Ratsional (kasr) sonlar va ular ustida amallar Reja: ratsional sonlarga misollar Ratsional sonlarni o'nlik shaklda

Ratsional (kasr) sonlar va ular ustida amallar
Reja:
1 Ratsional sonlarga misollar
2 Ratsional sonlarni o'nlik shaklda
3 Ratsional sonlarning xossalari

Ratsional sonlarga misollar: 3/4, 8/5, -16/3 va quyidagi rasmda ko'rinadiganlar. Ratsional sonda kvota ko'rsatilgan, agar kerak bo'lsa, keyinroq buni amalga oshirish mumkin.

Shakl har qanday ob'ektni aks ettiradi, yanada qulaylik uchun yumaloq. Agar biz uni o'ng tomonda bo'lgani kabi 2 ta teng qismga bo'lishni istasak, bizda ikkita yarmi qoldi va ularning har biri 1/2 ga teng.
Uni 4 ta teng qismga bo'lish orqali biz 4 ta bo'lakka ega bo'lamiz va ularning har biri markazdagi rasmda bo'lgani kabi 1/4 ga teng. Va agar uni 6 ta teng qismga bo'lish kerak bo'lsa, har bir qism 1/6 ga teng bo'ladi, biz uni chapdagi rasmda ko'rib turibmiz.
Albatta, biz uni tengsiz ikkita qismga bo'lishimiz mumkin, masalan, 3/4 qismini saqlab, 1/4 qismini tejashimiz mumkin. 4/6 qism va 2/6 qism kabi boshqa bo'limlar ham mumkin. Muhimi shundaki, barcha qismlarning yig'indisi 1 ga teng.

Shu tarzda, ratsional sonlar bilan oziq-ovqat, pul, er va boshqa narsalar kabi narsalarni qismlarga bo'lish, hisoblash va tarqatish mumkinligi ravshan. Va shuning uchun raqamlar bilan bajariladigan operatsiyalar soni kengaytiriladi.

Ratsional sonlarni o'nlik shaklda ham ifodalash mumkin, buni quyidagi misollarda ko'rish mumkin:
1/2 = 0,5
1/3 = 0,3333…..
3/4 = 0,75
1/7 = 0,142857142857142857………
Keyinchalik biz bir shakldan ikkinchisiga qanday o'tishni misollar bilan ko'rsatamiz.
Ratsional sonlarning xossalari
To'plamini Q harfi bilan belgilaydigan ratsional sonlar quyidagi xususiyatlarga ega:
-Q tarkibiga N natural sonlar va Z butun sonlar kiradi.
Shuni hisobga olsak, har qanday raqam ga Uni o'zi va 1 o'rtasidagi miqdor sifatida ifodalash mumkin, ratsional sonlar orasida tabiiy sonlar va butun sonlar ham borligini ko'rish oson.
Shunday qilib, 3 tabiiy sonini kasr shaklida yozish mumkin, shuningdek -5:

3 = 3/1
-5= -5/1 = 5/-1 = -(5/1)

Shu tarzda, Q - bu raqamlarning ko'pligi, juda zarur bo'lgan narsalarni o'z ichiga oladi, chunki "dumaloq" raqamlar barcha mumkin bo'lgan operatsiyalarni tavsiflash uchun etarli emas.
-Ratsional sonlar qo'shilishi, chiqarilishi, ko'paytirilishi va bo'linishi mumkin, amalning natijasi ratsional son: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Ratsional sonlarning har bir jufti orasida har doim boshqa ratsional sonni topish mumkin. Aslida, ikkita ratsional sonlar orasida cheksiz ratsional sonlar mavjud.

Masalan, 1/4 va 1/2 mantiqiy asoslar orasida 3/10, 7/20, 2/5 (va yana ko'p narsalar) mantiqiy asoslari mavjud bo'lib, ularni o'nlik sifatida ifodalash orqali tekshirish mumkin.
-Har qanday ratsional sonni quyidagicha ifodalash mumkin: i) butun son yoki ii) cheklangan (qat'iy) yoki davriy o'nlik: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0.16666666 ……
- Xuddi shu sonni cheksiz ekvivalent kasrlar bilan ifodalash mumkin va ularning barchasi Q ga tegishli. Keling, ushbu guruhni ko'rib chiqaylik:

Ularning barchasi o'nlik kasrni ifodalaydi 0.428571 ...

-Bir xil sonni ifodalovchi barcha ekvivalent kasrlardan, eng sodda bo'lgan kamaytirilmaydigan kasr kanonik vakil shu raqamdan. Yuqoridagi misolning kanonik vakili 3/7.

Ratsional sonlarga misollar

-Dasturiy kasrlar, ularning soni ajratuvchidan kam bo'ladigan qismlar:

-Nomeratori maxrajdan kattaroq notekis kasrlar:

-Tabiiy sonlar va butun sonlar:
- Ekvivalent kasrlar:

Ratsional sonning o'nli tasviri

Numeratorni maxrajga ajratganda ratsional sonning o’nli shakli topiladi. Masalan:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375
1/9 = 0.11111…
6/11 = 0.545454…
Birinchi ikkita misolda o'nli kasrlar soni cheklangan. Bu shuni anglatadiki, bo'linish tugagach, 0 ning qolgan qismi olinadi.
Boshqa tomondan, keyingi ikkitasida o'nli kasrlar soni cheksizdir va shuning uchun ellipsis qo'yiladi. Ikkinchi holatda o'nliklarda naqsh mavjud. 1/9 kasrda 1 raqami cheksiz takrorlanadi, 6/11 da esa 54 ga teng.
Bu sodir bo'lganda, o'nli kasr davriy deb aytiladi va quyidagi karet bilan belgilanadi:
O'nli kasrni kasrga aylantiring
Agar u cheklangan o'nlik bo'lsa, vergul shunchaki o'chiriladi va maxraj birlikka aylanadi, so'ngra o'nli kasrda qancha nol bo'lsa, shuncha nolga teng bo'ladi. Masalan, o‘nli kasrni kasrga aylantirish uchun quyidagicha yozing:

1.26 = 126/100

Keyin olingan fraktsiya maksimal darajada soddalashtiriladi:
126/100 = 63/50
Agar o'nli kasr cheklanmagan bo'lsa, avval nuqta aniqlanadi. Olingan kasrni topish uchun quyidagi amallar bajariladi:
-Numerator - bu raqam (vergul yoki karetsiz) va uning qismi orasidagi ayirish olib bormaydi sirkumfleks aksenti.
- maxraji tamsayt bo'lib, sirkumfleks ostida qancha son mavjud bo'lsa, shuncha 9 va raqamlar qancha bo'lsa, shuncha 0 bo'ladi. kasr qismi sirkumfleks ostida bo'lmaganlar bor.
0.428428428 ... kasr sonini kasrga aylantirish uchun ushbu protsedurani bajaramiz.
-Birinchidan, davr aniqlanadi, bu takrorlanadigan ketma-ketlik: 428.
-Shunda operatsiya raqamni vergul yoki aksansiz ayirish uchun amalga oshiriladi: sirkumfleksga ega bo'lmagan qismdan 0428, ya'ni 0 ga teng. Bu shunday qoladi 428 - 0 = 428.

-Birlovchi, sirkumfleks ostida 3 ta raqam borligini va barchasi sirkumfleks ostida ekanligini bilgan holda tuzilgan. Shuning uchun maxraj 999 ga teng.

-Faqat kasr hosil bo'ladi va iloji bo'lsa soddalashtiriladi:
0.428= 428/999
Ko'proq soddalashtirish mumkin emas.
Ratsional sonlar bilan amallar
- Qo'shish va ayirish
Xuddi shu maxrajga ega kasrlar
Kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lganda, ularni qo'shish va / yoki olib tashlash juda oson, chunki numeratorlar shunchaki algebraik tarzda qo'shiladi va natijada ayirmachining qo'shimchalari bir xil bo'ladi. Nihoyat, iloji bo'lsa, u soddalashtirilgan.

Misol
Quyidagi algebraik qo'shimchani bajaring va natijani soddalashtiring:

Olingan fraktsiya allaqachon kamaytirilmaydi.
Har xil maxrajli kasrlar
Bunday holda, qo'shimchalar bir xil maxrajga ega bo'lgan ekvivalent fraktsiyalar bilan almashtiriladi va keyin allaqachon tavsiflangan protsedura bajariladi.
Misol
Natija soddalashtirilib, quyidagi algebraik raqamlarni qo'shing.
Bosqichlar:
5, 8 va 3 maxrajlarning eng kichik umumiy ko'paytmasini (LCM) aniqlang:
lcm (5,8,3) = 120
Bu soddalashtirmasdan hosil bo'lgan kasrning maxraji bo'ladi.

-Har bir kasr uchun: LKMni maxrajga bo'linib, sonni ko'paytiring. Ushbu operatsiyaning natijasi, tegishli belgi bilan, kasrning numeratoriga joylashtiriladi. Shu tarzda, asl nusxaga teng bo'lgan, lekin LCM ajratuvchi sifatida olinadi.

Masalan, birinchi kasr uchun numerator quyidagicha tuzilgan: (120/5) x 4 = 96 va biz quyidagilarni olamiz:
Qolgan fraktsiyalar uchun xuddi shunday davom eting:

Nihoyat, ekvivalent kasrlar ularning belgisini unutmasdan almashtiriladi va numeratorlarning algebraik yig'indisi bajariladi:

(4/5) + (14/8) – (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) – (440/120) + (240/120) =
= (96+210-440+24) / 120 = -110 / 120 = -11/12
- ko'paytirish va bo'linish
Ko'paytirish va bo'lish quyidagi ko'rsatmalarga muvofiq amalga oshiriladi:
Qanday bo'lmasin, ko'paytirish kommutativ ekanligini unutmaslik kerak, ya'ni omillar tartibi mahsulotni o'zgartirmaydi. Bu bo'linish bilan sodir bo'lmaydi, shuning uchun dividend va bo'luvchi o'rtasidagi tartibni hurmat qilish kerak.
1-misol
Quyidagi operatsiyalarni bajaring va natijani soddalashtiring:
a) (5/3) x (8/15)
b) (-4/5) ÷ (2/9)
Javob
(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8
Javob b
(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5
2-misol
Luizada 45 dollar bor edi. Uning o'ndan bir qismini kitob va futbolkada qolgan narsalarning 2/5 qismini sotib olishga sarfladi. Luizada qancha pul qoldi? Natijani kamaytirilmaydigan kasr sifatida ifodalang.