Reja: Arifmetik tushunchasi

Mavzu: Dastlabki matemanik tushunchalarning paydo bo’lishi.

Reja:
1.Arifmetik tushunchasi.
2.Sanash vositalari.
3.Raqamlarning ifodalanishi.
4.Geometriyaning kelib chiqishi.
5.Geometriya tushunchasining tavsifi.
1. Bizning matematika bilan tanishuvimiz son haqidagi fan- arifmetikadan boshlanadi. «Arifmetika» yunonlarning «son»ni anglatuvchi arithmos so`zidan hosil qilingan. Bu fan sonlar ustidagi amallarni, ular bilan bajariladigan turli qoidalarni o`rganadi, qo`shish, ayirish, ko`paytirish va bo`lishga olib keladigan masalalarni echishni o`rgatadi.
Arifmetika va geometriya insonning eng qadimgi yo`ldoshi.
Bu fan predmetlarni sanash, er maydonilarini o`lchash, boylikni bo`lish, vaqtni hisoblashga zarurat tug`ilgan vaqtda vujudga kelgan.
Qadimgi SHarq mamlakatlarida to`plangan matematik bilimlar xazinasi qadimgi YUnoniston olimlari tomonidan rivojlantirildi va davom ettirildi. Tarix antik davrda arifmetika bilan shug`ullangan ko`plab olimlarning nomini saqlab qolgan.
Anaksagor, Zenon, Evklid va Arximed, eratosfen va Diofant shular jumlasidan. Bunda Pifagorning nomi yorug` yulduz kabi chaqnab turadi.
Arifmetikaning asosiy ob`ekti – son. Natural sonlar, ya`ni 1,2,3,... Muayyan predmetlarni sanashdan hosil bo`lgan .
Odamlar ikkita tustovuq,ikkita qo`l, ikkita odam vahakazolarni ayni bir – «ikkita» so`z bilan ifodalash mumkin ekanini anglaguncha necha ming yillar o`tgan.
Dastlabki eng birinchi sanash vositalari odamning qo`l panjalari va toshlar bo`lgan. Barmoqlar bilan hisoblash natijasida beshlik va o`nlik sanoq sistemalari paydo bo`ldi.
Kertilgan pona va tugunli arqonlar hisob uchun keyinroq topilgan ixtirolar edi. Hisob-kitob uchun mahsus yaratilgan eng birinchi moslama abakdir. eramizdan ancha oldin qadimgi Misr va YUnonistonda ma`lum bo`lgan abak vositasida hisoblash to XV-XVIII asrgacha saqlandi. Bu davrlarga kelib yozma hisoblashlar abakning o`rnini egalladi. Abak asosan hisoblashlarni osonlashtirish uchun emas, asosan oraliq natijalarini yodda tutish uchun xizmat qilgan. Abakning bir necha turi ma`lum: yunon (misr) abagi chiziqlar o`tkazilgan taxta ko`rinishda bo`lib, chiziqlar hosil qilgan ustunlarga toshlar terilgan; rim abakida toshchalar taxtadagi novlarda surila olgan; Xitoyda (nomi suan-pan) va YAponiyada (saroban) tayoqchalarga soqqalar tizilgan; hisolblash jadvallarida esa birlik o`nlik yuzlik va bularni yozish uchun gorizontal chiziqlar, alohida qo`shiluvchilar yoki ko`paytuvchilarni yozish uchun esa vertikal chiziqlar o`tkazilgan. Bu chiziqlarga yapaloq predmetlar terilgan. Rus abaki – cho`t XVI-XVI asrda paydo bo`lgan.
Vaqt o`tishi bilan sonlarga nom berilibgina qolmay,ularni belgilash ham o`rganildi.
Raqamlar – sonlar yozuvida ifodalanadigan shartli belgilar. YOg`och dasta va suyaklarga o`yilgan kertiklarni, keyinroq esa chizgilarni sonlarning birinchi yozuvlari deb hisoblash mumkin. Ammo katta sonlarni bu usulda tasvirlash noqulay edi,shu sababli ba`zi chiziqchalar to`plash uchun maxsus belgilar (raqamlar) ishlatila boshlandi.
Qadimgi Misrda taxminan 5000 yil ilgari 10 soni ∩ ieroglif bilan, 100 sonini @ bilan belgilana boshlandi vahokazo.
eramizdan avval II asrdan eramizning boshigacha Dajla va Evfrat daryolari orasida yashagan xalqlar (Bobilliklar, assiriyaliklar, shumerlar) avval sonlarni turli kataklardagi doira va yarim doiralar bilan belgilashgan, keyin esa faqat ikkita mixxat belgi to`g`ri pona pona  (1) va yopiq pona ∆ (10) dan foydalanishgan.
eramiz boshida Markaziy Amerikaning YUkaton yarim orolida yashovchi hindularning mayya qabilasi sanashning boshqa sistemasi – yigirmali sistemasidan foydalangan. Ular 1 ni nuqta bilan, 5 ni esa gorizontal chiziq G` bilan belgilashgan.
Qadimgi YUnonistonda avval 5,10,100,1000,10000 larni G, ∆ ,H,X,M harflari bilan 1 ni esa chiziqcha bilan belgilashgan. Keyinroq1,2,…,20,30,…90,100,200,…,900,1000,2000,…,9000, 10000,20000 sonlarini yunon alifbosining harflari bilan belgilay boshladilar. Raqamlarni xarflardan farq qilishi uchun ularning tepasiga chiziqcha tortib qo`yilar edi.
Arablar zabt etgan mamlakatlarda , jumladan O`rta Osiyoda ham xuddi YUnonlarnig belgilashlariga o`xshash ―abjad‖ deb ataluvchi sistemadan foydalanishgan.
Sonlarni shunga o`xshash belgilash sistemasi qadimgi Rusda ham qo`llagilgan. Ular ham sonlarni belgilovchi xarflar ustiga maxsus belgilar qo`yishgan.
Qadimgi Rimliklardan bizgacha I(1), V(5), X(10), C(100), M(1000) raqamlari etib kelgan. Ba`zi olimlar V ochiq panjani ,X esa ayqash ikki qo`lni bildiradi deb hisoblaydilar. Xitoyda va YAponiyada sonlarni yozish uchun ierogliflardan foydalanilgan.
Natural sonlarning xozirgi o`nli yozuvi birinchi marta VI-VIII asrda O`rta Er dengizi va Osiyoning kata-katta rayonlarini bosib olgan arablar orqali hind raqamlari boshqa erlarga tarqaldi.
Geometriya - eng qadimgi matematik fanlardan biri. Biz geometriyaga taaluqli birinchi faktlarni Bobilning mixxatli jadvallaridan va misrliklarning papiruslaridan, shuningdek boshqa manbalardan topamiz. «Geometriya» fanining nomi qadimgi yunon tilidan olingan. U qadimgi ikki yunon so`zi (geo- «er» va metrio-«o`lchayman»)-dan olingan.
Geometrik bilimlarning vujudga kelishi odamlarning amaliy faoliyati bilan bog`liq. Bu ko`pincha geometrik figuralarning nomlarida o`z aksini topgan.
Predmetlarning fizik xossalaridan tashqari, ularning o`lchovlari, forma va tuzilishi, odamlarni geometrik jism va geometrik figura tushunchalariga olib keldi. Masalan, sirt chiziq, nuqta,tekislik va boshqalar.
Geometrik figuralapr eng qadimgi xujjatlar, «Moskva» papirusida, «Axmes papirusida», 4000 yil oldin yozilgan Qadimgi Bobil qo`lyozmalarida uchraydi.
Qadimgi geometrik figura va tushunchalarni ishoralar bilan belgilashga urindilar. YUnon olimi
Geron «uchburchak» so`zini - ∆ belgi ga, «to`g`ri to`rtburchak» so`zini belgiga almashtirgan. Frantsiyalik matematik P.Erigon XVII asrda quyidagi belgilashlarni kiritadi:
 - burchak tushunchasi uchun

 - perpendikulyar tushunchasi uchun

O – doira tushunchasi uchun

-to`g`ri burchak tushunchasi uchun

 - aylana qismi tushunchasi uchun.

Ba`zi bir geometrik atama va tushunchalarning kelib chiqishi.
Geometrik atamalarnig ko`p qismi YUnonlardan kelib chiqqan. Bu atamalarning ko`p qismi qadimdan ma`lum bo`lgan va o`rta asrlarda lotin tiliga o`girilib, ko`p olimlarga hizmat qilib kelmoqda. SHuning uchun ko`p atamalar yunoncha va lotinchadan kelib chiqqan.
«Planimetriya»- lotincha so`zdan olingan bo`lib, planum-tekislik va yunocha metrio – o`lchov so`zidan kelib chiqqan.
―Figura‖-lotincha bo`lib,obraz, ko`rinish va tasvir ma`nolarini bildiradi.Bu atama XII asrdan boshlab ishlatilib kelinmoqda. Ungacha bu so`zning o`rniga ―forma‖ so`zi ishlatilgan.
―CHiziq‖ lotincha so`zidan olingan bo`lib, linea (chiziq), linum – shinur, arqon,zig`ir ip degan ma`nolarini anglatadi.
«Perpendikulyar»-lotincha so`z bo`lib, perpendicularis – «tik yo`nalgan» degan ma`noni bildiradi. Bu atama o`rta asrlarda paydo bo`lgan.
«Bissektrisa» - lotincha bo`lib, bis(ikkilangan) va sektrix (kesuvchi)so`zlaridan olingan.
«Vertikal» (burchak)- lotincha bo`lib, vertikalis- cho`qqi ma`nosini bildiradi.
―TSirkul‘‖- lotincha bo`lib, cuirculus doira ma`nosini bildiradi.
«Radius»- lotincha bo`lib, radius –nur so`zidan olingan.
―Diametr‖- yunoncha bo`lib, diametros –orasini o`lchangan so`zidan kelib chiqqan.
«Vatar» (xorda) yunoncha « korde» so`zidan olingan bo`lib, tekis tortilgan sim ma`nosini bildiradi.
«Mediana»- lotincha bo`lib, mediana – «o`rta» (chiziq) ma`nosini bildiradi.
«Dioganal»- ikkita yunoncha «dio» orqali va ―gonios‖- burchak so`zlaridan olingan.
Uchburchak eng sodda yopiq to`g`ri chiziqli figura, insonlarga eng qadimgi zamonlardan ma`lum bo`lgan figuralardan biri bo`lib, hayotda doimo o`z tatbiqini topgan. Uchburchaklarni tasvirlash va ular to`g`risidagi masalalar papiruslarda, hind kitoblarida va boshqa qadimgi qo`lyozma hujjatlarida uchraydi.
Qadimgi Bobil va YUnonistonning matematik hujjatlarida to`rtburchakning quyidagi ko`rinishlari uchraydi: kvadratlar,to`g`ri to`rtburchaklar, teng yonli va to`g`ri burchakli trapetsiyalar.
«Romb» so`zi yunoncha bo`lib, uning ma`nosi aylanadigan jism,(aylonadigan o`yinchoq) ni bildirgan.
«Kvadrat» atamasi lotincha bo`lib, quadratium – to`rtburchakli kilish, yunoncha ― tetragon‖ – to`rtburchakning tarjimasidir.
―Geometriya tanishgan birinchi to`rtburchak bu kvadrat bo`lgan‖ –deb yozadi D.D. Mardikay Beltovskiy.
«Trapetsiya» - yunoncha so`z bo`lib , « stolcha » ma`nosini bildiradi. «Negizlar» kitobida «trapetsiya» tushunchasi ixtiyoriy to`rtburchak uchun qo`llangan «trapetsiya» so`zi, birinchi qadimgi yunon matematigi Posidon asarlarida uchragan O`rta asrlarda trapetsiyani Evklidning fikri bo`yicha ixtiyoriy to`rtburchak deb atalgan, XVII asrda esa xaqiqiy manosida qo`llangan.
Aylana bu eng oddiy egri chiziqlardan biridir. Aylana eng kadimgi geometrik figuralardan xisoblanadi. O`sha paytlardagi faylasuf olimlar aylanaga katta axamiyat berishgan. Bobillliklar va xindlar radiusni aylananing eng muhim elementi deb xisoblaydilar. Qadimda bu atama yo`q edi. Evklid va boshqa olimlar uni oddiy qilib «markazdan to`g`ri chiziq» deb atashardilar.
YUnoniston va Bobilninng arxitekura yodgorliklarida kub, parallelepiped, prizma kabi gemetrik figuralar uchragan. YUnonlar va bobilliklarning geometriyasining asosiy maksadlaridan biri fazoviy figuralarni xajmlarini xisoblashdan iborat edi. Bu topshiriqni ular uylar, qal`alar va maqbaralar qurganlarida xal etishdi.
Kub, prizma parallelpiped va boshqa fazoviy geometrik jism va figuralarni o`rganadigan geometriya qismi – qadimdan stereometriya deb ataladi.
Stereometriya so`zi yunoncha so`z bulib «stereos»- fazoviy, «metreo»- ulchash degan ma`nolarni bildiradi. Va birinchi yunon faylasufi Aristotel da uchraydi . «Prizma» atamasi yunoncha so`z bo`lib arralangan, kesilgan jismni bildiradi.
«Parallellipipedal jism» birinchi Evklidda uchraydi uning so`zma-so`z tarjimasi « paralel tekkis jism» degan ma`nolarni bildiradi.
YUnoncha «kubos» so`zini xam birinchi Evklidda ishlatilgan bulib xozirgi «kub» so`ziga to`g`ri keladi.
«Piramida» atamasi yunoncha so`z bo`lib « paramis» yoki «piramidos» so`zlaridan kelib chiqqan. O`z navbatida greklar bu so`zlarni misrliklardan olishgan. Axmes papirusida «piramus» so`zi uchraydi, piramidaning to`g`ri qirrasi ma`nosida ishlatgan. Boshqalar bu terminni «non»ning formasidan olingan deyiladi («piros»-bug`doy) Olovning ko`rinishi xam piramidaga o`xshatishadi va o`rta asr olimlari «pir» olov deyishgan. SHuning uchun XVII asrlardagi kitoblarda piramidaning nomi «olov shaklidagi jism» deyishgan.
«TSilindr» bilan insoniyat anchadan buyon tanish . Bunga daraxtlarning tagidagi to`nkalari turtki bo`lgan. Vaqt o`tgan sari binolar qurilishi uchun ko`prik va boshqa qurilish ishlari uchun xodalar tayyorlashgan. 3-4 ming yil oldin masjid va qasrlarni baland kalonnalar bilan yasatishni o`ranishgan va toshlarni tsilindr shakliga keltirilgan «TSilindr» so`zi grekcha «klindro» so`zidan kelib chiqqan bo`lib aylanadigan, yoyadigan ma`noni bildiradi, «Klindros» so`zi dasta, sop ma`nolarni bildiradi.
Lotincha conus so`zi grekcha so`zning o`zlashmasi («konos»)-archa shishkasi, uzunchoq urchuk(charx) ma`nosini anlatadi.
SHarni geometrik jism deb aytish mumkin va sfera anglatadi. SHar va sfera grekcha «sfayra» so`zidan kelib chiqqan. SHar so`zining kelib chiqishi talaffuzda «SF»ning o`rniga «SH» bo`lib ketgan.
«Teorema»-yunoncha so`z bo`lib , «teoreo» o`ylab ko`raman, degan ma`noni bildiradi