Real va natural sonlar tizimining xususiyatlari

---

REAL VA NATURAL SONLAR TIZIMINING XUSUSIYATLARI
Buning bir qancha sabablari bor. Bu sanoq tizimlari fanda ham, kundalik hayotda ham markaziy oÿrin
tutadi. Haqiqiy sonlar uzunlik, maydon, hajm va massa kabi uzluksiz miqdorlarni o'lchash uchun
ishlatiladi. Narsalarni hisoblash uchun natural sonlardan foydalaniladi. Siz, shubhasiz, haqiqiy sonlar
bilan bog'liq algebra masalalarini hal qilishda ko'p tajribaga ega bo'lgansiz, lekin siz qo'llagan
natijalaringizning ko'pini isbotlamagan bo'lishingiz mumkin. Arifmetikani (masalan, kasrlarni kamaytirish
haqida o'ylab ko'ring) bajarayotganda, tabiiy sonlar haqidagi ko'plab asosiy faktlardan, masalan, tub
sonlarga ajratish kabilardan, aynan nimadan foydalanayotganingizni yoki nima uchun bu haqiqat
ekanligini bilmasdan muntazam ravishda foydalanasiz. Kelgusi darslaringizda siz geometriya, ilg‘or
algebra va ehtimol ilg‘or sonlar nazariyasini o‘rganish imkoniyatiga ega bo‘lasiz, ammo siz tanish bo‘lgan
asosiy algebra va arifmetika ta’limingizning qolgan qismida muhokamasiz qabul qilinadi. Bir kun ko'p
vaqt o'tmay, ko'plaringiz ushbu asosiy fanlardan dars berasiz. Ushbu kurs ular qurilgan poydevorni
chuqur o'rganishingiz uchun yagona imkoniyat bo'lishi mumkin.
1-QISM: ALGEBRAIK XUSUSIYATLAR
Ko'pgina teoremalardan dastlab haqiqiy va natural sonlar mavjudligini isbotlashingiz so'raladi.
Natural sonlar, barchamizga ma'lumki, haqiqiy sonlarning kichik to'plamidir. Bir tomondan, bu ularni
yanada cheklangan qiladi; bo'lish va ayirish kabi ba'zi amallar ular ustida aniqlanmagan. Boshqa
tomondan, natural sonlarning juda oÿziga xos tuzilishga ega boÿlgan kichikroq (lekin baribir cheksiz)
toÿplam boÿlishi ular haqida umuman haqiqiy sonlar uchun toÿgÿri kelmaydigan baÿzi universal
tasdiqlarni isbotlash imkonini beradi. Tarixiy sabablarga ko'ra natural sanoq sistemasi nazariyasi
oddiygina sonlar nazariyasi deb ataladi. Sonlar nazariyasidagi ko‘plab teoremalar oson bayon qilingan,
ammo hayratlanarli va sanoq sistemasida oddiygina hisoblashdan kelib chiqadigan murakkab
naqshlarning mavjudligi eng qadimgi davrlardan beri odamlarni hayratda qoldirgan sirdir.
Ushbu sanoq tizimlarini ishlab chiqishda bizda ikkita variant mavjud. Birinchisi, natural sonlardan
boshlash va avval ratsional sonlarni, keyin esa ulardan haqiqiy sonlarni qurishdir. Ikkinchisi esa haqiqiy
sanoq sistemasidan boshlanib, natural sonlarni ma'lum bir kichik to'plam sifatida belgilashdir. Aftidan,
odamlar bizning til qobiliyatimizga o'xshab, uzluksiz miqdorlar, masalan, uzunlik va maydon, va ob'ektlar
soni kabi diskret miqdorlar haqida tabiiy sezgiga ega va ikkala yondashuv ham yaxshiroq ekanligi aniq
emas. Ikkala yondashuvning ham o'ziga xos fazilatlari bor va biz ikkalasini ham muhokama qilamiz.
Umuman haqiqiy sanoq sistemasidan boshlashning asosiy fazilati shundaki, mantiqiy nuqtai nazardan
bu yondashuv tezroq, sodda va osonroqdir. Shunday qilib, biz birinchi navbatda olamiz.
Umuman olganda, matematik teoremalar ba'zi bir to'plamdagi ob'ektlarga taalluqlidir, masalan,
haqiqiy sonlar (algebrada bo'lgani kabi), natural sonlar (sonlar nazariyasidagi kabi) yoki ba'zi
geometriyadagi nuqtalar yoki chiziqlar (tekislik, sferik, boshqa yuzadagi) yoki undan yuqori o'lchamda).
Ushbu ob'ektlar aksiomalar deb ataladigan ba'zi xususiyatlarga bo'ysunishi kerak, bu ular haqidagi
natijalarni isbotlash uchun zarurdir. To'g'ri, qat'iy dalillarni yozish uchun biz bu xususiyatlar nima
ekanligini bilishimiz va aniq va aniq aytishimiz kerak. Bundan tashqari, bu aksiomalarning asosini
tekshirish muhim, shunda biz shunchaki havodan tuzilgan qoidalar bilan o'yin o'ynayotgandek
tuyulmasligimiz kerak.
1
Machine Translated by Google

---

2 HAQIQIY VA NATURAL SONLAR TIZIMINING XUSUSIYATLARI 1-QISM: ALGEBRAIK XUSUSIYATLAR
1. Aksiomalar (dastlabki taxminlar)
Haqiqiy sanoq sistemasining algebraik xossalari. R ustida ikkilik + va · amallar mavjud, shundayki: (1) Bu
amallar assotsiativdir:
• ÿx, y, z ÿ R,(x + y) + z = x + (y + z). • ÿx,
y, z ÿ R,(x · y) · z = x · (y · z).
(3) x ÿ R o'zgarmas son bo'lsin. X + y = 0 xossasiga ega faqat bitta element mavjudligini isbotlang. (Faraz
qilaylik, x + y = 0 va x + z = 0. y = z ekanligini ko'rsating).
Haqiqiy sonlar to'plami R ikkita ikkilik amallar, qo'shish va ko'paytirish bilan birga keladi.
(3) Har bir operatsiya alohida identifikatsiya elementiga ega:
• 0 ÿ R elementi mavjud bo'lib, ÿx ÿ R, x + 0 = x. • 1 ÿ R elementi mavjud
bo'lib, 1 = 0 va ÿx ÿ R, x · 1 = x bo'ladi.
(2) Bu amallar kommutativdir: • ÿx, y ÿ R, x +
y = y + x. • ÿx, y ÿ R, x · y = y ·
x.
Yuqoridagi sifatlar texnik bo'lmagan tilda ikkilik operatsiyaning umumiy ta'rifini tashkil qiladi. Ushbu atama
ushbu fazilatlarni qamrab olganligi sababli, biz ularni alohida aksiomalar sifatida sanab o'tmaymiz.
(1) 0 ning R ning yagona elementi ekanligini isbotlang, shundayki ÿx ÿ R, x + y = x. (Faraz qilaylik, y ÿ R ÿx
ÿ R, x + y = x xossasiga ega. y = 0 ekanligini isbotlash uchun y + 0 ni hisobga oling).
Biz hozir sanab o'tadigan qo'shish va ko'paytirishning xossalari algebraik xossalar deb ataladi.
(2) Xuddi shunday, 1 ning R ning yagona elementi ekanligini isbotlang, shundayki ÿx ÿ R, x · y = x.
Ikkilik operatsiya to'plamning har bir juft elementi, bu holda haqiqiy sonlar, ko'pincha operatsiya natijasi deb
ataladigan bir xil to'plamning elementi bilan bog'lanadi. Qo'shish holatida bu natija juftlikning yig'indisi deb
ataladi; ko'paytirish holatida ularning mahsuloti deyiladi.
ÿx, y, z ÿ R, x · (y + z) = (x · y) + (x · z).
2. Mashqlar
Har bir haqiqiy son juftligi yig'indisi va ko'paytmasiga ega. Ikkita haqiqiy a va b sonlari berilgan bo‘lsa, ularning
yig‘indisi a + b va ko‘paytmasi a · b bilan belgilanadi yoki chalkashlik bo‘lmasa, oddiygina ab bilan belgilanadi.
Yig'indi va ko'paytma raqamlarning o'zi tomonidan noyob tarzda aniqlanganligi sababli, raqamlarni ifodalash
uchun ishlatiladigan belgilar natijaga ta'sir qilmaydi: a = b va c = d bo'lsa, a + b = c + d va ab = cd. Ushbu
turdagi almashtirishni amalga oshirishda dalilda yozma asos berish shart emas.
Aynan shu amallar R-ni sanoq sistemasiga aylantiradi (shunchaki to'plamdan farqli o'laroq). Biz bu operatsiyalarni
aniqlashga urinmaymiz; biz shunchaki ular mavjud deb hisoblaymiz va ma'lum aksiomalarga bo'ysunamiz.
(4) Barcha mumkin boÿlgan
teskarilar mavjud: • Rdagi har bir x uchun, Rda x + y = 0 boÿladigan ay
mavjud. • R da 0 dan farq qiladigan har bir x uchun, R da shunday ay mavjudki, x · y = 1. .
Sinfda biz ushbu operatsiyalarning ma'nosini uzluksiz miqdorlar bilan ishlashda tajribamiz va fikrlash
jarayonimizning abstraktsiyalari sifatida muhokama qilamiz, bu biz ular haqida taxmin qiladigan aksiomalar
uchun asos yaratadi.
(5) Operatsiya · + ga taqsimlanadi:
Machine Translated by Google

---

HAQIQIY VA NATURAL SONLAR TIZIMINING XUSUSIYATLARI 1-QISM: ALGEBRAIK XUSUSIYATLAR 3.
xw
x
x
x
In
In
va
Bilan
yz
xz+bu yz
1
va
1
(9) Buni isbotlang
va
Biz x ning teskari qo'shimchasini x ga bog'langan bu yagona son deb belgilaymiz va uni -x bilan
belgilaymiz. Ayirishni x ÿ y = x + (ÿy) bilan aniqlaymiz.
va
y ning multiplikativ teskarisini bildiradi va o'z navbatida tengdir
(6) Oldingi natijadan 0 ning ko'paytma teskarisi yo'q degan xulosaga keling. (Aksiomalar buni tasdiqlamaydi.
Ular noldan boshqa har qanday son uchun koÿpaytma teskari borligini kafolatlaydi, lekin nol uchun bitta
yoÿq degan teskari fikr emas.)
=
x
y ni 1 ning multiplikativ identifikatsiya xususiyati bilan, shuning uchun 1 ni boshqa raqamga bo'lish uchun
uchinchi belgimiz biz ilgari ko'paytma teskari uchun tanlagan yozuvga mos keladi. (Bu izchillik muhim!
Agar bir xil belgi ikki xil raqamni ifodalashi mumkin bo'lsa, ko'p holatlarda bizning ma'nomiz kontekstdan
tushunarsiz bo'lar edi.)
+
va
va uni bilan belgilang
1
1
Biz x ning multiplikativ teskarisini x bilan bog'langan ushbu noyob son deb belgilaymiz. Biz bo'linishni
aniqlaymiz
.
(8) Buni isbotlang. (Maslahat: kommutativ xususiyatdan foydalaning.)
1 ·
= x ·
ta'rifi bo'yicha, qaerda
(5) Har qanday x ÿ R uchun 0 · x = 0 ekanligini isbotlang. (Maslahat: distributiv xususiyatdan foydalaning.)
·
=
(4) Xuddi shunday, x = 0 ÿ R berilgan, xy = 1 bo'ladigan faqat bitta element mavjudligini isbotlang.
x ÷ y = x/y =
1
,
,
. (Maslahat: distributiv xususiyatdan foydalaning.)
1 ÷ y = 1 y
=
1
(7) (ÿ1)x = ÿx ekanligini isbotlang. (Tenglamaning chap tomoni x ning ko‘paytmasini va 1 ga teskari
qo‘shimchani, o‘ng tomoni esa x ning qo‘shimchasini teskarisini bildiradi. Bular apriori bir xil son emas.
Ularning mavjudligi isbot talab qiladi.)
y Bo'lish natijasi uchun odatda ishlatiladigan bir nechta belgilarga e'tibor bering. Biz odatda ikkinchi yoki
uchinchi belgidan foydalanamiz. (Ushbu tenglik zanjiridagi oxirgi ibora koÿpaytmaning teskari koÿpaytma
va allaqachon postulatsiya qilingan operatsiyasi nuqtai nazaridan taÿrifni beradi.) Shuni ham yodda
tutingki, har qanday y = 0 ÿ R uchun,
Bilan
Machine Translated by Google