

,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

y

x

B

y

x

B

y

x

B

y

x

B

z

x

B

y

x

B

z

y

x

B

z

y

B

z

x

B

z

y

x

B

(1)

munosabatlar bajarilsa.

1-teorema.

V

y

x

B

)

(

evklid fazosidagi bir yarim chiziqli forma bo`lsin. U holda

)

,

(

V

V

L

da shunday yagona

chiziqli operator mavjudki,

)

(

)

(

Ay

x

y

x

B

(2)

bo`ladi.

Isboti.

V

y

fazoning fiksirlangan elementi bo`lsin. U holda

)

,

(

y

x

B

argumentning chiziqli formasi bo`ladi. Shu sababli oldingi mavzudagi lemmaga

ko`ra V fazodagi shunday bir qiymatli aniqlangan h elementni ko`rsatish

mumkinki,

)

,

(

)

(

h

x

y

x

B

(3)

bo`ladi. Shunday qilib, V har bir y elementga (3) qoida bilan V dagi yagona

h element mos qo`yiladi. Demak, shunday

А

operator aniqlanganki,

Ay

h

bo`ladi. Bu operatorning chiziqli ekanligi (1) xossa va skalyar ko`paytma

xossalaridan kelib chiqadi.

А

operatorning yagona ekanligini isbotlaymiz.

Faraz qilaylik, ikkita

1

A va

2

A operatorlar mavjud bo`lsinki, bu operatorlar

yordamida

)

,

(

y

x

B

forma (2) ko`rinishga kelsin. U holda ravshanki, ixtiyoriy

x va

y lar uchun

)

(

)

(

y

A

x

y

A

x

. Bundan esa

)

,

(

y

A

y

A

x

kelib chiqadi.

Agar bu tenglikka

y

A

y

A

x

deb olsak, u holda

1

2

y

A

y

A

kelib chiqadi. Demak, V dagi ixtiyoriy y element uchun

y

A

y

A

ya`ni

A

A

Teorema isbotlandi.

Natija.

)

(

y

x

B

V evklid fazosidagi bir yarim chiziqli forma bo`lsin. U holda

)

(

V

V

L

da shunday yagona

operator mavjudki,

)

(

)

(

y

Ax

y

x

B

(4)

bo`ladi.

x va

y elementlar V da yotsin va

n

k

k

k

n

j

j

j

e

y

y

e

x

x

lar x va y

elementlarni

}

{

k

e bazisdagi yoyilmasi bo`lsin. Bir yarim chiziqli formaning

ta`rifidan quyidagi munosabatni hosil qilamiz:

n

1

)

(

)

(

)

(

k

j

k

k

j

e

e

B

y

e

e

B

y

x

B

(5)

)

(

k

j

jk

e

e

B

b

, (6)

deb olsak, u holda (5) dan

n

k

j

k

j

jk

y

x

b

y

x

B

)

(

tenglik kelib chiqadi.

)

(

jk

b

B

)

(

y

x

B

bir yarim chiziqli formaning

}

{

k

e bazisdagi matritsasi deyiladi.

Tasdiq.

)

(

y

x

B

bir yarim chiziqli forma

)

(

)

(

y

Ax

y

x

B

(4)

ko`rinishda ifodalansa va

А

operatorning bu bazisdagi A matritsasi

)

(

k

j

a

ga teng

bo`lsa, u holda bu bazisda

k

j

jk

a

b

bo`ladi.

2.5.Evklid fazosidagi o`z-o`ziga qo`shma chiziqli operatorlar.

1-ta`rif.

)

(

V

V

L

dagi

*

A

operator

chiziqli operatorga qo`shma deyiladi, agarda

V dagi ixtiyoriy x va y lar uchun

)

(

)

(

Ay

x

y

Ax

(1)

munosabat bajarilsa.

Ko`rish qiyin emaski,

chiziqli operatorga qo`shma operator dam chiziqli

operator bo`ladi.

1- teorema. Har qanday

chiziqli operator yagona qo`shma operatorga ega.

Qo`shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:

* I

(

B

A

B

A

(

A

A

*)*

(

A

A

(

A

B

AB

2-ta`rif.

)

(

V

V

L

dagi

chiziqli operator o`z- o`ziga qo`shma operator

deyiladi, agarda

A

A*

bo`lsa.

2-teorema.

A

V evklid fazosidagi chiziqli operator bo`lsin, u holda

i

R

iA

A

A

ifodalanish o`rinli, bunda

R

A va

i

A

lar o`z-o`ziga qo`shma bo`lgan

operatorlar, ular mos ravishda

A

operatorning haqiqiy va mavhum qismi

deyiladi.

A

operatorlar kommutasiyalanadigan operatorlar deyiladi, agarda

BA

AB

bo`lsa.

3-teorema.

A

o`z-o`ziga qo`shma bo`lgan operatorlarning

ko`paytmasi o`z-o`ziga qo`shma operator bo`lishi uchun

operatorlar

kommutasiyalanadigan bo`lishi zarur va etarli.

4- teorema. Agar

o`z-o`ziga qo`shma operator bo`lsa, u holda ixtiyoriy

V

x

uchun

)

(

x

Ax

skalyar ko`paytma haqiqiy son bo`ladi.

5-teorema. O`z-o`ziga qo`shma operatorning xos qiymatlari haqiqiy sonlar

bo`ladi.

6-teorema. Agar

А

operator o`z-o`ziga qo`shma operator bo`lsa, u holda

Download 0.95 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4 5