Рабочая тетрадь к лабораторной работе №19

ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ (ВЯЗКОСТЬ)

1. 
   Длина свободного пробега. Эффективный диаметр молекулы.
   

Рассмотрим идеальный газ, в котором пренебрегают силами взаимодействия между молекулами. Тогда можно считать, что молекулы между столкновениями движутся прямолинейно. В результате столкновения направление скорости молекулы изменяется, после чего она снова движется прямолинейно. Траектория движения молекулы в газе представляет собой, таким образом, ломаную линию, подобную, изображенной на рис. 1.

Среднее число столкновений z, испытываемых молекулой газа в единицу времени, можно вычислить из весьма простых соображений. Молекулы будем считать твердыми упругими шариками радиуса r. Пусть одна молекула движется по прямой в газе, в котором частицы равномерно распределены по объему, так что в единице объема находится n молекул. Предположим сначала, что все молекулы, кроме одной, (она на рис. 2 заштрихована) находятся в покое. Тогда движущаяся молекула, пройдя за время t путь, равный произведению ее средней скорости ^ на время t, столкнется со всеми молекулами, которые окажутся на ее пути. Это будут те молекулы, центры которых расположены в объеме цилиндра длиной t и диаметром D, вдвое большем диаметра молекулы d (рис .2). Траектория молекулы "зигзагообразная", как это показано на рис. 3, однако, результат рассуждений не изменится, если мысленно выпрямить ломаный цилиндр, изображённый на рис. 3. Объём V этого цилиндра равен V=ctD²/4=cd²t, а число молекул в нём N= nV = cd²nt. Таким образом, число столкновений z, которые испытывает движущаяся молекула в единицу времени, будет равно
. (1)
Входящий в формулу (1) диаметр d молекулы называется ЭФФЕКТИВНЫМ ДИАМЕТРОМ ( d_эф ). Он равен минимальному расстоянию на которое сближаются при столкновении центры двух молекул. Молекулы идеального газа подобны упруго сталкивающимся шарам, поэтому эффективный диаметр равен удвоенному радиусу молекулы (рис. 4). В случае реального газа при сближении молекул начинают действовать силы отталкивания, поэтому в момент их столкновения d_эф  2r.
Следует учесть, что на самом деле движется не одна, а все молекулы газа. Это значит, что в выражении (1) для Z должна входить не просто скорость молекулы относительно стенок сосуда, а скорость с_отн. относительно тех молекул, с которыми она сталкивается. Приняв во внимание максвелловское распределение молекул по скоростям, можно доказать, что эти скорости связаны соотношением:
с_отн. =  . (2)
Тогда для среднего числа столкновений молекулы в единицу времени получим формулу:
z =   d ²_эф n . (3)
Зная число столкновений, испытываемых одной молекулой в единицу времени, легко вычислить среднюю длину свободного пробега , которая определяется средним расстоянием, которое проходит молекула между двумя последовательными столкновениями с другими молекулами. За время t молекула проходит некоторый зигзагообразный путь, равный t . Изломов на этом пути столько, сколько произошло столкновений, так как каждый излом вызван столкновением. Тогда среднюю длину свободного пробега можно вычислить, разделив пройденный за время t путь на число столкновений z за это время:


, (4)
или, подставив вместо z его значение из (3), получим для длины свободного пробега выражение:
, (5)
т.е. чем больше концентрация молекул n и больше перекрываемая каждой молекулой площадь (чем больше d²_эф) тем меньше свободный пробег.
Концентрация n молекул газа, давление газа p и его термодинамическая температура Т связаны с основным уравнением состояния идеального газа
p = n к T, (6)
где к = 1,3810^-23 Дж/К - постоянная Больцмана; Т - термодинамическая температура по Кельвину.
С учетом выражения (6) выражение (5) примет вид:
. (7)
Следовательно, длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению газа.