Referat differensial tenglamalarning geologiyada qo’llanilishi

р
k₁ = - +
2
р ² р
- q , k₂ = - -
4 2
^р - q , 4



2
(9)

Bu holda (1) tenglama ikkita chiziqli erkli xususiy yechimlarga ega: y₁=e^kx, y₂= e^{k2 x} e ^kx,
k₁x

ravshanki
^у_{1 =} е
= e^{(k1 -k2 ) x} №const, chunki (k №k ).

2
_{у еk2 x} 1 2

1. 
   tenglamaning umumiy yechimi esa:
   

у = С е^k1x + С е^{k2 x}
ko„rinishda bo„ladi, bu yerda

1 2
C₁,C₂-ixtiyoriy haqiaiy o‟zgarmaslar.
Misol. Yuqorida xususiy yechimlaridan foydalanilgan (2) tenglamani qaraylik:

1
у ^// - 5у ^/ + 6 у = 0.
Endi y₁=e^2x, y₂= e^3x xususiy yechimlarni qanday topishni ko„rsatamiz. Bu tenglamaning harakteristik tenglamasini tuzamiz: k² -5k+6=0.
Xarakteristik tenglama ildizlari k₁=2, k₂=3 ekani ravshan. Ularga mos chiziqli erkli

xususiy yechimlar: y₁=e^2x va y₂= e^3x bo„ladi, umumiy yechim esa
у = С е^{2 x} + С е^3x (C₁, C₂

1 2
–ixtiyoriy o„zgarmas sonlar).

2. 
   Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va o„zaro teng (k₁₌k₂).
   

Bu holda (9) dan k = k
= - ^р
bo‟lib, 2k =-p yoki 2k +p=0 bo‟ladi. (1) tenglamani bitta

_{1 2 2} 1 1

xususiy yechimi ma‟lum bo„ladi:
у = е^k1x .Bu yechim bilan chiziqli erkli bo„ladigan (1)

1
tenglamaning ikkinchi xususiy yechimini topish kerak, uni
у = u(x)е^k1x
ko„rinishida

2
izlaymiz, bu yerda u(x)=u aniqlanishi lozim bo„lgan hozircha noma‟lum funksiya. u(x) ni

aniqlash uchun y ^'
va y ^'' larni hisoblaymiz: у^'
= u'e^k1x + uk e^k1x = e^k1x (u'+uk )

2 2 2 1 1

у ^// = k e^k1x (u ^/ + uk ) + e^k1x (u ^// + u ^/ k ) = e^k1x (u ^// + 2u ^/ k

• 
  uk ² )
  

y_2, y₂ў va y₂" larni (1)

2 1 1 1 1 1

tenglamaga quysak: e^{k1 x} (u^// + 2u^/ k

• 
  uk ² ) + pe^{k1 x} (u^/ + uk ) + que^{k1 x} = 0 yoki
  

1 1 1

e^{k1 x} [u^// + (2k
+ p)u^/ + (k ² + k p + q)u]= 0 .

1 1 1

k (8) xarakteristik tenglamaning ildizi va 2k₁+p=0 bo„lganligi sababli
u ^// = 0
_еk₁x_u //
= 0 yoki

2
u ga nisbatan ikkinchi tartibli eng sodda tenglamaga ega bo„lamiz. Bu tenglamani integrallab u(x)=Ax+B, (A, B- o„zgarmaslar) ni topamiz. Xususan, A=1, B=0 desak, y(x)=x bo„ladi.

Shunday qilib, (1) ni ikkinchi xususiy yechimi
у = xе^k1x
bo„ladi. Umumiy yechimi esa

1

2
у = С e^k1x + С
хe^k1x = (С

• 
  С₂
  

х)e^k1x
ko„rinishda yoziladi.

1

1

1

1

2

2
Misol. у ^// + 4 у ^/ + 4 у = 0. tenglamaning harakteristik tenglamasi k²+4k+4=0 bo‟lib, uning ildizlari k₁= k₂=-2 dir, (1) ning chiziqli erkli xususiy yechimlari

1
у = е^{-2 x} ,
у = xе^{-2 x} bo‟lib, umumiy yechimi esa:
у = С e^{-2 x} + С
хe^{-2 x} = (С

• 
  С₂
  

_х)e-2 x

в) Xаrаktеristik tеnгlаmаninг ildizlаri komplеks sonlаr bo„lgаn hol.

2
Bu holdа (8) xаrаktеristik tеnglаmаninг ildizlаri qo„shmа komplеks sonlardan iborat

р
bо„ladi: k_1,2 =a±ib, bu yerda a = - , b =
2
(1) ni hususiy yechimlari
q - ^p , 4


i- mavhum birlik, i =


-1;

1
_{у = e}k₁x _{= e}(a +ib ) x _{= e}ax _{Ч e}ibx _;

2
_{у = e}k₂ x _{= e}(a -ib ) x _{= e}ax _{Ч e}-ibx _;

Agar oliy matematikada isboti keltiriladigan Eyler formulasini e‟tiborga olsak,
_e±ij
= cosj ± i sinj

1
у = e^{a x}

2
у = e^{a x}
(cos bx + i sin bx)
(cos bx - i sin bx) tengliklarga ega bo„lamiz.

Biz qo‟yidagi natijadan foydalanamiz: agar haqiqiy koeffisiyentli bir jinsli chiziqli tenglamaning xususiy yechimi kompleks funksiyadan iborat bo„lsa, u holda uning haqiqiy va mavhum qismlari ham shu tenglamani yechimi bo„ladi.
Binobarin, xususiy yechim

ax
у₁ = e
cos b x + ie^ax
sin b x,
(ёки у₂ )

bo„lgani uchun, uning haqiqiy qismi
^у11
= e^ax cos bx
va mavhum qismi

^у12
= e^ax sin bx
ax
ham (1) tenglamaning yechimi bo„ladi. Ravshanki,
ax

у₁₁ = e
соsbx,
у₁₂ = e
sin bx

1. 
   ni xususiy yechimlari
   

chiziqli erklidirlar:


^у11 = tgb № const. ^у12

Shunday qilib, (1) tenglamaning umumiy yechimi
ax

у = С₁ у₁₁ + С₂ у₁₂ = e
Ko„rinishida bo„ladi.
(С₁ cos b x + С₂ sin b x)

Misol.
у ^// - 6 у ^/ +13у = 0.
tenglamani x=0 da y=1 va yў=-1 boshlang‟ich shartlarni

1
qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Yechish: Xarakteristik tenglama k²-6k+13=0 ildizlari k₁=3+2i, k₂=3-2i bo‟lib, a=3,
b=2. Tenglamalarning umumiy yechimi esa qo‟yidagicha bo„ladi:
3x

у = e
(С₁ cos 2x + С₂ sin 2х).

Endi x=0 da y=1, ya‟ni
у = 1
х=0
va x=0 da yў=-1, ya‟ni
у
х =0
= -1
boshlang‟ich

1
shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topaylik. Buni uchun umumiy yechimdan yў hosilani hisoblaymiz:

1
у ^/ = 3e^3x (С
cos 2x + С₂
sin 2x) + e^3x (-2С
sin 2x

• 
  2С
  

cos 2x) = e^3x [(3С

• 
  2С ) cos 2x + (3С
  

• 
  2С ) sin 2x].
  

Boshlang‟ich shartlarga ko„ra:
м^{1 = C}₁
н
_о-1 = 3C₁ + 2C₂
sistemaga ega bo„lamiz. Bu sistemadan noma‟lum C₁ va C₂ larni topib: C₁ =1 C₂= - 2 natijada umumiy yechimdan ushbu izlangan xususiy yechimni aniqlaymiz:
у = e^3x (cos 2x - 2sin 2х).
Hosil qilingan bu yechim berilgan differensial tenglamani va boshlang‟ich shartlarni qanoatlantirishini ko„rsatish qiyin emas.

3.⁰ Garmonik tebranishlarning differensial tenglamasi.

y(t)=sint va y(t)=cost funksiyalar argumentning barcha qiymatlarida

у ^// (t) = - у(t)
tenglamani qanoatlantirishi ravshan.
Fizikada, xususan mexanikada
у ^// (t) = -w ² у(t),
, (1)
(2)

tenglamani qanoatlantiruvchi funksiyalar muhim rol‟ o„ynaydi, bu yerda w-musbat o`zgarmas. (2) tenglama oldingi paragrafda o„rganilgan.

у ^// + pу ^/ + qу = 0,
tenglamaning xususiy holidir, ya‟ni p=0, q=w².
(3)

Mexanikada (3) tenglamani erkin tebranishlarning, (2) ga esa garmonik tebraninshlarning differensial tenglamasi deyiladi. (2) tenglamaning xarakteristik tenglamasini k²+w² =0, ildizlari k₁=wi, k₂=-wi bo„lib, umumiy yechimi esa
у(t) = С₁ cosw t + С₂ sinw t) , (C₁,C₂-const), (4)
Bu yechimning fizikaviy ma‟nosini aniqlash uchun yangi ixtiyoriy o„zgarmaslar kiritib, uni qo‟lay ko„rinishga keltirish mumkin.

4. 
   ni o‟ng tomonini
   

С ² + С ²
ga ko„paytirib va bo„lib ushbuni hosil qilamiz:

1 2
ж ц

С

ш
у(t) =
С ² + С ^{2 з С1}
cosw t + ^С2
sin w t ^ч

С

1
1 2 _з
и
2 _{+ С} 2
² _{+ С} ² ч

2

2

1
Agar A =
С ² + С ² ,
sin j =
^С1 , cosj = ^С2
, deb belgilash kiritsak,

1 2 0
С ² + С ²
0
С ² + С ²

yechim
1 2 1 2

у(t) = Asin(w t + j₀ ),
ko„rinishga keladi, endi Aі0, j₀ О[0;2p ] ixtiyoriy o„zgarmaslar bo‟ladi.
(5)

4. 
   umumiy yechim (integral egri chiziqlar) grafikasi sinusoidadan iboratdir. Sinusning
   

argumenti 2p ga o„zgaradigan T vaqt oraligi tebranish davri deyiladi.
_{Т =} 2p
w
; 2p vaqt

ichidagi tebranishlar soni tebranishlar chastotasi deyiladi, hozirgi holda chastotasi w ga teng; muvozanat holatdan eng katta ogish miqdori A-tebranish amplitudasi deyiladi;

w t + j₀ argument tebranish fazasi deyiladi; fazaning t=0 dagi qiymati, ya‟ni j ₀
tebranishning boshlang‟ich fazasi deyiladi.
kattalik