Reja: ℤ halqada sonlarni bo’lish

Rohatoy Usmonaliyevna:

MA’RUZA 18.

Butun sonlarda bo’linish nazariyasi. Arifmetikaning asosiy teoremasi.

Reja:

ℤ halqada  sonlarni bo’lish.

Yevklid algoritmi.

Tub sonlar va ularning xossalari.

Arifmetikaning asosiy qonuni.

Eyler formulasi.

Misollar.

Tayanch iboralar: ℤ halqada sonlarning bo’linishi, refleksiflik, tranzitivlik, qoldiqli bo’lish,Yevklid halqalari, Yevklid algoritmi, tub son, bo’linish, cheksiz, kanonik yoyilma, tub ko’paytuvchi, EKUB, EKUK, arifmetikaning asosiy qonuni, Eyler formulasi.

Mashg’ulotning maqsadi:  talabalarda ℤ halqada sonlarning bo’linishi, bo’lishning refleksivlik, tranzitivlik xossalari, qoldiqli bo’lish, Yevklid halqalari, Yevklid algoritmi va uning tatbiqlari, tub son va ularning xossalari, kanonik yoyilma, tub ko’paytuvchi arifmetikaning asosiy qonuni va  Eyler formulasi  haqida  bilim va ko’nikmalarni shakllantirish.

Ta’rif 18.1. Agar  ℤ sonlar uchun ℤ ,  tenglik o’rinli bo’lsa,  son  songa bo’linadi yoki  son   sonni bo’ladi yoki  son  songa karrali deyiladi va  yoki  orqali belgilanadi,  bo’linuvchi,  bo’luvchi,  esa bo’linma deyiladi.

Agar  va  butun sonlar uchun  tenglik o’rinli bo’lmasa,  son  ga bo’linmaydi deyiladi va u  yoki  orqali belgilanadi.

Teorema 18.2. Agar  va  uchun  tenglikni qanoatlantiruvchi  son mavjud bo’lsa, u yagonadir.

Isbot. Teskarisidan faraz qilamiz,  tenglikni qanoatlantiruvchi kamida ikkita har xil  va  sonlar mavjud bo’lsin: U holda bu tengliklardan  va bundan  dan  bo’ladi.Bu esa farazimizga ziddir va demak  bo’lishi yagonadir.

Bo’lish amali qo’yidagi xossalarga ega:

1. Noldan farqli har qanday butun son o’z-o’ziga bo’linadi, ya’ni  (refleksivlik);

2.  ℤ uchun  va   (tranzitivlik);

3.  ℤ  uchun  va  ;

4. Agar ℤ uchun  .

  Bu xossani, masalan to’rtinchisini to’g’ri bo’lishligini ko’rsatamiz. Bo’lish ta’rifiga asosan,  . Bu tengliklarni har birini mos ravishda   ga ko’paytirib qo’shsak,

bo’lib, yig’indini  ga bo’linishini ko’rsatadi.

  Teorema 18.3. (qoldiqli bo’lish) Har qanday ℤ va Ν uchun ℤ va Ν0 (), ular uchun

                                                  (1)

tenglik mavjud va yagonadir.

  Isbot. Mavjudligi.  son  ning  dan katta bo’lishi eng yuqori karrali bo’lsin. U holda  va  to’g’ri bo’ladi. Bu bog’lanishlardan

                             

hosil bo’ladi va uni ikkala qismiga  ni qo’shsak

                             

hosil bo’ladi va agar  deb olsak  ni hosil qilamiz.

Yagonaligi. Faraz qilaylik, yana bir boshqa

                    

tenglik ham mavjud bo’lsin. U holda bu ikki tengliklarning ayirmasidan

                             

va bundan,  hosil bo’ladi  va demak kelib chiqadi. Lekin  bo’lgani sababli  shart faqat va faqat , ya’ni , ya’ni bo’lgandagina bajariladi va bunday holda .

Teorema isbot bo’ldi.

Teoremadagi tenglikka sonlarni qoldiqli bo’lish va undagi  songa  bo’linma songa esa qoldiq deyiladi.

Shuni ta’kidlaymizki, qoldiqli bo’lish mavjud bo’lgan halqalarga Yevklid halqalar deb aytiladi.

Misol.  ni 11 ga qoldiqli bo’lamiz: , bu yerda ,  bo’ladi.

Qoldiqli bo’lish haqidagi teoremaga asosan qo’yidagi tenglikliklarni yozish mumkin.

                    

Bu tengliklarning o’ng tomonidagi tengsizliklarga e’tibor bersak, qo’yidagi tengsizliklar bog’lanishi ko’zga tashlanadi:

,

bu yerda hamma  lar natural sonlardir va demak natural sonlar qo’yidan chegaranganligi tufayli biror-bir  nomerdan boshlab  bo’ladi.

(2) tengliklar sistemasiga Yevklid algoritmi deb yuritiladi.

Misol. 2576 va 154 sonlar uchun Yevklid algoritmini tuzamiz:

2576=15416+112

154=1121+42

112=422+21

42=281+14

28=142

Ta’rif 18.4. O’zidan va bir sondan boshqa bo’luvchilari bo’lmagan va bir sonidan katta bo’lgan natural songa tub son deyiladi.

         Masalan, 2,3,5,7,11,13,17,19,23 sonlari tub sonlar bo’ladi.

         Birdan farqli natural bo’luvchilari soni ikkitadan ortiq bo’lgan natural songa murakkab son deyiladi.

         Masalan, 12, 25, 27 sonlar murakkab songa misol bo’la oladi.

         Teorema 18.5. Agar  butun son,  va  ning bir sondan katta bo’lgan bo’luvchilari ichida eng kichigi  bo’lsa, u holda tub son.

         Isbot. Haqiqata

n,  va  bo’lsin. Agar  bo’lsa, u holda bunday  ning mavjudligi  ning ta’riflanishiga zid. Demak,  yoki , ya’ni tub son.

         Teorema 18.6. Har qanday  son va  tub son  yoki .

         Isbot. tub sonning bo’luvchilari 1 va  bo’lganligi uchun  son  ga bo’linadi yoki birga bo’linadi. Shuni ta’kidlaymizki,  bo’lganligi uchun  bo’ladi.

         Teorema 18.7. Agar  yoki  bo’ladi, ya’ni ko’paytma tub songa bo’linsa, uning ko’paytuvchilaridan kamida bittasi  ga bo’linadi.

         Isbot. Haqiqatan, agar , ya’ni  son  ga bo’linmasa, u holda  bo’ladi va demak .

         Xuddi shunday bu teoremani bir nechta ko’paytuvchilar uchun ham qo’llash mumkin.

         Teorema 18.8. Tub sonlar soni cheksiz ko’pdir.

         Isbot. Teskarisidan faraz qilamiz, ya’ni  tub sonlar cheklita tub sonlar bo’lsin. Ushbu  sonni qaraymiz. Bu son  tub sonlarga bo’linmaydi va  tub son bo’lishi mumkin yoki  tub sonlardan farqli boshqa bir tub bo’luvchisiga egadir. Bu farazimizga ziddir, demak teorema to’g’riligini bildiradi.

         Teorema 18.9. Har qanday birdan katta butun son tub sonlarning ko’paytmasi shaklida yoziladi va ko’paytma ko’paytuvchilarning yozilish tartib aniqligida yagonadir.

         Isbot. Isbotni matematik induksiya yordamida ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, bu son  bo’lsin. Agar  tub son bo’lsa, u holda teorema to’g’ri. Endi  bo’lsin. U holda shunday  tub son mavjudki,  va demak  bo’ladi.  Agar  bo’lsa, u holda  va teorema to’g’ri. Agar  bo’lsa, u holda yuqoridagi mulohazani  uchun qo’llaymiz va demak  bo’ladi. Bulardan  dir. Endi matematik induksiya faraziga asosan  ham tub sonlar ko’paytmasi shaklida ifodalanadi va demak

yoyilmani hosil qilamiz.

         Endi yoyilmani yagonaligini ko’rsatamiz. Buning uchun teskaridan faraz qilamiz, ya’ni  son boshqa bir

yoyilmaga ega bo’lsin (bu yerda  sonlar tub sonlardir). Bu ikki yoyilmadan

hosil bo’ladi. Bu tenglikning chap tomonidan o’ng tomoniga qarab mulohaza yuritsak va unga teorema 10.4 ni qo’llasak, chap tomondagi biror-bir tub son o’ng tomondagi biror-bir  tub songa bo’linadi. Bundan esa  kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.

         Keltirilgan ushbu teoremaga arifmetikaning asosiy teoremasi deb yuritiladi.

         Yoyilmada ko’paytuvchilar orasida tenglari ham bo’lishi mumkin. Faraz qilaylik, bu yoyilmada  tub son  son marta,  tub son  son marta va hokazo  tub son  son marta qatnashsin. U holda yoyilma

                               (1)

ko’rinishni olib, bu ko’rinishga  sonning kanonik ko’rinishi deb ataladi. Agar  butun son  bo’lsa, u holda  ning kanonik yoyilma manfiy butun sonlar uchun ham o’rinlidir va umumiy holda

                             (2)

kanonik yoyilma yozishimiz mumkin bo’ladi.

         Sonlarning kanonik yoyilmasi yordamida EKUB va EKUKlarni ham topishimiz mumkin. Haqiqatan, bizga  va  sonlarning kanonik shakllari berilgan bo’lsin:

,

U holda  va  bo’lib, bu yerda  va  lardan iborat bo’ladi.

         Agar bizga   sonning kanonik yoyilmasi berilgan bo’lsa, u holda bu sonning  Eyler formulasidagi qiymati

                  (3)

dan iborat bo’ladi. Xususan

va  hosil bo’ladi. Shuni ta’kidlaymizki,  bo’lishligining  tub sonning xususiyatlaridan chiqqan holda to’g’ri bo’lishligini ayta olamiz, chunki  tub hamma  ta  Bilan o’zaro tubdir.

         Misol.  ni hisoblaymiz.

         .

         Eyler funksiyasi va uning qiymatlarini hisoblash uslublarini o’quvchi Sonlar nazariyasi adabyotlaridan ko’rib olishi mumkin.

Nazorat uchun savollar

ℤ halqada sonlarning bo’linishi ta’rifini ayting.

Bo’lishning  refleksivlik, tranzitivlik xossalarini isbotlang. 3.Qoldiqli bo’lish va uning haqida teoremalarni keltiring.

Yevklid halqalari qanday shartlarni qanoatlantiradi?

Yevklid algoritmi va uning tatbiqiga misollar keltiring.

Tub son qanday son?

Tub sonlarning qanday xossalarini bilasiz va ularni isbotlang.

Tub sonlarning cheksizligini isbotlang.

Sonlarning kanonik yoyilmasi nima va u qanday topiladi?

Tub ko’paytuvchilarga ajratish usulini ayting.

Arifmetikaning asosiy qonunini ayting va uni isbotlang.

Eyler formulasi nima maqsadda ishlatiladi?

Adabiy

otlar

1.                              Hojiyev J., Faynleyb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi. Darslik.- T.: O’qituvchi, 2001.

2.                              Isroilov M.I., Soleyev A.S. Sonlar nazariyasi. – T.: Fan, 2003.

3.                              Iskandarov R.I., Nazarov A. Algebra va sonlar nazariyasi. 1, 2- qism. –T.: O’qituvchi, 1977.

4.                              Нарзуллаев У.Х., Солеев А.С. Алгебра и теория чисел в задачах и упражнениях. 1,2-ч., Самарканд, СамГУ, 2002.

5.                              Zaynalov B.R., Narzullayev U.X. Bir binar amalli algebraik sistemalar. - Samarqand, SamDU, 1989.

6.                              Шнeпeрман Л.Б.Сборник задач по алгeбрe и тeории чисeл.-Минск, Вышeйшая школа,1982.

7.                              Проскуряков И.В. Сборник задач по линeйной алгeбрe.- М.: Наука, 1984.

8.                              Фадeев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшeй алгeбрe.-М.: Наука, 1977.

Сборник задач по алгeбрe.Под рeд. А.И.Кострикина.-М.:Наука, 1987.