Qutb koordinatalar sistemasi

Qutb koordinatalar sistemasi

Tekislikda qutb deb ataluvchi nuqta va qutb o’qi deb ataluvchi nur berilgan bo’lsin. U holda tekislikdagi nuqtaning holati:

1) qutb burchagi;
radius-vektor
lar bilan aniqlanadi (1-chizma).
va lar orasidagi bog’lanishni ifodalovchi tenglamalarni o’rganishda musbat va manfiy qiymatlarni qabul qiladigan va qutb koordinatalarni qarash mumkin.
Agar qutb sifatida to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasining boshini, qutb o’qi uchun esa o’qini qabul qilsak, u holda nuqtaning Dekart koordinatalari ( ) va qutb koordinatalari ( ; ) orasidagi bog’lanish quyidagicha bo’ladi:
, ,
,
Agar ellips, giperbola va parabola fokusini qutb deb olib, qutb o’qi esa qutbga eng yaqin uchiga qaratilgan yo’nalishga teskari yo’naltirilgan fokal simmetriya o’qini olsak, bu egri chiziqlarning qutb koordinatalaridagi tenglamlari bir xil

ko'rinishda bo’ladi. Bu yerda - eksentrisitet, -parametr. Ellips va giperbola uchun bo’ladi.


Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. 
   To’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida berilgan nuqtaning qutb koordinatalar sistemasidagi koordinatalari topilsin.
   

Yechish: Dekart koordinatalaridan qutb koordinatalariga o’tish formulasidan foydalanamiz:

, .
Demak, . Shunday qilib, .
2. Nuqtaning qutb koordinatalari ga teng. Bu nuqtaning to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasidagi koordinatalari topilsin.
Yechish: Masala shartiga ko’ra . Bularni qutb koordinatalaridan Dekart koordinatalar sistemasiga o’tish formulasiga qo’yamiz:
Demak, .
3. nuqtalarning o’rinlari topilsin.
Yechish: 1) nurni chizamiz va nuqtadan bu nur bilan ga teng burchak hosil qiluvchi to’g’ri chiziqni o’tkazamiz hamda undan 2 birlik masofa ajratamiz. Natijada koordinatalari bo’lgan nuqta hosil bo’ladi (2-chizma).
2 ) nuqta olib undan nur o’tkazamiz va nuqtadan bu nur bilan ga teng burchak hosil qiluvchi to’g’ri chiziq o’tkazamiz hamda bu to’g’ri chiziqda 5 birlikka teng kesma ajratamiz. Bu kesmaning oxiri nuqtadan iborat bo’ladi (3-chizma).

3) nuqtani olib undan nur o’tkazamiz va nuqtadan bu nur bilan ga teng burchak hosil qiluvchi to’g’ri chiziq o’tkazamiz hamda unda 4 birlikka teng kesma ajratamiz. Bu kesmaning oxiri nuqtadan iborat bo’ladi (4-chizma).

4) Ushbu chiziq tenglamasini qutb koordinatalaridagi tenglama bilan almashtirilsin.
Yechish: Dekart koordinatalaridan qutb koordinatalariga o’tish formulasidan foydalanamiz. Buning uchun berilgan tenglamaga va larni qo’yamiz.
, , .


Mustaqil yechish uchun topshiriqlar
1. Qutb koordinatalar sistemasida , , nuqtalarni tasvirlang.
2. A , , C , nuqtalarni tasvirlang
3. chiziq yasalsin.
4. Quyidagi chiziqlar yasalsin:
1) ; 2) ; 3) .
5. Quyidagi tenglamalar bilan berilgan ikkinchi tartibli egri chiziqlarni kanonik tenglamalari yozilsin:
1) ; 2) ; 3)
Javob: 1) ; 2) ; 3) .
6. Ushbu
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
chiziqlarning tenglamalari qutb koordinatalaridagi tenglamalari bilan almashtirilsin.
Javob: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .