Reja: Kirish. I. Bob. Funksional ketma-ketliklar

2-teorema (Koshi teoremasi). funksional ketma-ketlik to’plamda limit funksiyaga ega bo’lishi va unga tekis yaqinlashishi uchun son olinganda ham shunday topilib, va da
,
ya’ni
va da

bo’lishi zarur va etarli.
Zarurligi. Aytaylik, to’plamda funksional ketma-ketlik limit funksiya ga ega bo’lib, unga tekis yaqinlashsin:

Tekis yaqinlashish ta’rifiga ko’ra
bo’ladi. Xususan, va da

tengsizliklar bajarilib, ulardan


bo’lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. funkional ketma-ketlik uchun shart bajarilsin . Uni quyidagicha yozamiz:
da

bo’ladi.
Ravshanki, tayin da sonlar ketma-ketligi uchun shartning bajarilishidan uning fundamental ketma-ketlik ekanligi kelib chiqadi. Koshi teoremasiga ko’ra yaqinlashuvchi bo’ladi. Binobarin, chekli

limit mavjud.
Har bir
da limit mavjud bo’lar ekan, unda avval ayganimizdek, to’plamda aniqlangan

funksiya hosil bo’ladi Uni bilan belgilaymiz. Bu funksiya funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi bo’ladi:
.
Endi da
tengsizlikda, va larni tayinlab da limitga o’tamiz. Natijada

hosil bo’ladi. Bu

bo’lishini bildiradi.
2-misol. Ushbu

funksional ketma-ketlik to’plamda tekis yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.

Agar ixtiyoriy uchun

deyilsa,

bo’ladi. Demak,
.
Bu esa yuqoridagi teoremaning shartini bajarilmasligini ko’rsatadi. Demak, berilgan funksional ketma-ketlik da tekis yaqinlashuvchi emas.
Aytaylik, funksional ketma-ketlik to’plamda yaqinlashuvchi bo’lib, funksiya uning limit funksiyasi bo’lsin:
.
Agar

bo’lsa, funksional ketma-ketlik to’plamda funksiyaga notekis yaqinlashadi deyiladi.