Радиус сходимости. Вычислим его

R - радиус сходимости. Вычислим его:


R
= = = =
'-'


x₁ = -2 - Limit(x·cos(x)^2/((x+1)·cos(x+1)^2),x,∞,dir='-') = -2-Limit(x·cos(x)²/((x+1)·cos(x+1)²)0+0)


x₂ = -2 + Limit(x·cos(x)^2/((x+1)·cos(x+1)^2),x,∞,dir='-') = -2+Limit(x·cos(x)²/((x+1)·cos(x+1)²)0+0)

Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-2-Limit(x*cos(x)^2/((x+1)*cos(x+1)^2),x,∞,dir='-');-2+Limit(x*cos(x)^2/((x+1)*cos(x+1)^2),x,∞,dir='-'))
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x=-2-Limit(x*cos(x)^2/((x+1)*cos(x+1)^2),x,∞,dir='-')
Получаем ряд:
=
'-'
== == = =
'-'

Исследуем сходимость ряда при помощи признаков сходимости.


∑n=1∞0

Коэффициент общего члена не влияет на сходимость или расходимость ряда, поэтому выносим его за пределы суммы:


0

Сумма этого ряда стремится к ∞. Ряд расходится.
Следовательно, ряд:
∑n=1∞0
расходится.
Ряд расходится, значит, x=-2-Limit(x*cos(x)^2/((x+1)*cos(x+1)^2),x,∞,dir='-') - точка расходимости.
При x=-2+Limit(x*cos(x)^2/((x+1)*cos(x+1)^2),x,∞,dir='-') получаем ряд:
=
'-'
== == =
'-'

Исследуем его сходимость при помощи признаков сходимости.


∑n=1∞0

Коэффициент общего члена не влияет на сходимость или расходимость ряда, поэтому выносим его за пределы суммы:


0

Сумма этого ряда стремится к ∞. Ряд расходится.
Следовательно, ряд:
∑n=1∞0
расходится.
Значит, x=-2+Limit(x*cos(x)^2/((x+1)*cos(x+1)^2),x,∞,dir='-') - точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при:
x∈ (-2-Limit(x·cos(x)^2/((x+1)·cos(x+1)^2),x,∞,dir='-');-2+Limit(x·cos(x)^2/((x+1)·cos(x+1)^2),x,∞,dir='-'))