Рациональное применение полупроводниковых приборов требует знания физических принципов их работы

СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

Для расчета концентраций свободных носителей заряда, электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне, для определения их зависимостей от ширины запрещенной зоны и температуры необходимо использовать статистику Ферми-Дирака.

Пусть в кристалле единичного объема в интервале энергий от W до W+dW имеется ρ(w) разрешенных энергетических уровней.

Чтобы определить число частиц dn , энергия которых лежит в определенном интервале dW, необходимо знать функцию распределения плотности энергетических уровней ρ(w) и вероятность нахождения частиц на этих энергетических уровнях ƒ_n(w):

dn= ρ(w)· ƒ_n(w)·dW. (5)

Из теории твердого тела известно, что если имеется набор энергетических уровней, то вероятность того, что электрон находится на энергетическом уровне с энергией W при данной температуре

описывается статистической функцией Ферми-Дирака:

ƒ_n(w)=, (6)

где k - постоянная Больцмана, равная 1,38 10^-23 Дж /К; Т - абсолютная температура; kТ - средняя тепловая энергия электрона; W_F - параметр системы, называемый уровнем Ферми.

Это распределение Ферми-Дирака справедливо в условиях теплового равновесия.

Рассмотрим вид функции распределения Ферми-Дирака при различных температурах в металле.

Из формулы для ƒ_n(w) следует, что при Т=0 в интервале энергий 0≤WF имеем ƒ_n(w)= 1 и ƒ_n(w)= 0 для W>W_F. Это означает, что все энергетические уровни с энергией, меньшей энергии Ферми, заняты электронами, а уровни, лежащие выше уровня Ферми, полностью свободны, не заняты электронами. Между заполненными и свободными уровнями резкая граница электронного распределения. Уровень Ферми (энергия Ферми) в этом случае определяет максимально возможную энергию электронов в металле при температуре абсолютного нуля.

















а б
Рис. 13. Энергетическая диаграмма (а) и функции распределения Ферми-Дирака для металла (б)
При Т > 0 часть электронов в результате теплового движения перейдет на уровни с энергией, большей энергии Ферми. Поэтому часть уровней, находящихся ниже уровня Ферми, окажется свободной. Число частиц, перешедших на более высокие

энергетические уровни, равно количеству образовавшихся свободных состояний в области WF. При Т>0 граница электронного распределения не будет резкой, появляется размытая зона распределения электронов, в пределах которой уровни могут быть заняты и не заняты. Ниже интервала размытия все уровни заняты, вероятность их занятия электронами равна 1 (для температуры Т' они располагаются ниже уровня W₂ на рис.13,а). Выше интервала размытия все уровни свободны, вероятность их занятия электронами равна 0 (все уровни выше W₁ при температуре Т' на рис. 13,а). В пределах размытой зоны электронного распределения функция Ферми-Дирака принимает значения от 0 до 1 (кривая 1, рис. 13,б). Причем кривая ƒ_n(w) располагается симметрично относительно уровня Ферми, который в этом случае соответствует среднему значению размытой зоны электронного распределения. Если W= W_F, то ƒ_n(w_F)=, т.е. уровень Ферми - энергетический уровень, вероятность заполнения которого при температуре, отличной от абсолютного нуля, равна 0,5. При увеличении температуры (Т">Т′) интервал размытой зоны электронного распределения растет (W₃ –W₄ на рис. 13,а против W₁ –W₂ для температуры Т' ), так как при более высокой температуре T" электроны смогут переходить на более высокие энергетические уровни и с более низких энергетических уровней, чем при температуре Т′. Функция Ферми-Дирака представлена на рис.13,б кривой 2. Уровень Ферми по-прежнему соответствует среднему значению размытой зоны электронного распределения.

Можно провести аналогию с механической моделью - сосудом с жидкостью. Встряхивание сосуда приводит к размытию той резкой границы распределения "жидкость-воздух", которая имеется в состоянии покоя. Действие температуры на распределение электронов в твердом теле эквивалентно действию силы на встряхиваемый сосуд.

Произведем оценку области изменения функции распределения ƒ_n(w) для Т>0. Для энергий, отличающихся от W_F на ± kT, значение ƒ_n(w) составляет 0,27 и 0,73. При W-W_F= ±2kT значения ƒ_n(w) равны 0,118 и 0,882, а при W-W_F=±3kT - 0,047 и 0,953. Из этих данных следует, что вероятность заполнения состояний заметно отличается от единицы или нуля вблизи значения W=W_F лишь в пределах (2-3) кТ.