RaschetMke. Doc

3 РАСЧЁТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ, РАБОТАЮЩИХ
НА РАСТЯЖЕНИЕ

1. 
   Расчёт плоских ферм
   

Ферма - это стержневая система, стержни которой между собой соедине­ны с помощью шарниров.
Если все стержни и нагрузки расположены в одной плоскости, то ферма называется плоской (рис. 3.1).

Рисунок 3.1
Особенность фермы по сравнению со ступенчатым стержнем состоит в том, что стержни по отношению друг к другу повёрнуты. В связи с этим необходимо вводить две системы координат: локальную - местную для каждого стержня и глобальную - общую для всех стержней.
Для ступенчатого стержня была получена матрица жёсткости в таком виде:







Рисунок 3.2

где угол наклона стержня
к оси X.
Аналогично

В матричной форме это запи­шется так

где матрица направляющих косинусов

В этом случае вектор деформаций запишется так:

Теперь матрица |В| имеет вид
Теперь необходимо получить такую же матрицу жёсткости элемента, но в глобальной системе координат.
Под действием продольных сил I-й узел (рис. 3.2, точка А) получит пе­ремещение в локальной системе координат , а в глобальной системе коор­динат

После подстановки в выражение (1.6) получим


- матрицы жёсткости конечного элемента в локальной и


глобальной системах координат.
Векторы напряжений и усилий соответственно запишутся

1. 
   Расчёт пространственных ферм
   

По аналогии с плоскими фермами выполняется расчёт пространственных ферм.
Вводим две системы координат: локальную - ось x и глобальную - оси x, y, z . Теперь каждый узел имеет три степени свободы, и перемещения узлов в глобальной системе координат запишутся так:





3.3 Пример


На стержневую систему (рис. 3.3) действует сила P=500 kH. Определить усилия и напряжения в стрежнях, приняв площади всех стержней одинаковыми и равными F=30 см².


Рисунок 3.3


Решение. Вводим глобальную систему координат x y . Нумеруем узлы и элементы.
Матрицы жёсткости стержней оп­ределяем по формуле (3.6).
Элемент 1: его связи 2-4, ось x идёт от узла 2 к узлу 4, следовательно, угол между осями x и x равен 0. Мат­рица направляющих косинусов для это­го элемента запишется так

Вычисляем матрицу жёсткости элемента


Матрица жёсткости конечного элемента в глобальной системе координат, как и для плоской фермы, вычисляется по формуле (3.6), но теперь матрица на­правляющих косинусов имеет вид





°
Элемент 2: стержень 2-3, a = -90 (направление оси от узла 2 к 3).
°
Элемент 3: стержень 2-1, a = 135 .
Матрица жёсткости каждого элемента должна быть симметричной, а по главной диагонали должны стоять положительные коэффициенты.
Переходим к формированию матрицы жёсткости конструкции. Так как узлов 4, а каждый узел в глобальной системе координат имеет две степени сво­боды, то матрица жёсткости конструкции имеет размерность 8х8.
При заполнении матрицы жёсткости конструкции, необходимо учиты­вать, какие узлы входят в элемент. Например, элемент 1. В него входят узлы 2 и

4, следовательно, необходимо коэффициенты матрицы жёсткости этого элемен­та заносить в столбцы и строки 2 и 4.
В правый столбец заносим значения нагрузок. Так как нагрузка приложе­на только во втором узле, то только в этот узел заносим величины


Нагрузки взяты с минусом, так как они направлены против положитель­ного направления осей.
Теперь учитываем граничные условия. Узлы 1, 3 и 4 закреплены, следо­вательно


После учёта граничных условий получим




умножив вторую строку на 3, имеем


Сложив строки, найдём


Подставив во второе уравнение значение , найдём


Определяем усилия в стержнях по формуле (3.8)




Покажем усилия в стержнях (если усилие отрицательное, то показано к узлу, а положительное - от узла) (рис. 3.4).
Проверка:


Погрешность 0,1%, следовательно, усилия найдены, верно. Определим напряжения в стержнях:




Рисунок 4.1