Reja: Funktsiya va uning berilish usullari

3- MA’RUZA.

Mavzu: Funksiya tushunchasi. Funksiya limiti. Funksiya limitini hisoblash. 1- va 2-ajoyib limitlar. Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar. Cheksiz kichik funksiyalarni taqqoslash.

Reja:

1. Funktsiya va uning berilish usullari.

2. Funksiya limiti.

3. Funksiya limitini hisoblash.
Asosiy ibora va atamalar: analitik usul, quyidan chegaralangan, yuqoridan chegaralangan, nuqta atrofi.

1.O’zgaruvchi va o’zgarmas miqdorlar. Tabiatda, fan va texnikaning barcha sohalarida har xil miqdorlarni (uzunlik, yuza, vaqt, massa va h.k.) uchratamiz. Bunday miqdorlar vaziyatga qarab turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Masalan, har qanday uchburchakning burchaklari yig’indisi har doim 180⁰ ga teng bo’lsa, uchburchaklar perimetrii esa (ularning tomonlari uzunligiga qarab) turlicha bo’ladi. Bundan uchburchak burchaklari yig’indisi o’zgarmas miqdor, uchburchak perimetri esa o’zgaruvchi miqdor ekani ko’rinadi. Natijada ikki xil miqdor- o’zgaruvchi va o’zgarmas miqdorlarga duch kelamiz.

O’zgaruvchi miqdorlar va hokazo harflar bilan belgilanadi.

Agar o’zgaruvchi miqdorlarning qabul qiladigan qiymatlari to’plami ma’lum bo’lsa, o’zgaruvchi berilgan deyiladi.(masalan) barcha musbat sonlar to’plami o’zgaruvchi miqdor sifatida olingan aylana radiusi ning qabul qiladigan qiymatlari to’plami bo’ladi.

Matematikada bir nechta o’zgaruvchi miqdorlar va ular orasidagi bog’lanishlar o’rganiladi. Misol tariqasida radiusi ga teng bo’lgan aylana uzunligini olaylik. Bunday aylana uzunligi

(14.1)

bo’ladi.

Aylana radiusi va hamda aylana uzunligi o’zgaruvchi miqdorlardir. Ular (1) munosabat bilan bog’langan. Bu bog’lanishlardan ko’rinadiki, aylana radiusi erkli ravishda musbat qiymatlarni qabul qilsa, aylana uzunligi esa unga bog’liq ravishda (demak, erksiz) qiymatlarni qabul qiladi.

2. Funktsiya ta’rifi. Funktsiyaning berilish usullari. Ikkita o’zgaruvchilarni qaraylik. o’zgaruvchining qabul qiladigan qiymatlari to’plami o’zgaruvchining qabul qiladigan qiymatlari haqiqiy sonlar to’plamlaridan iborat bo’lsin.

1-ta’rif. Agar to’plamdan olingan har bir songa biror qoida yoki qonunga ko’ra to’plamning bitta soni mos qo’yilgan bo’lsa, u holda to’plamda funktsiya aniqlangan (berilgan) deyiladi.

Bunda to’plam funktsiyaning aniqlanish (berilish) sohasi, to’plam esa funktsiyaning o’zgarish sohasi, - funktsiyaning argumenti, esa ning funktsiyasi deyiladi. har bir ga bitta ni mos qo’yuvchi qoidani bildiradi.

Keltirilgan ta’rifdagi ,,birlashtirilib, o’zgaruvchi ning funktsiyasi deyiladi va

tarzida yoziladi va «igrek teng ef iks» deb o’qiladi.

Misollar. 1. to’plamlar berilgan bo’lib, -har bir -haqqiy songa () uning kvadratini () mos qo’yuvchi qoida bo’lsin. Bu holda

funktsiyaga ega bo’lamiz.

Funktsiyaning berilish usullari.

1. Analitik usul. Bu usulda, ko’pincha o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanish formulalar orqali beriladi. Masalan ,

funktsiyalar analitik usulda berilgan funktsiyalardir.

2.Jadval usul. Bu usulda o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanish jadval orqali beriladi. Masalan kun davomida havo haroratini kuzatganimizda, vaqtda havo harorati , vaqtda havo harorati va h .k. bo’lsin.Natijada quyidagi jadval hosil bo’ladi.

-vaqt					…
-harorat

Bu jadvalda vaqt bilan havo harorati orasidagi bog’lanishni ifodalaydi. Bunda -argument, esa ning funktsiyasi bo’ladi.

3.Grafik usul. Bu usulda o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanish tekislikdagi biror egri chiziq orqali beriladi. Masalan, tekislikda 14.1-rasmda tasvirlangan egri chiziq berilgan bo’lsin.



14.1.rasm.

o’zgaruvchi to’plamda o’zgarsin. Bu to’plamdan ixtiyoriy son olamiz. SHu nuqtadan perpendikulyar chiqarib uning berilgan chiziq bilan kesishish nuqtasini topamiz va ga kesishish nuqtasining ordinatasi ni mos qo’yamiz. Natijada har bir ga() bitta mos qo’yilib funktsiya hosil bo’ladi. Bunda orasidagi bog’lanishni berilgan egri chiziq bajaradi.

3.Funktsiyaning limiti ta’riflari.

Biror haqiqiy sonlar to’plami berilgan bo’lsin.

2-ta’rif. Agar ning atrofida to’plamning cheksiz ko’p elementlari yotsa, nuqta to’plamning limit nuqtasi deyiladi.

Masalan,to’plam uchun -limit nuqtadir.

to’plam uchun esa va nuqtalar limit nuqtalar

3-ta’rif. Agar to’plamdan ga yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratish mumkin bo’lsa, nuqta to’plamning limit nuqtasi deyiladi.

4-ta’rif. Agar ketma-ketlikning limiti 0 ga teng bo’lsa,

u holda ketma-ketlik cheksiz kichik miqdor deyiladi.

5-ta’rif. Agar ketma-ketlikning limiti cheksiz

bo’lsa, u holda ketma-ketlik cheksiz katta miqdor deyiladi.

6-ta’rif. Agar to’plamdan musbat elementlardan iborat (manfiy elementlardan iborat) cheksiz katta (cheksiz kichik) ketma-ketlik ajratish mumkin bo’lsa, «nuqta» to’plamning limit nuqtasi deyiladi.

7-ta’rif. Agar to’plamning nuqtalaridan tuzilgan, ga yaqinlashuvchi har qanday ketma-ketlik olinganda ham, funktsiya qiymatlaridan iborat ketma-ketlik yagona (chekli yoki cheksiz) limitga intilsa, shu ga funktsiyaning nuqtadagi (ning ga intilgandagi) limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.

Funktsiya limitiga berilgan bu ta’rif Geyne tarifi deyiladi.

8-ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, argument ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsa, son funktsiyaning nuqtada (dagi) limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.

Funktsiya limitiga berilgan bu ta’rif Koshi tarifi deyiladi.

1-teorema. Funktsiyaning limiti uchun berilgan Geyne va Koshi (4-va 5- ta’riflar) ta’riflari o’zaro ekvivalentdir.

6-ta’rif.Agar son uchun shunday son topilsaki, argument ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida

tengsizlik bajarilsa, funktsiyaning nuqtadagi limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.

Endi funktsiyaning nuqtadagi o’ng va chap limitlari tushunchalarini keltiramiz

9-ta’rif. (Geyne ta’rifi). Agar to’plamningn nuqtalaridan tuzilga, har bir hadi dan katta (kichik) bo’lib, ga intiluvchi har qanday ketma-ketlik olinganda ham mos ketma-ketlik yagona soniga intilsa, shu soni funktsiyaning nuqtadagi o’ng (chap) limiti deyiladi va quyidagicha belgilanadi:

yoki

() yoki

10-ta’rif. (Koshi ta’rifi).Agar uchun shunday son topilsaki, argument ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsa, soni funktsiyaning nuqtadagi o’ng (chap) limiti deyiladi va quyidagicha belgilanadi:

yoki

() yoki

2-teorema. Agar funktsiya biror nuqtada limitga ega bo’lib, bu funktsiya shu nuqtada o’ng va chap limitlarga ega bo’lib,

munosabat o’rinli, va aksincha agar funktsiya nuqtada o’ng va chap limitlarga ega bo’lib, bu limitlar o’zaro teng ()ga teng bo’lsa, u holda bu nuqtada funktsiya limitga ega va bu limit ham ga teng bo’ladi.

11-ta’rif. (Geyne ta’rifi). Agar to’plamning nuqtalaridan tuzilgan har qanday katta (musbat cheksiz katta; manfiy cheksiz katta) ketma-ketlik olinganda ham mos ketma-ketlik yagona soniga intilsa, shu soni funktsiyaning dagi (limiti deyiladi va quyidagicha belgilanadi:

()

kabi belgilanadi.

() yoki

12-ta’rif. (Koshi ta’rifi).Agar uchun shunday son topilsaki, argument ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsa, soni funktsiyaning dagi (limiti deyiladi va quyidagicha belgilanadi:

()

kabi belgilanadi.