Reja kirish asosiy qism
Download 1.01 Mb. Pdf ko'rish
|
DIRAK SISTEMASI UCHUN LYAPUNOV FUNKSIYASI VA UNING XOSSALARI
- Bu sahifa navigatsiya:
- Lemma isbotlandi. Teorema 1.6.
- Teorema isbotlandi.
- Teorema 1.1.
- Teorema 1.1 isbotlandi.
|
Natija 1.3. Ushbu 0 2 ) (
tenglamalar ildizlarining karrasi ikkidan oshmaydi. Yuqorida keltirilgan teoremalar va ) ( Lyapunov funksiyasining asimptotikasiga ko`ra, umuman olganda ) ( funksiyaning grafigi quyidagi ko`rinishda bo`lishi kelib chiqadi:
(1-rasm) ) , (
c va
) , (
s funksiyalar ham (1.1) tenglamani qanoatlantirishidan quyidagi lemma kelib chiqadi.
) , ( x c va
) , ( x s yechimlari uchun quyidagi ayniyatlar bajariladi: ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 x s c x c c x c , ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 x s s x c s x s . Quyidagi Dirak sistemasini ko`rib chiqamiz , ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1 0 ) ( 2 1 2 1 2 1 y y y y x p x q x q x p y y y L ) , ( x ,
(1.3) bu yerda t haqiqiy parametr. ) ,
( x c va
) , , ( x s orqali (1.3) tenglamaning quyidagi boshlang`ich shartlarni qanoatlanturuvchi yechimlarini belgilaymiz: 0 1 ) , , 0 ( c va
1 0 ) , , 0 (
s . Lyapunov funksiyasining ta’rifiga ko`ra ) , , ( ) , , ( ) , ( 2 1 s c . Lemma 1.2. Quyidagi ayniyatlar o`rinli: ). , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , , ( ), , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , , ( 1 1 2 2 x s c x c s x s x s c x c s x c
) ,
c va
) , (
s lar (1.3) tenglamaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi. Demak, ) , ( ) , ( ) , , ( 2 1
s C x c C x c
bo`ladi. 1 C va 2
) ,
, ) , ( 2 2 2 1
c C s С . Shuning uchun ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , , ( 1 2 1 2
s c x c s x c . Lemmadagi ikkinchi ayniyat ham shu tarzda isbot qilinadi. Lemma isbotlandi. Teorema 1.6. Ushbu ) ( ) , ( ayniyat bajariladi, ya’ni Lyapunov funksiyasi
parametrga bog`liq emas. Isbot. 1.2-lemmaga ko`ra ) , , ( ) , , ( ) , ( 2 1 s c
) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 2 1 2
s c c s
). , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1
c c s
Endi 1.1-lemmadan foydalansak, quyidagiga ega bo`lamiz )] , ( ) , ( ) , ( ) , ( )[ , ( ) , ( 1 2 1 1 2 s c c c s
)] , ( ) , ( ) , ( ) , ( )[ , ( 1 2 1 1 2 s s c s c
)] , ( ) , ( ) , ( ) , ( )[ , ( 2 2 2 1 1
s c c c s
)] , ( ) , ( ) , ( ) , ( )[ , ( 2 2 2 1 1 s s c s c . Bu ifodani soddalashtirib Vronskiy ayniyatidan foydalanamiz
)] , ( ) , ( ) , ( ) , ( )[ , ( ) , ( 2 1 2 1 1 c s s c c
)] , ( ) , ( ) , ( ) , ( )[ , ( 2 1 2 1 2 c s s c s
) ( ) , ( ) , ( 2 1
c .
2.2. DIRAK OPERATORI SPEKTRAL BERILGANLARINING VAQT BO`YICHA EVOLYUTSIYASI Quyidagi Shredinger tenglamasini u t iu u iu xx 2 2 , R x t , 0 (1.1) ushbu ) ( ) , ( 0 0
u t x u t (1.2) boshlang`ich shart va
) , ( ) , ( t x u t x u (1.3) x bo`yicha davriylik sharti hamda ushbu ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) , ( 1 2 t C t C t C t x u t x (1.4) silliqlik sharti bilan birga ko`rib chiqamiz. Agar (1.1)-(1.4) masalada iq p u almashtirish bajarsak u quyidagi ko`rinishni oladi: ), ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 q p p p q q p q q p xx t xx t
x t , 0 , (1.5) ) ( ) , ( 0 0 x p t x p t , ) ( ) , ( 0 0
q t x q t , (1.6) ) , ( ) , ( t x p t x p ,
) , ( ) , ( t x q t x q , (1.7) ) 0
) 0 ( ) 0 ( ) , ( ), , ( 1 2
C t C t C t x q t x p t x . (1.8) Teorema 1.1. Agar ) , ( ) , ( ) , ( t x iq t x p t x u funksiya (1.1)-(1.4) masalaning yechimi bo`lsa, u holda koeffitsiyentlari ) , ( t x p va
) , ( t x q bo`lgan Dirak operatorining spektri t parametrga bog`liq bo`lmaydi, spektral parametrlari ) (t n ,
n esa quyidagi Dubrovin-Trubovits sistemasini qanoatlantiradi: } ] ) , 0 ( [ ) , 0 ( ) , 0 ( ){ ( ) ( ) 1 ( 2 2 2 2 n n x n n n n t p t q t q h t dt d . (1.9) Bu yerda n k k n k n k n k n n n n n h , 2 2 1 2 2 1 2 ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( . Bunda 1 ) (
n ,
n ishoralar ) (t n spektral parametr ] ,
2 1 2 n n o`z lakunasining chetiga kelganida qarama-qarshi ishoraga o`zgaradi. Bundan tashqari ushbu 0 0
0 ) ( , ) ( n t n n t n t t , Z n
boshlang`ich shartlar ham bajariladi. Bu yerda 0 0 , n n ,
n lar Dirak operatorining ) ( 0 x p va
) ( 0 x q koeffitsientlariga mos keluvchi spektral parametrlaridir. Isbot. Ushbu y y t x dx dy B y t L ) , ( ) ( ,
R x (1.10) Dirak sistemasi uchun qo`yilgan 0 ) ( , 0 ) 0 ( 1 1 y y Dirixle masalasining , )
n Z n xos qiymatlariga mos keluvchi ortonormallangan xos vektor- funksiyalarni
, ) , ( ) , ( ) , ( 2 , 1 , orqali belgilaymiz. Bu yerda
) ( ) ( , ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( , 0 1 1 0 2 1 x y x y y t x p t x q t x q t x p t x B . Ushbu ) , ) ( ( ) ( n n n y y t L t
tenglikni t bo`yicha differensiallab, ) (t L operatorning simmetrikligidan foydalanib quyidagiga ega bo`lamiz ) , ) ( ( ) , ) ( ) , ( ( ) ( n n n n n n y y t L y y t L y t x t
) , ) ( ( ) ) ( , ( ) , ) , ( ( n n n n n n y y t L y t L y y y t x
). , ) , ( ( ) ) , )(( ( ) , ) , ( ( n n n n n n n y y t x y y t y y t x (1.11) Skalyar ko`paytmaning
) ( ) ( , ) ( ) ( , )] ( ) ( ) ( ) ( [ ) , ( 2 1 2 1 0 2 2 1 1
z x z z x y x y y dx x z x y x z x y z y
aniq ko`rinishidan foydalangan holda (1.11) tenglikni quyidagicha yozamiz: dx y y p y q y y q y p t n n t n t n n t n t n ] ) ( ) [( ) ( 2 , 2 , 1 , 1 , 2 , 0 1 ,
q y y p y y t n n t n n ] 2 ) [( 2 , 1 , 2 2 , 0 2 1 ,
. (1.12) (1.5) ifodani (1.12) tenglikka qo`yganda ushbu
0 2 2 2 , 1 , 2 2 2 2 , 2 1 , )]}
( 2 [ 2 )] ( 2 )[ {( ) (
q p p p y y q p q q y y t xx n n xx n n n
tenglik hosil bo`ladi. Integral ostidagi funksiyaning boshlang`ichini 1 , n y va 2 , n y ga nisbatan kvadratik forma ko`rinishida izlaymiz, ya’ni
} ) ( 2 ) {( 2 2 , 2 , 1 , 2 1 , n n n n y b c y ay y b c
)] ( 2 [ 2 )] ( 2 )[ ( 2 2 2 , 1 , 2 2 2 2 , 2 1 ,
p p p y y q p q q y y xx n n xx n n . (1.13) Bu yerda ) ,
( n t x a a , ) , , ( n t x b b , ) , , ( n t x c c lar 1 ,
y va 2 , n y ga
bog`liq emas. (1.10) tenglamadan quyidagi tenglik kelib chiqadi . 2 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 1 , 1 ,
n n n n n n n n n y q y p y y y y p y q y (1.14) (1.13) tenglik chap tomonidagi hosilalarni hisoblab, (1.14) ayniyatlardan foydalansak, quyidagi tenglik hosil bo`ladi
] 2 2 2 2 [ 2 1 , a pa qc qb b c y n n
] 2 2 2 2 [ 2 2 ,
pa qc qb b c y n n
] 2 2 [ 2 2 , 1 ,
pc a y y n n n
)] ( 2 [ 2 )] ( 2 )[ ( 2 2 2 , 1 , 2 2 2 2 , 2 1 ,
p p p y y q p q q y y xx n n xx n n . (1.15) Agar bu yerda mos koeffitsiyentlarni o`zaro tenglasak, quyidagi tengliklar kelib chiqadi ) ( 2 2 2 2 2 2 2 q p q q a pa qc qb b c xx n , (1.16) ) (
2 2 2 2 2 2 q p q q a pa qc qb b c xx n
, (1.17) ) ( 2 2 2 2 2
p p p b pc a xx n
. (1.18) (1.16) va (1.17) dan pa qb c 2 2 , (1.19) ) (
2 2 2 2 q p q q a qc b xx n
(1.20) kelib chiqadi. (1.18) va (1.20) tengliklarning chap tomoni
ga bog`liq bo`lmagani uchun o`ng tomoni ham
ga bog`liq bo`lmasligi kerak. ) ,
( n t x a , ) , , ( n t x b , ) , , ( n t x c larni
n ga nisbatan kvadratik ko`phad ko`rinishida izlaymiz: ) ,
) , ( ) , ( ) , , ( 2 1 2 0
x a t x a t x a t x a n n n , (1.21) ) ,
) , ( ) , ( ) , , ( 2 1 2 0
x b t x b t x b t x b n n n , (1.22) ) ,
) , ( ) , ( ) , , ( 2 1 2 0
x c t x c t x c t x c n n n . (1.23) Agar bu ifodalarni (1.18)-(1.20) tengliklarga qo`yib,
ning bir hil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni o`zaro tenglasak, quyidagi tenglamalar hosil bo`ladi: 0 )
( 0 t x a ,
0 ) , ( 0 t x b ,
0 0 0 2 2
qb c , 0 0 1 2 1
b a ,
0 0 1 2 1
a b , 1 1 1 2 2
qb c , 1 1 2 2 1
b a ,
1 1 2 2 1
a b , 2 2 2 2 2
qb c , ) ( 2 2 2 2 2 2
p p p pc a xx ,
) ( 2 2 2 2 2 2 q p q q qc b xx . Bu tenglamalardan ushbu 0 ) , ( 0 t x a ,
0 ) , ( 0 t x b ,
2 0 c ,
a 2 1 ,
p b 2 1 , 0 1 c ,
a 2 , q b 2 , 2 2 2 q p c tengliklar kelib chiqadi. Bunga ko`ra p q t x a n n 2 ) , , ( , (1.24) q p t x b n n
2 ) , , ( , (1.25) 2 2 2 2 ) , , ( q p t x c n n . (1.26) Demak, (1.12) va (1.13) ga muvofiq 0 2 2 , 2 , 1 , 2 1 , } ) ( 2 ) {( ) (
n n n n y b c y ay y b c t
) , 0 ( )] , , 0 ( ) , , 0 ( [ ) , ( )] , , ( ) , , ( [ 2 2 , 2 2 , t y t b t c t y t b t c n n n n n n . (1.27) Ushbu ) , , (
t x a , ) , , ( n t x b , ) , , ( n t x c funksiyalar x bo`yicha davrli ekanini hisobga olsak, (1.27) tenglik quyidagi ko`rinishni oladi )] , 0 ( ) , ( [ )] , , 0 ( ) , , 0 ( [ ) ( 2 2 , 2 2 , t y t y t b t c t n n n n n
. (1.28) Agar bu yerga (1.24)-(1.26) ifodalarni qo`ysak, ushbu )] , 0 ( ) , ( [ } ] ) , 0 ( [ ) , 0 ( ) , 0 ( { ) ( 2 2 , 2 2 , 2 2 2 t y t y t p t q t q t n n n n x n
. (1.29) (1.10) sistemaning 0 1 ) , , 0 ( t c va
1 0 ) , , 0 (
s
boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 1 t x c t x c t x c va
) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 1 t x s t x s t x s
orqali belgilaymiz. Quyidagi ) ( ) ( ) , , ( ) , , ( 2 2 2 1 s s s s s s s t x s t x s T T T
) ( ) (
s B s s s B s T T
1 2 2 1
s s s s B s s B s T T
tenglikdan foydalanib, ushbu ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( )] , , ( ) , , ( [ 1 2 2 1 0 2 2 2 1 t s t s t s t s dx t x s t x s
ayniyatni keltirib chiqaramiz. Bundan foydalanib, Dirixle masalasi ) ), ( , (
t x s n
xos funksiyasining normasini topamiz: ) ), ( , ( ) ), ( , ( )] ), ( , ( ) ), ( , ( [ ) ( 1 2 0 2 2 2 1 2 t t s t t s dx t t x s t t x s t n n n n n .
(1.30) Ushbu tenglik ) ),
, ( ) ( 1 ) , (
t x s t t x y n n n
va (1.30) formulaga ko`ra ) ), ( , ( ) ), ( , ( 1 ) ), ( , ( ) ( 1 ) ), ( , ( ) , 0 ( ) , ( 1 2 2 2 2 2 2 2 , 2 2 , t t s t t s t t s t t t s t y t y n n n n n n n . (1.31) Ushbu 1
, , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 1 2 2 1 t x s t x c t x s t x c
Vronskiy ayniyatida
va )
n desak, ) ), ( , ( 1 ) ), ( , ( 2 1 t t s t t c n n (1.32) kelib chiqadi. Bu tenglikdan hamda ushbu ) , , ( ) , , ( 4 ) 4 ) ( ( )] , , ( ) , , ( [ 1 2 2 2 2 1 t s t c t s t c ayniyantdan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz 4 ))
( ) ( ) ), ( , ( 1 ) ), ( , ( 2 2 2 t t t t s t t s n n n n . (1.33) Bu yerda ) , , ( ) , , ( ) ( 2 1 t s t c ,
) ), ( , ( ) ), ( , ( ) ( 1 2 t t c t t s sign t n n n . Agar (1.33) ifodani (1.31) ga qo`ysak, quyidagi tenglikni olamiz ) ), ( , ( 4 )) ( ( ) ( ) , 0 ( ) , ( 1 2 2 2 , 2 2 , t t s t t t y t y n n n n n . (1.34) Ushbu ,
)( ( 4 4 ) ( 2 2 1 2 2 2
k k k a
k k k a t s ) , , ( 1 , yoyilmalardan ( 1 0
a va
k a k ,
0
) foydalanib, (1.34) ayniyatni quyidagi tarzda yozamiz:
, 0 ( ) , ( 2 2 , 2 2 , t y t y n n
k k n k n k n k n n n n n n t , 2 2 1 2 2 1 2 ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) 1 ( 2
. (1.35) Bunda biz quyidagi tenglikdan ham foydalandik: 1 ) 1 ( n n k k k n k n a a sign . Demak, (1.29) va (1.35) tengliklardan (1.9) kelib chiqadi. Agar chegaraviy shartlarni ) 0 ( ) ( y y
davriy yoki ) 0 ( ) ( y y
antidavriy shartlar bilan almashtirsak, (1.29) tenglamalar o`rnida 0
,
n
tenglamalar hosil bo`ladi. Demak, n ,
n davriy va antidavriy masalaning xos qiymatlari t parametrga bog`liq emas ekan. Teorema 1.1 isbotlandi.
|
