Reja: Differensial tenglamalar haqida umumiy tushuncha

1. Differensial tenglamalar haqida umumiy tushuncha. Klero tenglamasi

Reja:
1.Differensial tenglamalar haqida umumiy tushuncha.

2.Klero tenglamasi.
3.Xulosa.
4.Foydalanilgan adabiyotlar.

Differensial tenglamalar haqida umumiy tushuncha

Differensial tenglama deb erkli o’zgaruvchi x, noma’lum y=f(x) funksiya va uning u', u'’,.....,u(n) hosilalari orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi. Agar izlangan funksiya y=f(x) bitta erkli o’zgaruvchining funksiyasi bo’lsa,
u holda differensial tenglama oddiy differentsial tenglama, bir nechta
o’zgaruvchilarning funksiyasi bo’lsa u=U(x1, x2,...., xn) xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Differensial tenglamaning tartibi deb tenglamaga kirgan hosilaning eng yuqori tartibiga aytiladi. Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb differensial tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday y=f(x) funksiyaga aytiladi. Birinchi tartibli differentsial tenglama umumiy holda quyidagi ko’rinishda bo’ladi. F(x,y,y’)=0 Agar bu tenglamani birinchi tartibli xosilaga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, u holda y’=f(x,y) tenglamaga ega bo’lamiz. Odatda, tenglama hosilaga nisbatan yechilgan tenglama deyiladi. tenglama uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema o’rinli : Teorema. Agar tenglamada f(x,y) funksiya va undan y bo’yicha olingan df/dy xususiy hosila X0Y tekisligidagi (x0,y0) nuqtani o’z ichiga oluvchi biror sohada uzluksiz funksiyalar bo’lsa, u holda berilgan tenglamaning y(x0)=y0 shartni qanoatlantiruvchi birgina y=(x) yechimi mavjud. x=x0 da y(x) funksiya y0 songa teng bo’lishi kerak degan shart boshlang’ich
shart deyiladi: y(x0)=y0
Birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb
bitta ixtiyoriy C o’zgarmas miqdorga bog’liq quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi y=(x,с) funksiyaga aytiladi:a) bu funksiya differensial tenglamani ixtiyoriy с da qanoatlantiradi;b) x=x0 da y=y0 boshlang’ich shart har qanday bo’lganda ham shunday с=с0 qiymat topiladiki, y=(x,с0) funksiya berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiradi. Umumiy yechimni oshkormas holda ifodalovchi F(x,y,с)=0 tenglik differentsial tenglamaning umumiy integrali deyiladi. Ixtiyoriy с - o’zgarmas miqdorda с=с0 ma’lum qiymat berish natijasida y=(x,с) umumiy yechimdan hosil bo’ladigan har qanday y=(x,с0) funksiya xususiy yechim deyiladi. F(x,y,с0) - xususiy integral deyiladi. Differensial tenglama uchun dy/dx=с=const munosabat bajariladigan nuqtalarning geometrik o’rni berilgan differensial tenglamaning izoklinasi deyiladi.
Agar differensial tenglamadagi noma’lum funksiya ikki va undan ortiq ko’p argumentlarga bog’liq bo’lsa, u xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Bunday tenglamalarning nomidan ko’rinib turubdiki, ularda funksiyaning erkli argumentlari bo’yicha xususiy hosilalari qatnashadi.
Oddiy differensial tenglamalardagi kabi xususiy hosilali differensial
tenglamalar ham cheksiz ko’p yechimlarga ega. Bu yechimlarga umumiy
yechimlar deyiladi. Xususiy yechimlar umumiy yechimlardan ma’lum shartlar
asosida ajratiladi. Bu qo’shimcha shartlar tenglama qaralayotgan sohaning odatda chegarasida beriladi. Xususiy hosiladagi erkli o’zgaruvchilardan biri vaqt bo’lishi ham mumkin. Bunday fizik va texnik masalalar amalda ko’p uchraydi. Qo’shimcha shartlar sifatida bunday tenglamalar uchun vaqtning biror belgilangan qiymatida izlanuvchi funksiyaning qiymatlari ishlatiladi. Masalan,shart boshlang’ich vaqt t=0 da (yoki umuman t=t₀ =const) berilishi mumkin. Bunday shartga biz boshlang’ich shart deymiz. Qo’shimcha shartlar soha chegarasida berilsa, bunday masalaga chegaraviy
masala deyiladi.
KLERO DIFFERENSIAL TENGLAMASI
X va y ga nisbatan chiziqli boʻlgan koeffitsiyentlari esa ning funksiyalari boʻlgan differensial tenglamaga lagranj differensial tenglamasi deyiladi.
Ushbu tenglamani yechish algoritmi quyidagicha: Umumiy yechimni topish uchun oʻzgaruvchi almashtiriladi. Differensial tenglama quyidagicha koʻrinishga keltiriladi:
bunda Ushbu tenglama ekanligini eʼtiborga olib differensiallaymiz.
x ga nisbatan chiziqli boʻlgan ushbu differensial tenglamaning yechimi x=F(p,c) boʻlsa, u holda Lagranj differensial tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha boʻladi:
Taʼrif. x va y ga nisbatan chiziqli boʻlgan koeffitsiyentlari esa ning funksiyalari boʻlgan quyidagicha differensial tenglamaga
klero tenglamasi deyiladi. Klero differensial tenglamasi Lagranj differensial tenglamasining xususiy holi hisoblanadi. Ushbu differensial tenglamani yechish algoritmi quyidagicha: Oxirgi ifodani dx ga boʻlamiz
B irinchi yechim: 𝑑𝑝 = 0 ⟹ 𝑝 = 𝐶 ⟹ 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑥 + 𝜑(𝐶)
Ikkinchi yechim esa: parametrik tenglamalar sistemasini yechish orqali hosil qilinadi. Hosil boʻlgan F(x,y)=0 ikkinchi yechim ixtiyoriy oʻzgarmas sonni oʻz ichiga olmaydi va umumiy yechimdan ham C ning biror bir qiymati orqali hosil qilinmaydi, demak xususiy yechim emas. Bunday yechimlar maxsus yechim (integral) hisoblanadi. Shunday qilib Klero tenglamasining maxsus yechimi umumiy yechim (integral) bilan berilgan toʻgʻri chiziqlar oilasining egilish chizigini aniqlaydi, boshqacha qilib aytganda maxsus yechimning ixtiyoriy nuqtasiga oʻtqazilgan urinma ham differensial tenglama yechimi boʻladi. Klero differensial tenglamasi koʻp hollarda analitik geometriyada 2-tartibli egri chiziqlarni qurish uchun ishlatiladi. Egri chiziqni uning urinmasiga qoʻyilgan xossalari boʻyicha aniqlaydigan geometrik masalalar Klero tenglamasiga olib keladi. Ushbu xossa aynan urinmaga tegishli boʻlib, urinadigan nuqtaga tegishli emas. Haqiqatdan ham urinma tenglamasi: 𝑌 − 𝑦 = 𝑦^′(𝑋 − 𝑥) yoki 𝑌 = 𝑦^′𝑋 + (𝑦 − 𝑥𝑦^′) Urinmaning har qanday xossasi (𝑦 − 𝑥𝑦^′) va 𝑦^′ oʻrtasidagi munosabat bilan aniqlanadi: Ф(𝑦 − 𝑥𝑦^′, 𝑦^′ )=0 Ushbu tenglamani 𝑦 − 𝑥𝑦^′ ga nisbatan yechilsa, aynan 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦^′ + 𝜑(𝑦^′) Klero tenglamasiga kelamiz.
Misol. 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦^′ + (𝑦^′)²
𝑦^′ = 𝑝 ⟹ 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑝 + 𝑝² 𝑦^′ = 𝑝 ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥 ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑑(𝑥 ∙ 𝑝 + 𝑝²) 𝑦^′𝑑𝑥 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + 2𝑝𝑑𝑝 ⟹ 𝑝𝑑𝑥 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + 2𝑝𝑑𝑝 Oxirgi ifodani dx ga boʻlamiz – ushbu tenglama mumkin boʻlgan ikki xil yechimga ega.

1. 
   

1 -yechim: 𝑑𝑝 = 0 ⟹ 𝑝 = 𝐶 ⟹ 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑥 + 𝜑(𝐶) Klero tenglamasining umumiy integrali (yechimi) toʻgʻri chiziqlar oilasini tashkil qiladi.

2-yechim: yechim parametrik koʻrinishda tenglamalar sistemasidan topiladi:
𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑝 + 𝑝² 𝑥 + 2𝑝 = 0 ushbu sistemadan 𝑝 ni yoʻqotib ikkinchi yechimni topamiz
Ikkinchi yechim ixtiyoriy oʻzgarmas sonni oʻz ichiga olmaydi va umumiy yechimdan ham C ning biror bir qiymati orqali hosil qilinmaydi, demak xususiy yechim emas. Bunday yechimlar maxsus yechim (integral) hisoblanadi.