Reja ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal ekstremumlari

Masala: Ishlab chiqarish funksiyasi pul birligida ifodalanib, f(x,y)=30 ko‘rinishga ega. Bunda x–I xomashyo , y–II xomashyo birliklari miqdorini ifodalaydi. I xomashyo bir birligining qiymati – 5, II xomashyoniki esa–10 pul birligiga teng. Bu xomashyolardan foydalanish natijasida erishiladigan foydaning maksimal qiymatini toping. 6 2 3 30 ) , (y x yxf 
Yechish: Bizga ma’lumki, ishlab chiqarish funksiyasi f(x,y) xomashyolardan foydalanish natijasida olingan daromadni ifodalaydi. Bunda, masala shartiga asosan, xomashyolar uchun qilingan xarajatlar g(x,y)=5x+10y ikki o‘zgaruvchili funksiya orqali topiladi. Shu sababli xomashyolardan foydalanish natijasida olingan foyda ushbu
F(x,y)= f(x,y)– g(x,y)=30x^1/2 y^1/3–5x–10y
ikki o‘zgaruvchili funksiya orqali aniqlanadi. Bu funksiyani yuqorida ko‘rsatilgan algoritm bo‘yicha ekstremumga tekshiramiz. Bu yerda xususiy hosilalar
f_x’ (x,y)= 15x-^1/2 y^1/3–5, f_y’ (x,y)= 10x^1/2 y-^2/310
Bu xususiy hosilalarni nolga tenglashtirib, ushbu tenglamalar sistemasiga kelamiz va uni yechamiz:

2. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstrеmumlari. Oldingi qismda z=f(x,y) funksiyani ekstremumga tekshirishda uning x va y argumentlari butun D{f} aniqlanish sohasida qaralgan edi. Ammo bir qator masalalarni yechishda x va y argumentlarni faqat ma’lum bir shartni qanoatlantiradigan qiymatlarida funksiya ekstremumini topishga to‘g‘ri keladi.
Masalan, perimetri 2p bo‘lgan barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar orasidan yuzi eng katta bo‘lganini topish masalasini qaraymiz. Agar to‘g‘ri to‘rtburchak tomonlarini x va y deb olsak, bu masala S(x,y)=xy funksiyaning uning argumentlari 2(x+y)=2p yoki x+y=p shartni qanoatlantirganda, ya’ni y=–x+p tenglamali to‘g‘ri chiziqda yotganda, ekstremumini topish masalasiga keladi. Bu masala yechimini quyidagicha topamiz:
g’(x)=p-2x=0=>x₀=p/2=>
=>g(x₀)=p*(p/2)-(p/2)²=p²/4
Shunday qilib, bu masalani yechish uchun x va y argumentlarga qo‘yilgan shartdan foydalanib, ikki o‘zgaruvchili S(x,y) funksiyadan bir o‘zgaruvchili g(x) funksiyaga o‘tdik va uni ekstremumga tekshirdik. Bu yerda g′′(x)=–2<0 bo‘lgani uchun g(x) funksiya topilgan x0=p/2 kritik nuqtada maksimumga ega bo‘ladi. Demak, perimetri 2p bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar orasida eng katta yuzaga tomonlari x0=p/2 => y0=p–p/2=p/2 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak, ya’ni kvadrat erishadi va bu yuza qiymati S=p²/4 bo‘ladi.
Endi ko‘rib o‘tilgan bu masalani umumlashtiramiz. Bizga z=f(x,y) ikki o‘zgaruvchili funksiya berilgan bo‘lib, uning x va y argumentlari D{f} aniqlanish sohasida biror
φ(x,y)=0 (4)
tenglama bilan ifodalanadigan shartni qanoatlantirsin.