Referati Bajardi: Yusupova Diloromxon Gurux: 715-21 talabasi

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi
Toshkent Axborot Texnologiyalari Universiteti
Farg’ona filiali
Kompyuter injineringi fekulteti

“Extimollik va statistika” fanidan

Referati

Bajardi: Yusupova Diloromxon
Gurux:715-21 talabasi

MAVZU: KO'P O'LCHOVLI REGRESSIYA

REJA:
1. KO'P O'LCHOVLI REGRESSIYA HAQIDA TUSHUNCHA
2. REGRESSIYA HAQIDA MALUMOT
Ko‘p o‘lchovli korrelyatsiya. Muhim va mohiyatli omillarni tanlash.Korrelyatsion bog‘lanishning xususiyati regressiya tenglamasida bir necha muhim va mohiyatli omillar ishtirok etishini taqozo qiladi. Shuning uchun regressiya tenglamasiga kiritiladigan mohiyatli omillarni tanlash katta ahamiyatga egadir.Ko‘p omilli regressiya tenglamasida o‘zaro kuchli chiziqli korrelyatsion bog‘langan omillar bir vaqtda ishtirok etmasligi kerak. Chunki ular regressiya tenglamasida bir-birini ma’lum darajada takrorlab, natijada regressiya va korrelyatsiya ko‘rsatkichlarining buzilishiga sababchi bo‘ladi. Demak, tanlangan omillar ichida o‘zaro kuchli chiziqli korrelyatsion bog‘lanishda bo‘lgan omillardan ba’zilarini regressiya tenglamasiga kiritmaydi. Buning uchun chiziqli juft korrelyatsiya koeffitsiyentlarining matritsasi tuziladi.
10.9. Ko‘p omilli chiziqli regressiya tenglamasini aniqlash
Ko‘p omilli regressiyaning chiziqli tenglamasi umumiy ko‘rinishda quyidagicha yoziladi:
. (10.28)
Bu yerda:
- natijaviy belgining o‘zgaruvchan o‘rtacha miqdori bo‘lib, uning indekslari regressiya tenglamasiga kiritilgan omillarning tartib sonlarini ko‘rsatadi;
a0 - ozod had;
aj – xususiy regressiya koeffitsiyentlari.Ko‘p omilli regressiya tenglamasining parametrlarini hisoblash «eng kichik kvadratlar» usuliga asoslanib hosil qilinadigan ushbu normal tenglamalar tizimini yechishga tayanadi:
(10.29)
Normal tenglamalar tizimi chiziqli algebraning biror usulini qo‘llab yechiladi va noma’lum hadlar topiladi. yechishni ShEHMda bajarish uchun maxsus «Microstat», «Statgraphics», «Statistica» kabi amaliy dasturlar paketi yaratilgan.Xususiy regressiya koeffitsiyenti muayyan omilning natijaviy belgi variatsiyasiga ta’sirini omillar o‘zaro bog‘lanishidan «tozalangan» holda o‘lchaydi, ammo tenglamaga kiritilmagan omillar bundan mustasnodir.Ta’kidlab o‘tish kerakki, xususiy regressiya koeffitsiyenti , juft regressiya koeffitsiyentidan farqli o‘laroq, muayyan omilning natijaga ta’sirini uning variatsiyasi bilan boshqa tenglamada qatnashayotgan omillar variatsiyasi orasidagi bog‘lanishni hisobga olmagan holda, undan «tozalangan» tarzda o‘lchaydi.
Xususiy regressiya koeffitsiyentlari aj nomli miqdorlardir, ular turli o‘lchov birliklarda ifodalanadi va sifat (ma’no) jihatidan har xil omillar ta’sirini o‘lchaydi. Demak, ular bir biri bilan taqqoslama emas
Shuning uchun standartlashtirilgan xususiy regressiya koeffitsiyentlari yoki  - koeffitsiyentlar hisoblanadi:
(10.30)
 standartlashgan regressiya ko‘rsatkichlari taqqoslama nisbiy me’yorlar, ularda o‘lchov birliklari va belgilar mohiyati mavhumlashgandir.
xj omilga tegishli j – koeffitsiyent muayyan omil variatsiyasining natijaviy belgi
REGRESSIYA CHIZIQARI 1.1. Yeng kichik kvadratlar usuli. Regressiya chiziqlari Matematik statistikaning asosiy masalalaridan biri ikki tasodifij] miqdor orasidagi bog'lanish qonuniyatini aniqlashdan iboratdir. Bizgd ma'lumki, tasodifiy miqdorlar o'zgarishi ma'lum bir matematik qonuniyat bo'yicha bo'lmay, balki notekisdir (1.1-rasm). 1.1-rasm Misol uchun havoning quyidagi Xt temperaturalarida tabletka sirtqi qatlamining yemirilish vaqti (Y) o'zgarishini olaylik (1.1-jadval): 1.1-jadval Havoning temperaturasi, Xi 30 35 40 45 50 55 60 65 Yemirilish vaqtining o'rtacha qiymati, Yi 15 ,3 14, 3 15, 1 17, 9 19 ,1 14, 2 20, 0 18 ,1 Tajriba natijasida bir tasodifiy miqdorning n ta Xi qiymatlri uchun ikkinchi miqdorning n va Yi qiymatlari olingan (1.2-jadvalga qaralsin) 7 Xi X1 X2 X3 … Xn … Yi Y1 Y2 Y3 … Yn … Shu ikki miqdor bog’liqligining empirik funksiyasini yozish uchun avvalo uning ko’rinishini aniqlash zarur. Buning uchun tajribada olingan ( Xi ,Yi ) qiymatlar juftiga mos keladigan nuqtalarni shu nuqtalarni eksperimental nuqtalar deb ataymiz) kordinata tekisligida joylashtiramiz (1.2-rasm). 1.2-rasm. 1. Agar eksperimental nuqtalar koordinatalar tekisligida 2.2-rasmda tasvirlanganidek joylashgan bo'lsa, tajriba o'tkazilayotgan vaqtda ozgina bo'lsada xatolik bo'lishini hisobga olib, olinayotgan empirik funksiyani Yi b axi  chiziqli funksiya ko'rinishida topish mamkin. Bu yerda: Yi — nazariy topilgan nuqtalarning ordinatalari. Empirik funksiya Yi b axi  ko'rinishda tanlab olingan. Shu funksiyaga taruvchi a, b parametrlarni shunday tanlash kerak bo'ladiki, u o’rganilayotgan hodisani biror ma'noda juda yaxshi tarzda aks ettirsin ( Yi b axi  funksiya grafigi eksperimental nuqtalarga juda yaqin bo'lsin). 8 Qo'yilgan bu masalani yechishda keng qo'llaniladigan usul eng kichik kvadratlar usulidir. Bu usul quyidagidan iborat: tajribada olingan Yi qiymatlar bilan nazariy topilgan mos nuqtalardagi Yi b axi  empirik funksiya qiymatlari orasidagi ayirmalar kvadratlarining yig’indisini qaraymiz: (1.1) i  i  i  i  i У Y У (ax b) 2 1 2 1 S(a,b) [У Y ] [У (ax b)] i n i i n i     i  i     . (1.2)  i  i  i  i  i У Y У (ax b) ayirmani chetlanish deb ataymiz va i x ning barcha qiymatlari uchun i ayirmalarni yozamiz:                       ( ). .................................................. ( ), ( ), 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 У Y У ax b У Y У ax b У Y У ax b n n n n n   b axi Yi to’g’ri chiziq eksperimental nuqtalarga juda yaqin bo’lishi uchun  n i i 1  yig’indi eng kichik bo’lishi kerak. Eksperimental nuqtalar o’tkazilgan to’g’ri chiziqning ikkala tomonida ham jaylashgan. Shuning uchun i ning ayrim qiymatlari musbat va ayrimlari manfiy ishorali bo’ladi. Demak, eksperimental nuqtalar bilan to’g’ri chiziq orasidagi masofa katta bo’lgan holda ham  n i i 1  yig’indining qiymati kichik bo’lishi mumkin. i ning qiymatlari ishoralarining yig’indiga ko’rsatayotgan ta’sirini yo’qotish uchun  n i i 1  yig’indi o’rniga ayirmalar kvadratlari yig’indisi        n i i 1 2  olish qulay bo’ladi. Bu yig’indini S(a;b) bilan belgilaymiz. (1.2) yig’indini a va b parametrlarni shunday tanlab olamizki, bu yig’indi eng kichik qiymat qabul qilsin: ( , ) [ ( )] min . 2 1       S a b У axi b n i i (1.3) Eng kichik kvadratlar usulining mazmuni shundan iboratki. 9 Demak, masalan a va b parametrlarning S(a;b) funksiyani minimumga aylantiradigan qiymatlarini topishga keltiriladi. Teorema. Agar f (X;Y)Z funksiya X yX Yx, Y da ekstremumga ega bo’lsa, u holda Z ning har bir birinchi tartibli xususiy hosilasi argumentlarning shu qiymatlarida yoki 0 ga teng bo’ladi, yoki mavjud bo’lmaydi. Bunga asosan a va b parametrlarning qiymatlari quyidagi tenglamalar sistemasi          / 0 / 0, Z Y Z X ni qanoatlantirishi lozim ([5], 17-§, 1-teorema). Yuqorida keltirilgan teoremaga asosan S(a;b) funksiya uchun quyidagi shart bajarilishi kerak:          / 0, / 0; S b S a (1.4) yoki bularni yoyilgan korinishda yozsak ( Xi va Yi -berilgan sonlar):                         / 2 [ ( )] 0. / 2 [ ( )] 0; 1 1 S a У ax b S a У ax b x i n i i i i n i i (1.5) Tenglamalarni 2 ga qisqartirib, qavslarni ochib va hadlarni yig’indiga keltirib, quyidagi ikki a va b noma’lumli, ikkita chiziqli tenglama sistemasini hosil qilamiz:                        0. 0; 1 1 1 1 2 1 n i i n i i n i n i i i i n i i У a X bn У X X b X (1.6) Bu tenglamalar sistemasidan a va b ning qiymatlarini topamiz: 10                                                           . ; 0; 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 n i n i i i n i n i i i i n i i n i i n i n i i i n i n i i i i n i i n X X X У X X Y b n X X У X X Y a (1.7) a va b ning topilgan qiymatlarini Yi b axi  tenglamaga keltirib qo'ysak, grafigi eksperimental nuqtalarga yaqin bo'lgan izlangan to'g'ri chiziq tenglamasini hosil qilamiz. 2. Agar eksperimental nuqtalar koordinatalar tekisligida 1.3-rasmda tasvirlanganidek joylashgan boisa, tajriba bajarilayotgan vaqtda ozgina bo'lsa-da xatolik bo'lishini hisobga olib, izlanayotgan empirik funksiyani  i  i Y ax bx c i 2 (1.8) ikkinchi darajali uchhad ko'rinishida topish mumkin. Bu kvadrat uchhadning a, b va c parametrlarini shunday tanlash kerakki,  i  i Y ax bx c i 2 funksiyaning grafigi eksperimental nuqtalarga juda yaqin bo'lsin. Qo'yilgan masalani eng kichik kvadratlar usuli bilan yechamiz, ya'ni tajribada olingan Yi qiymatlar bilan nazariy topilgan mos nuqtalardagi  i  i Y ax bx c i 2 funksiya qiymatlari orasidagi ayirmalar ( )  i  i  i  i  i  i 2 2 У Y У ax bx c (1.9) kvadratlarining yig'indisini qaraymiz: , ( )  ( , , ) 1 2 2 2 1           n i i i i n i i i S a b c У Y У ax bx c (1.10) 11 1.3-rasm. bu yerdan: a, b va c parametrlarni shunday tanlab olamizki, yig'indi eng kichik qiymat qabul qilsin: min. ( )  ( , , ) 1 2 2 2 1  2          n i i i i n i i i S a b c У Y У ax bx c (1.11) (1.11) yig'indi minimum qiymatga ega bo'lishi uchun yuqorida keltirilgan teoremaga ko'ra:               / 0 / 0, / 0; S c S b S a (1.12) shart bajarilishi lozirn, yoki bularni yoyilgan ko'rinishda yozsak ( ; Уi 2 Xi va Xi - berilgan sonlar):                                    ( ) 0. ( ) 0; ( ) 0; 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 n i i i i i n i i i i i n i i i i У ax bx c У ax bx c X У ax bx c X (1.13) Qavslarni ochib va hadlarni yig'indiga keltirib, quyidagi (a,b va c) uch noma'lumli uchta chiziqli tenglama sistemasini hosil qilamiz: 12                                            0. 0; 0; 1 1 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 2 4 3 2 1 n i n i i i n i i n i n i n i i i i i n i i n i n i n i i i i i n i i Y a X b X cn Y X a X b X c X Y X a X b X c X (1.14) Bu tenglamalar sistemasini yechib a, b va c parametrlami topa-miz. Topilgan qiymatlarni  i  i Y ax bx c i 2 tenglamaga keltirib qo'ysak, grafigi eksperimental nuqtalarga yaqin bo'lgan izlanayot-gan uchhadning tenglamasini hosil qilamiz. 2.1-masala. Tajriba natijasida olingan Xi va Yi tasodifiy miqdor-larning qiymatlari quyidagicha berilgan (1.3-jadval): (1.3-jadval) Xi 1 2 3 4 5 6 Yi 15 10 2 2 -4 -10 Empirik funksiya ko’rinishi aniqlansin va parametrlari topilsin. Yechilishi: masalani yechish ikki bosqichdan iborat. 1. Empirik funksiya ko'rinishini aniqlash uchun qiymatlarni koordinata tekisligida joylashtiramiz. 1.4-rasmdan ko'rinib turibdiki, empirik funksiyani Yi b axi  ko'rinishda izlash maqsadga muvofiq bo’ladi. Xi 1 2 3 4 5 6 Yi 14 ,43 9, 66 4 ,89 0, 12 - 4,65 - 9,42 13 1.4-rasm 2. Empirik funksiya parametrlari a va b ni topamiz, buning uchun yordamchi 1.4-hisoblash jadvalini tuzamiz. Hosil qilingan qiymatlarni (1.6) ifodaga qo'yib,         21 6 15 91 21 31, a b a b Tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu tenglamalar sistemasini yechib, 19,24,77 , b  a larni topamiz. Topilgan qiymatlarni Yi b axi  ifodaga qo’yib, Yi 19,24,77 Xi   empiric funksiyani hosil qilamiz. Xi ning qiymatlari bo’yicha Yi ning qiymatlarini topamiz (1.5-jadval). (1.4-jadval) I Xi Уi 2 Xi Xi Уi  1 1 15 1 15 2 2 10 4 20 3 3 2 9 6 4 4 2 16 8 5 5 -4 25 -20 6 6 -10 36 -60 14 1.5-jadval. Xi 1 2 3 4 5 6 Yi 14,43 9,66 4,89 0,12 -4,65 -9,42 1.2-masala. Tajriba natijasida olingan Xi va Yi tasodifiy miqdorlarning qiymatlari quyidagicha berilgan (1.6-jadval): Xi 0 2 4 6 8 Yi 1 -1 -0,5 1,5 4,5 Empirik funksiya ko'rinishi aniqlansin va parametrlari topilsin. Yechilishi. 1. Empirik funksiya ko'rinishini aniqlaymiz, buning uchun berilgan qiymatlarni koordinatalar tekisligida joylashtiramiz. Nuqtalarning joylashishi parabolaga yaqin, shuning uchun empirik funksiyani Y ax bx c i   i i 2 ko'rinishda izlaymiz (1.5-rasm). 1.5-rasm 2.a, b, c parametrlarni topish uchun yordamchi 1.7-hisoblash jadvalini tuzamiz: 15 I Xi Уi 2 Xi 3 Xi 4 Xi Xi Уi  2 2 Xi Уi  1 0 1 0 0 0 0 0 2 2 -1 4 8 16 _2 -4 3 4 -0,5 16 64 256 -2 -8 4 6 1,5 36 216 1296 9 54 5 8 4,5 64 512 4096 36 288 5,N  20 5,5 120 800 5664 41 330 Topilgan qiymatlarni (1.14) ifodaga qo'yib,                            120 20 5 5,5 320 40 19; 1392 160 99; 120 20 5 5,5 800 120 20 41; 5664 800 120 330; a b c a b a b a b c a b c a b c tenglamalar sistemasini hosil qilamiz, bu tenglamalar sistemasini yechib, 1,17  0,200, b a va 1,0 0,980 c qiymatlarni topa-miz. Topilgan qiymatlarni  i  i Y ax bx c i 2 ifodaga qo'yib izlangan empirik funksiya tenglamasi 0,2 1,17 1,0 2 Yi  Xi  Xi  ni hosil qilamiz. Bu funksiya grafigi quyidagi 1.8-jadvalga ko’ra 1.5-rasmda keltirilgan. 1.8-jadval Xi 0 2 4 6 8 Yi 1,0 -0,54 -0,41 1,18 4,44 Ikki o’lchovli X,Y  tasodifiy miqdorni qaraymiz. Bir tasodifiy miqdorning boshqa tasodifiy miqdorning o’zgarishiga ta’sirini tekshirish uchun X tasodifiy miqdor taqsimotining shartli qonunlari Y tasodifiy miqdorining tayinlangan qiymatlarida va aksincha, qaraladi. X,Y  diskret tasodifiy miqdor ushbu taqsimot jadvali orqali berilgan bo’lsin: 16 x y n x x   x1 ... 2  n i i k p x y 1 , m y y y . . . 2 1             m m n m      n n p x y p x y p x y p x y p x y p x y p x y p x y p x y , , ... , ............................................. , , ... , , , ... , 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1     m p y  p y p y . . . 2 1     m k i k p x y 1 , n p x p x ... p x 1 2      Yagona xi X qiymatga mos i i m i p y / x ,...,p y / x    shartli ehtimollar Y ning xi X dagi shartli taqsimoti deyiladi.       i  i k k i k i p x p x y p y x P Y y X x , (*)  /  / va        m k i k i p x y p x 1 , (**) Shartli taqsimotning eng muhim xarakteristikalari tayinlangan xi 1,n, i da shartli matematik kutilish i M Y / x  va shartli dispersiya i Y / x  2 dir. U holda     i i i      m k i k k i Y x M Y M Y x x M Y x y p y x i n 2 2 1 / / / / , 1, ,       i Y / x  2 ni yana Y ning X ga qoldiq dispersiyasi deb ham ataladi. i x o’zgarish bilan i M Y / x  ham o’zgaradi, ya’ni Y / x M xy funksiyani qarash mumkin, bu yerda X argument n x ,...,x 1 qiymatlarni qabul qilish mumkin. 17 Bu funksiya Y ning X bo’yicha regrissiya funksiyasi deyiladi (*) va (**) formulalardan foydalanib topamiz:          m  k k m k k k p x y y p x y y x 1 1 , , X ning Y ga regressiyasi ham xuddi shunday aniqlanadi:            n   i i n i i i p x y x p x y x y M X y 1 1 , , / Uzluksiz taqsimotlar bo’lgan holda     xf f x y f x y 2 , / va     xf f x y f y x 1 , / formulalardan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:                   . , , / ; , , / / p x y dx xp x y dx x y M X y p x y dy yp x y dy y x M Y x yp y x dy                     1.2. Regressiyaning asosiy xossasi 1.1-teorema. Agar   tasodifiy vektor bo’lib,  X,Y 2 MY bo’lsa, u holda  / X xY uM 2 shartli o’rtacha kvadratik chetlanish haqiqiy uzluksiz   xu funksiyalar sifatidagi eng kichik qiymatini bo’lganda qabulx y xu qiladi va bu eng kichik qiymat Y / x 2 ga teng. Isboti. Ushbu ayniyatdan kelib chiqadi: 18                           / ].     [ /  2 / ] / ] [ [ / ] [ 2 2 2 2 2 2 Y x M y x u x X Y y x y x u x y x u x X y x u x X M Y y x M Y u x X M Y y x                    Shunday qilib, minimumga x y xu da erishadi va u Y / x 2 ga teng. Agar xy va yx regressiya funksiyalari chiziqli bo’lsa, X va Y tasodifiy miqdorlar chiziqli korrelsiyalangan deyiladi. 1.2-teorema. Agar zichlik funksiyasi X,Y   x yQ e p f x y , 2 1 2 2 1 2 1 1 ,      dan iborat ikki o’lchovli normal taqsimotga ega tasodifiy miqdor bo’lsa, u holda xy regressiya funksiyasi chiziqli funksiya bo’ladi: .    1 1 2 a p x  a2 y x   Bu yerda                        1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 ,     x a y a p x a y a p Q x y a1 X, a2 va Y 1tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishlari, o’rtacha 2 , korrelyasiya koeffisiyenti.kvadratik og’ishlar, p Nazariy tekshirish mumkin bo’lmagan hollarda tanlanma usullardan va regressiyaning empirik chizig’ini yasashdan foydalanish kerak. 1.3.Chiziqli regressiya tanlanma tenglamasining parametrlarini eng kichik kvadratlar usuli bo’yicha topish X va Y belgili ikki o’lchovli bosh to’plamdan n hajmli tanlanma olamiz. ( , ) i k x y juftlarning kuzatilgan kiymatlarini tegishli chastotalari bilan ushbu korrelyasion jadvalga joylashtiramiz: 19 y x m y y ... y 1 2 j xni, j y l x x x . . . 2 1 l l lm m m n n n n n n n n n ... . . ... . ... ... 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 i x x x n n n . . . 2 1     i  y x y x y x . . . 2 1 nij y y ym n n ... n 1 2 j  m     x y x y x y ... x y 1 2 Jadvaldagi ma’lumotlar bo’yicha Oxy tekislikda ( , ) i k x y koordinatali nuqtalarni belgilab tarqoqlik diagrammasini tuzish mumkin (1-shakl). Bu diagrammani har bir nuqtasida ik n massa joylashgan ( , ) i k x y nuqtalar to’plami deb talqin etish mumkin. U holda    k ik k k ik i n y n y(x ) . ni x vertikal tug’ri chiziqda joylashgan vai X k y ordinataga ega bo’lgan ik n massalarining markazi sifatida talqin etish mumkin. Barcha ( , ( )) i i x y x nuqtalarni tutashtirib, X ning Y ga regressiyasining empirik chizig’ini hosil qilamiz. X ning Y ga regressiyasining empirik chizig’i ham xuddi shunday yasaladi, bunda uning har bir nuqtasi k yy gorizontal to’g’ri chiziqlarda yotib, i x absissaga ega bo’ladi. Shu tarzda regressiya chizig’ining umumiy ko’rinishi haqida tasavvur hosil qilib, regressiyaning empirik funksiyasi tenglamasini eng kichik kvadratlar usuli bilan topish mumkin. 20 Masalan, quyidagi tarqoqlik diagrammalarini ko’raylik (2-shakl ). Bu yerda a) holda, ravshanki, regressiya chizig’i parabola, b) holda to’gri chiziq, v) holda esa korrelyatsiya aftidan mavjud emas deb faraz qilish mumkin. Y ning X ga regressiya funksiyasi chiziqli funksiya, ya’ni yx b ax  deb faraz qilishga asos bo’lsin. a va b koyffitsentlarni eng kichik kvadratlar usuli bo’yicha topamiz. Ordinate bo’yicha ( , ) i x 1,l1,m; k x y , i kordinatali nuqtaning to’g’ri chiziqdagi mos nuqtalardan chetlanish kvadratlarning yig’indisini qaraymiz:        m i i i xi a b ax b y n 1 2 ( , ) (3.1) (a,b)21 ni ikkinchi o’zgaruvchining funksiyasi sifatida qarab, a va b uchun shunday qiymatlar topamizki, (a,b) ning qiymati eng kichik bo’lsin. Bir necha o’zgaruvchili funksiya uchun ekstrmum mavjud bo’lishining zaruriy shartlari uning barcha o’zgaruvchilar bo’yicha xususiy hosilalarining nolga teng bo’lishidan iboratdir. Bu shartni  ga qo’llaymiz:   i i x m i a xi b yi x n a        1 2 (3.2)   i x n i a xi b yi n b        1 (3.3) Har ikkala tenglamani 2n ga bo’lib va a hamda b ga ega hadlarni guruhlab, quyidagiga ega bo’lamiz: n y n n x n b n x n a n y n n n b n x n a m i i x m i i x m i i x m i i x m i x m i i x i i i i i i                 1 1 1 2 1 1 1 , (3.4) Bizga ma’lumki, 1 1  n n m i xi , x n x n m i i xi  1 , y n y n m i i xi  1 , 1 2 2 x n x n m i i xi   , (3,5) xy n x y n x y n n n y n x n n x y n n i k i k i l k k i m i i x l k m k i i i x m i i i x k k i k i i              1 1  1 1 1 1 1 1 (3.6) U holda (2.5) tenglamalar ushbu ko’rinishga keladi:         . , 2 ax bx xy ax b y (3.7) Hosil bo’lgan sistemani yechib, quyidagini hosil qilamiz: 22 ( ) ! , (3.8) y x   y y x x bu yerda ! 2 x y x xy x y    - Y ning X ga regressiya koyffitsiyenti, x - tanlanma o’rtacha kvadratik chetlanish. (3.9) tenglama Y ning X ga regressiyasi to’g’ri chizig’ining tanlanma tenglamasi deyiladi. X ning Y ga regressiya to’g’ri chizig’ining tanlanma tenglamasi xuddi shunga o’xshash quyidagi ko’rinishda hosil qilish mumkin: ( ) ! , (3.9) y x   x x y y bu yerda ! 2 y x y xy x y     y -tanlanma o’rtacha kvadratik chetlanishi. ,  Ko’ramizki, tanlanma regressiya to’g’ri chiziqlari (x, y) ko’rdinatali nuqtadan, ya’ni massalar markazidan o’tadi va regressiya koyffitsiyentlari bir xil ishoraga ega, binobarin, tanlanma regressiya to’g’ri chiziqlarining burchak koyffitsiyentlari bir xildir. Ilgari, korrelyasiya koyefsiyentiga ta’rif berilgan edi, shundan foydalanib tanlanma korrelyatsiya koefitsienti tushunchasi kiritamiz: x y t xy x y r      Tanlanma korrelyatsiya koyffitsiyenti t r korrelyatsiya koyffitsiyenti x y xy M XY M X M Y r   ( ) ( )( )  ning bahosi bo’lishin istbot qilish uchun: t r ni (3.8) va (3.9) ga qo’yib, 23 x y xy t r   (3.10)  x y x y t r   (3.11) /  larni topamiz. U holda tanlanma regressiya to’g’ri chiziqlarining (3.10) va (3.11) tenglamalarni qo’yidagi simmetrik shaklda yozish mumkin: x t y x x r y y      (3.12) va y t x y y r x x      (3.13) Misol: To’g’ri to’rtburchak plitkalarning uzunliklari x(sm) va massalari y(kg) bo’yicha taqsimoti quyidagi jadvalda berilgan: Misol: To’g’ri to’rtburchak plitkalarning uzunliklari x(sm) va massalari y(kg) bo’yicha taqsimoti quyidagi jadvalda berilgan: y x 6 8 10 12 14 x n 30 35 40 45 50 2 - - - - 17 10 3 - - 9 17 24 6 2 3 9 16 24 11 - - 13 12 22 31 36 56 42 35 y n 2 30 58 63 47 200 Regressiya to’g’ri chiziqlarining tanlanma tenglamalarini tuzing. Yechish. Agar formulalardan o’zgaruvchilarni quyidagicha almashtirsak, barcha koyfitsiyentlarning hisoblanishi ancha soddalashadi: 24 1 1 h x C u i i  , 2 2 h y C v i i   C1 va C2 - mos ravishda x va y o’zgaruvchilarning variatsion qatorning taxminan o’rtasida joylashgan qiymatlar; 1 h va 2 h - mos ravishda x va y o’zgaruvchilarning qo’shni qiymatlari orasidagi masofa. C1 = 40, 1 h = 5, C2 = 2, 2 h = 2 deb olamiz, natijada quyidagi jadvalga ega bo’lamiz: u v -2 -1 0 1 2 u n -2 -1 0 1 2 2 - - - - 17 10 3 - - 9 17 24 6 2 3 9 16 24 11 - - 13 12 22 31 36 56 42 35 v n 2 30 58 63 47 n200 Jadval yordamida quyidagilarni hisoblaymiz: u = 0,07 200 2 31 1 36 0 56 1 42 2 35               n u nu ; v = 0,62; 200 2 2 1 30 0 58 1 63 2 47              n v ny u 2 = 1,71, 2   n u nu v 2= 3,16 2   n v nv . 1,3,  2 2 1,67,   u  u  u   v  v  v 2 2 n uv uv yig’indini hisoblash uchun ushbu hisoblash jadvalini tuzamiz: u v -2 -1 0 1 2 V uv V vn u   25 -2 2 - 4 17 - 17 0 3 - -18 36 9 3 - 4 - 34 - 18 -6 -1 - 10 0 9 - - 1 1 10 17 9 - 10 - 17 -9 0 - -3 0 16 26 39 0 3 24 16 13 0 0 0 0 1 - - 0 24 24 6 24 12 48 48 6 12 24 2 - - 0 11 44 55 110 2 11 22 4 22 44 unuv V -4 -44 -25 31 195 56 Uv 8 44 0 31 112 195 26 Korrelyatsion jadval har bir katagining yuqoridagi o’ng burchagiga uv vn ko’paytmani yozamiz. Barcha kataklarning yuqoridagi o’ng burchagida va quyidagi chap burchagida joylashgan sonlarni qo’shib, uv V vn va unuvU qiymatlarni hosil qilamiz. Barcha uV va Uv ko’paytmalarni hisoblab, natijalarni q’shimcha satr va ustunga yozamiz, bunda Vu Uv ko’paytma nazorat uchun xizmat qiladi. U holda Uv uv Vu  n uv  . Ushbu formula bo’yicha tanlanma korrelyatsiya koyffitsiyentini hisoblaymiz: 0,43 200 1,3 1,67 195 200 0,07 0,062           v u u v t n n uv nuv r   . Endi regressiya to’g’ri chiziqlarining tenglamalarni tuzamiz: y y r (x x) x y x   t   , x x r ( y y) y x t   y   . x va y plar uchun uh1 C1 , uh2 C2 x  y formulalarni osonligini hosil qilish mumkin. Shuning uchun 40,35, 40 5  0,07 x 11,24 ,10  2  0,62y 3,34 . v  h2 y  6,5 ,  u  h1 x  U holda Y ning X ga tanlanma regressiya to’g’ri chizig’i tenglamasi ( 40,35) 6,5 3,34 x 0,43 x 11,24 y uoki 2,32 x 0,22x y ko’rinishda, X ning Y tanlanma regressiya to’gri chizig’i tenglamasi esa 30,94 0,84y x y ko’rinishda bo’ladi. 27 II bob. KORRELYASIYA VA REGRESSIYA CHIZIQLARI KOEFFISIYENTLARINI TOPISh ALGORITMI VA DASTURIY TA’LIMOTINI YARATISH 2.1. Korrellyasiya koeffisiyentlarini topishning dasturiy ta’minotini yaratish Bu ishda XY r korrelyatsiya koeffitsientlarini topishning С Builderda dasturiy ta’minoti yaratilgan. X va Y tasodifiy miqdorlar sistemasini tavsiflash uchun tashkil yetuvchilarning matematik kutilishi va dispersiyalaridan tashqari boshqa xarakteristikalardan ham foydalaniladi. Bular jumlasiga korrelyasiya momenti va korrelyasiya koeffisiyentlar kiradi. X va Y tasodifiy miqdorlarning korrelyasiya momenti (yoki kovariasiyasi) deb, ushbu my mx Y  М Х  КXY ( )( ) songa aytiladi. X va Y diskret tasodifiy miqdorlarning korrelyasiya momenti quyidagi formulalar bo‘yicha aniqlanadi: ( , ) ( ) ( ) 1 1 i j i j m j n i М Y p x y М X y  x   X Y К   . Teorema. Bog‘liqmas tasodifiy miqdorlar uchun Korrelyasiya momenti nolga teng, ya’ni 0.КXY X va Y tasodifiy miqdorlarning korrelyasiya momentining shu tasodifiy miqdorlar o‘rtacha kvadratik chetlanishlari ko‘paytmasiga nisbati tasodifiy miqdorlarni korrelyasiya koeffisiyenti deb ataladi va u XY r bilan belgilanadi Ta’rifga ko‘ra Y  X  K r XY XY    formula o‘rinli bo‘ladi. Korrelyasiya koeffisiyenti tasodifiy miqdorlarning o‘lchov birliklarining tanlanishiga bog‘liq emas. Korrelyasiya koyeffisiyentining korrelyasiya momentidan ustunligi ham ana shundadir.