Reja: Binar munosabatlar

Binar munosabatlar. Aniqlanish va qiymatlar sohasi. Binar munosabatlar inversiyasi.
Reja:

1. 
   Binar munosabatlar.
   
2. 
   Binar munosabatlarning xossalari.
   
3. 
   Binar munosabatlar inversiyasi.
   

1-Ta’rif. dekart ko’paytmaning istalgan R qism to’plamiga A va B to’plam elementlari orasida aniqlangan binary (ikki o’rinli) munosabat deyiladi.
Agar bo’lib, bo’lsa, a element R munosabat yordamida b element bilan bog’langan deb o’qiladi yoki R munosabat a va b elementlar uchun o’rinli deb yuritiladi va orqali yoziladi. Mosliklar odatda harflar orqali belgilanadi.
Misol. Agar a, b lar to’g’ri chiziqlarni ifodalasa, u holda bo’lib, lar binary munosabatlar bo’ladi.
Berilgan to’plamning har biri chekli to’plamlar bo’lsa, ular orasidagi moslikni faqatgina juftliklar orqali emas, balki graflar orqali ham ifodalash mumkin.
2-Ta’rif. Tekislikdagi chekli sondagi nuqtalar va ularning ba’zilarini tutashtiruvchi chiziqlar to’plami hosil qilgan figura graf, nuqtalar grafning uchlari, bu uchlarning qandaydir ikkitasini tutashtiruvchi chiziq grafning qirrasi deyiladi. Barcha qirralari yo’nalishi strelka bilan ko’rsatilgan graf orientirlangan graf deyiladi.
A to’plamdagi R binar munosabatni graf orqali ifodalash uchun quyidagicha ish tutamiz:
Dastavval A to’plamdagi elementlarni nuqtalar bilan belgilab chiqamiz, so’ngra juftliklar uchun, ya’ni ( ) bo’lganda a dan b elementga 10-chizmada ko’rsatilgandek strelkali chiziq o’tkazamiz.

a=b bo’lsa, ya’ni ga 10-chizmadagi sirtmoq mos keladi. Yo’nalishi ikki tomonga strelka bilan ko’rsatilgan qirra orientirlanmagan graf deyiladi. (11-chizma)
Endi binar munosabatlarning tengligi, inversiyasi va kompozitsiyasi to’g’risida to’xtalamiz.
3-Ta’rif. R va S binar munosabatlar berilgan bo’lib, ixtiyoriy x va y elementlar uchun bo’lganda va faqat shundagina bo’lsa, R=S deyiladi.
4-Ta’rif. R va S munosabatlarning kompozitsiyasi (superpozitsiyasi) deb biror z element uchun va shartni qanoatlantiruvchi barcha (x;y) juftliklar to’plamiga aytiladi va u yoki orqali belgilanadi.
Ta’rifga asosan R va S munosabatlar kompozitsiyasini shunday z mavjudki, uning uchun xSz va zRy lar o’rinli} orqali yoziladi.
Misol.
bo’lganda bo’ladi.
5-Ta’rif. bo’lganda shartni qanoatlantiruvchi barcha juftliklar to’plami R binar munosabatning inversiyasi deyiladi va bo’ladi.
6-Ta’rif. R ning barcha juftliklaridagi birinchi elementlari to’plamiga R munosabatning aniqlanish sohasi deyiladi va u yoki orqali belgilanadi.
7-Ta’rif. R ning barcha juftliklaridagi ikkinchi elementlari to’plamiga R munosabatning qiymatlari to’plami deyiladi va yoki Im R orqali belgilanadi.
simvol odatda ta’rifga asosan belgilanishni bildiradi. R munosabatning aniqlanish va qiymatlar sohasini mos ravisgda = shunday x mavjudki, uning uchun }, Im ={y/ shunday x mavjudki, uning uchun } kabi yoza olamiz.
Binar munosabatlar juftliklar to’plamini to’plamini ifodalagani uchun munosabatlarning birlashmasi, kesishmasi va to’ldiruvchi to’plamlari to’g’risida fikr yuritish mumkin.
Misollar.
1. n istalgan natural son bo’lganda, munosabat binar munosabat bo’ladi.
Haqiqatdan, biror juftlik W ga tegishli, ya’ni bo’lishi uchun b=a+1 bo’lishi zarur va yetarlidir. a+1 natural son esa a dan bevosita keyin keluvchi natural sondir. Demak, N natural sonlar to’plamida “… dan bevosita keyin kelishlik” munosabati binar munosabat ekan.
2. m va n lar butun sonlar bo’lganda munosabat butun sonlar to’plamida aniqlangan binary munosabat bo’ladi.
Haqiqatan, agar a=nm bo’lsa va faqat shundagina bo’ladi. Agar
bo’lsa, a son n ga bo’linadi (n son a ni bo’ladi), deyiladi va yoki kabi belgilanadi.
3. Q- ratsional sonlar to’plamida aniqlangan munosabatlari ham binar munosabatlardir.
4. W- barcha tub sonlar to’plami bo’lsin. Unda istalgan natural son uchun shart a ning tub son ekanligini bildiradi. Demak, ning tubligi natural sonlar to’plamida aniqlangan unar munosabat ekan.
5. Ikkita a va b natural sonlarning eng katta umumiy bo’luvchisini toppish ternar munosabat deyiladi.