Referat assimetrik shifrlash algoritimlari va ularning klasssifikatsiyalari. Farg‘ona 2023 yil

Eyler funksiyasi

Eyler funksiyasiga asosan: har qanday ikkita p va q tub sonva har qanday n va m butun sonlar uchun, n=pq va 0 < 𝑚 < 𝑛, va ixtiyoriy k butun son uchun quyidagi munosabat bajariladi.
𝑚 ^{𝑘𝜑(𝑛)+1}= 𝑚𝑘^{(𝑝−1)(𝑞−1)+1}≡ 𝑚𝑚𝑜𝑑𝑛,Bu yerda 𝜑(𝑛) Eyler funksiyasi bo‘lib, n dan kichik va n bilan o‘zaro tub bo‘lgan musbat butun son. Eyler funksiyasi 𝜑(𝑛) bilan o‘zaro tub bo‘lgan e son tanlab olinadi va talab qilinayotgan munosabat quyidagi shart asosida bajariladi. 𝑒𝑑 = (𝑛) + 1.
Bu quyidagi munosabat bilan ekvivalent:
𝑒𝑑 ≡ 1 𝑚𝑜(𝑛),
𝑑 ≡ 𝑒−1 𝑚𝑜(𝑛),
e va d, 𝜑(𝑛) modul bo‘yichao‘zaro teskari son, ya’ni
gcd(𝜑(𝑛), 𝑒) = 1.
Yuqorida keltirilgan parametrlar asosida RSA sxemasini quyidagi tasniflash mumkin:p va q - tub sonlar (maxfiy, tanlab olinadi), n=pq (ochiq, his oblanadi), shunday e, gcd(𝜑(𝑛), 𝑒) = 1, 1 < 𝑒, 𝜑(𝑛) (ochiq, tanlab olinadi), 𝑑 ≡ 𝑒−1 𝑚𝑜𝑑𝜑(𝑛) (maxfiy, hisoblanadi).
Maxfiy kalit {d,n} dan, ochiq kalit esa {e,n} dan iborat bo‘ladi. Faraz qilaylik A foydalanuvchi ochiq kalitini elon qildi va B foydalanuvchi unga M xabarni jo‘natmoqchi. B foydalanuvchi = 𝑀^𝑒 (𝑚𝑜𝑑𝑛)hisoblab Cni jo‘natadi. Shifrlangan matnni qabul qilgan A foydalanuvchi 𝑀 = 𝐶 𝑑 (𝑚𝑜𝑑𝑛) yordamida deshifrlab dastlabki ochiq matnga ega bo‘ladi.Quyida keltirilgan misolda RSA algoritmi amaliy qo‘llash ko‘rsatilgan.
1. Ikkita tub son tanlab olinadi, p=7 va q=17.2. n=p*q=7*17 hisoblanadi.
3. Eyler funksiyasi hisoblanadi (𝑛) = (𝑝 − 1)(𝑞 − 1) = 96.
4. Eyler funksiyasi 𝜑(𝑛) = 96 bilan o‘zaro tub bo‘lgan va undan kichkina bo‘lnag e tanlab olinadi; bizni, misolimizda e=5.
5. de=1mod 96 vad<96shartni qanoatlantiruvchi dsoni topiladi. d=77, 77*5=385=4*96+1.
Natijada ochiq kalit KU={5,119} va yopiq kalit KR={77,119}hosil bo‘ladi. Yuqoridagi 9isolda ochiq matn qiymati M=19 olingan. Shifrlash formulasiga ko‘ra ochiq matn qiymati ochiq kalit qiymati yordamida darajaga ko‘tarilib, n modul bo‘yicha qiymati olinadi, ya’ni 19 soni 5 darajaga ko‘tariladi, natijada 2476099 hosil bo‘ladi. Natijani 119 ga bo‘linsa, qoldiq 66 ga teng bo‘ladi. 19 ⁵= 66 𝑚𝑜𝑑 119 va shuning uchun ham shifrlangan matn 66 ga teng bo‘ladi. Deshifrlash uchun esa shifrlangan matn qiymati maxfiy kalit qiymati yordamida darajaga ko‘tarilib, n modul bo‘yicha qiymati olinadi, ya’ni 66 ⁷⁷= 19 𝑚𝑜𝑑 119 amalni hisoblanadi va dastlabki ochiq matn qiymatiga ega bo‘linadi, ya’ni 19 ga. Hisobot quyidagi ma’lumotlardan tarkib topgan bo‘lishi lozim: Nazariy qismda keltirilgan algoritmning dasturiy ta’minotidan foydalanish jarayonidagi olingan rasmlari va ularga izoh.
Yaratilgan dasturiy ta’minotning dasturiy kodi. Faraz qilaylik:
• B tomon A tomonga 𝑀=15 ma’lumotni shifrlash yubormoqchi: Buning uchun B tomon A tomonninga ochiq kaliti juftini 𝑁,𝑒 = (33,3)oladi.
–Shifrmatnni quyidagicha hisoblaydi: 𝐶𝐶=𝑀^e mod N =15³=3375 = 9 mod 33
Uni A tomonga yuboradi.
A tomon 𝐶=9 shifrmatnni deshifrlash uchun:
–shaxsiy kalit d=7 dan foydalanadi
𝑀=𝐶^𝑑 mod 𝑁=9⁷ = 4782969 = 14498 ∗ 33 + 15 = 15 mod 33.
Ochiq kalitli kriptotizimlarda kalit uzunligi
Simmetrik va ochiq kalitli kriptotizimlar bir xil bardoshlikka ega bo‘lganda ulardagi kalitlarning uzunliklari.

Simetrik shifrlash algaritimi	RSA algaritimi (p va q sonlari)
56 bit	512 bit
80 bit	1024 bit
112 bit	2048 bit
128 bit	3072 bit
192 bit	7680 bit
256 bit	15360 bit