Reja algebraik va transcendent tenglamalar haqida tushuncha

Urinmalar (Nyuton) usuli
Bu usul qo’llanilganda tenglamaning ajralgan [a,b] ildiziga boshlang’ich yaqinlashish x₀ tanlab olinadi va ketma-ket yaqinlashishlar

formula bilan hisoblanadi. Bu yerda n yaqinlashishlar tartib soni, x_n – ildizga n – yaqinlashish.
Boshlang’ich, ya’ni nolinchi yaqinlashish f(a) f^’"(a)>0 shartni bajaradigan qilib olinadi. Agar shart bajarilsa x₀=a, aksincha x₀=b qilib olinadi.
Urinmalar usuli bilan tenglama ildizlarini aniqlash ikki bosqichda amalga oshiriladi.
Birinchi bosqichda x₀ tanlab olinadi. Buning uchun f(x) funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi topiladi va uning x=a nuqtadagi qiymati hisoblanadi hamda yuqoridagi shartga asosan x₀ tanlab olinadi.
Ikkinchi bosqichda f(x), f^(x) qiymatlarini hisoblash uchun funksiyalar tuziladi, x₀,  qiymatlari EHMga kiritiladi va dastur yordamida hisoblashlar bajariladi.

Algebraik va transendent tenglamalarni taqribiy yechish algoritmlari matematikada ko'p qo'llaniladigan usullardandir. Algebraik tenglamalar, barcha ildizlarining darajasini ko'rsatadigan tenglamalardir. Transendent tenglamalar esa ildizlarini sonlantirib ifodalangan tenglamalardir.

Birinchi bo'limda, birorta qiymatni hisoblash uchun to'g'ridan-to'g'ri qo'llaniladigan Newton-Raphson metodi keltirilgan. Keyingi bo'limda esa transendent tenglamalarni yechish uchun bajariladigan ixtiyoriy metodlar keltirilgan.

1. 
   Algebraik tenglamalarni yechish:
   

Newton-Raphson metodi:
Agar f(x) birorta ildizli, to'g'ridan-to'g'ri qiymat berilgan va f'(x) funksiyasining qiymati x=x_0 da mavjud bo'lsa, Newton-Raphson metodi quyidagicha ko'rsatiladi:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
Bu formulda x_n - n chi qadamda yechingan qiymat, x_{n+1} - n+1 chi qadamda yechingan qiymatni ifodalaydi. Ushbu formulni qayta-qayta ishlatish orqali, berilgan algebraik tenglamaga birorta yechimni topish mumkin.

2. 
   Transendent tenglamalarni yechish:
   

Transendent tenglamalarni yechish uchun ko'p qo'llaniladigan ixtiyoriy metodlar quyidagilardir:
Birinchilari, "Bolzano" yoki "algoritm-diskretizatsiya" deb ataladigan metodlar. Ushbu metodlar orqali berilgan funksiyaning ikki nuqtasi orasida birorta yechimni topish mumkin. Masalan, [a,b] oralig'ida f(a)*f(b)<0 sharti qanoatlantirilgan holda berilgan funksiyaning yechimini topish mumkin.
Ikkinchilari, "qadamlashuv" yoki "tiklanishlar" deb ataladigan metodlar. Ushbu metodlar orqali funksiya yechimiga qarab harakatlanishning yaxshi natijalari topiladi. Masalan, "Steffensen" deb ataladigan metod funksiyaning mazmunini baholash uchun f(x), f(f(x)), f(f(f(x))) qiymatlaridan foydalanadi.