Rеjа: Kompyuterli matematik tizimlar fanining asosiy tushunchalari

1-mavzu. “Kompyuterli matematik tizimlar” fanining predmeti va vazifalari.


Rеjа:

1. 
   Kompyuterli matematik tizimlar fanining asosiy tushunchalari
   
2. 
   Fanning maqsad va vazifalari
   
3. 
   Foydalanuvchi interfeysi bilan tanishuv
   

Kаlit so’zlаr: tizim, matematik tizim, Mathcad dasturi
Matematika tarixi taxminan uch ming yillikni o'z ichiga oladi va shartli ravishda bir necha davrlarga bo'linishi mumkin. Birinchisi, son tushunchasining shakllanishi va rivojlanishi, eng oddiy geometrik masalalarni yechish. Ikkinchi davr Evklidning "Elementlari" ning paydo bo'lishi va mantiqiy xulosalar zanjirlari yordamida matematik bayonotlarni isbotlashning mashhur usulini o'rnatish bilan bog'liq. Keyingi bosqich differensial va integral hisoblarni ishlab chiqishdan boshlanadi. Nihoyat, so'nggi davr to'plamlar nazariyasi va matematik mantiq tushunchalari va usullarining paydo bo'lishi va tarqalishi bilan birga keladi, uning mustahkam poydevoriga zamonaviy matematikaning butun binosi ko'tariladi.
Matematika fanini o‘rganish bo‘lajak muhandis, iqtisodchi, tadqiqotchiga ma’lum hajmdagi bilimlarni beribgina qolmay, balki unda turli xil masalalarni qo‘yish, tadqiq etish va yechish qobiliyatini ham rivojlantiradi. Boshqacha aytganda, matematika bo‘lajak mutaxassisning tafakkurini rivojlantiradi va ko‘plab maxsus fanlarni o‘zlashtirish uchun mustahkam konseptual asos yaratadi. Bundan tashqari, uning yordami bilan mantiqiy fikrlash, diqqatni jamlash, aniqlik va qat'iyatlilik qobiliyatlari eng yaxshi rivojlanadi.
Kompyuter algebrasi - matematikaning algebra va hisoblash usullari kesishmasida joylashgan bo'limi. Turli fanlar tutashgan har qanday sohada bo'lgani kabi, uning uchun ham aniq chegaralarni belgilash qiyin. Ko'pincha kompyuter algebrasi deganda hisoblash matematikasi darsliklarida mavjud bo'lmagan algebraik va algebra darsliklarida mavjud bo'lmagan hisoblash bo'lgan savollarga aytiladi. Shu bilan birga, ma'lum bir muammo kompyuter algebrasiga tegishlimi degan savolga javob ko'pincha mutaxassisning yondashuviga bog'liq.
Kompyuterli matematika tizimlari deganda, matematik ifodalarni matematiklar va olimlarning doimiy hisob-kitoblariga o`xshash tarzda o`zgartirishga qodir bo`lgan har qanday matematik dasturlar tushuniladi.
Kompyuterli matematika tizimlarini ikki turga bo`lish mumkin:
Ixtisoslashtirilgan
Umumiy maqsadlar
Ixtisoslashtirilganlar matematikaning ma`lum qismlariga, masalan, raqam nazariyasi, guruh nazariyasi yoki boshlang`ich matematikani o`qitish uchun ajratilgan tizimlar misol bo`la oladi.
Umumiy maqsadlar uchun kompyuterli matematika tizimlari matematik ifodalarni manipulyatsiya qilishni talab qiluvchi har qanday ilmiy sohada ishlaydigan foydalanuvchi uchun foydali bo`lishni maqsad qiladi.
Foydali bo`lishi uchun umumiy maqsadlar kompyuterli matematika tizimi quyidagilarni o`z ichiga olishi kerak:
1. Matematik formulalarni kiritish va namoyish qilish imkonini beruvchi foydalanuvchi interfeysi.
2. Dasturlash tili va tarjimon (hisoblash natijasi odatda oldindan bilib bo`lmaydigan shakl va taxminiy o`lchamga ega, shuning uchun foydalanuvchi aralashuvi tez-tez talab etiladi).
3. Matematika formulalarini soddalashtirish uchun qayta yozish tizimi bo`lgan soddalashtiruvchi komponentalar.
4. Hisoblash paytida paydo bo`lishi mumkin bo`lgan katta hajmdagi qidiruv ma`lumotlarga muhtoj bo`lgan keraksiz vazifalarni yig`uvchi, shu jumladan xotira boshqaruvchisi.
5. Paydo bo`lishi mumkin bo`lgan butun sonlarning kattaligi tomonidan zarur bo`lgan tasodifiy aniqlik arifmetikasi.
6. Matematik algoritmlarning katta kutubxonasi va maxsus funktsiyalar va kutubxonalar.
Kutubxona nafaqat foydalanuvchilarning ehtiyojlarini, balki soddalashtiruvchining ehtiyojlarini ham ta`minlashi kerak. Masalan, maxsus funksiyalarni va ketma-ketliklarni eng ko`p tarqalgan turlarini hisoblash va ular ustida turli hil amallar bajarishni o`z ichiga olib va soddalashtirilishi uchun muntazam ravishda qo`llaniladi.
Bu talab qilinadigan kompyuterning katta hajmlari umumiy maqsadli kompyuterli matematika tizimlarining kam sonini tushuntiradi. Kompyuterli matematika tizimlarida eng ommalashgan dasturlar Axiom, Maxima, Magma, Maple, Mathematica va SageMath.
Kompyuterli matematika tizimlari tarixi: Kompyuterli matematika tizimlari 1960-yillarda paydo bo`lib, ikkita mutlaqo boshqa manbalardan ya`ni nazariy fiziklarning talablarini hamda sun`iy intellektga asoslangan tadqiqotlarni ishlab chiqardi. Gollandiyalik fizik Martinus Veltman 1963-yilda Schoonschip (niderlandiyacha "toza kema" deb nomlangan) simvolli matematikasi, ayniqsa, yuqori energiyali fizika uchun mo`ljallangan dasturni yaratdi. Bu dastur Martinus Veltmanning keyinchalik Nobel mukofoti laureati bo`lishiga yarasha ishi bo`ldi.
Birinchi kompyuter matematika tizimlarining aksariyati (Evrika, Mercury, Excel, Lotus-123, MS-DOS uchun MathCad, PC MatLab va boshqalar) sonli hisoblar uchun mo'ljallangan edi. Ular, go'yo, kompyuterni raqamlar yoki raqamlar massivlari ustida arifmetik va mantiqiy operatsiyalarni tez va avtomatik ravishda (kiritilgan dastur bo'yicha) bajarishga qodir bo'lgan katta dasturlashtiriladigan kalkulyatorga aylantirdilar. Ularning natijasi har doim o'ziga xosdir - bu jadvallar, matritsalar yoki grafik nuqtalarni ifodalovchi raqam yoki raqamlar to'plami. Albatta, kompyuter bunday hisob-kitoblarni ilgari tasavvur qilib bo'lmaydigan tezlik, pedantriya va hatto aniqlik bilan bajarishga imkon beradi, natijalarni yaxshi shakllangan jadvallar yoki grafiklar ko'rinishida aks ettiradi.
Biroq, hisob-kitoblarning natijalari kamdan-kam hollarda matematik ma'noda mutlaqo aniq bo'ladi: qoida tariqasida, haqiqiy sonlar bilan operatsiyalar paytida, raqamlarni xotirada saqlashda kompyuterning bit panjarasining fundamental cheklanishi tufayli ular yaxlitlanadi. Ko'pgina raqamli usullarni amalga oshirish (masalan, chiziqli bo'lmagan yoki differentsial tenglamalarni yechish) ham aniq taxminiy algoritmlarga asoslanadi. Ko'pincha, xatolar to'planishi tufayli, bu usullar hisoblash barqarorligini yo'qotadi va bir-biridan ajralib chiqadi, noto'g'ri yechimlar beradi yoki hatto kompyuter tizimining to'liq qulashiga olib keladi.
"Kompyuter algebrasi" atamasi "simvolik hisoblash", "analitik hisoblash", "analitik o'zgartirishlar" va boshqalar atamalarining sinonimi sifatida paydo bo'lgan. Hozirda ham bu atama fransuz tilida "rasmiy hisoblash" degan ma'noni anglatadi.
Simvolli va sonli hisoblarning asosiy farqlari nimada va nima uchun “kompyuter algebrasi” atamasi paydo bo‘lgan?
Hisoblash usullari haqida gapirganda, biz barcha hisob-kitoblar haqiqiy yoki kompleks sonlar sohasida amalga oshiriladi deb hisoblaymiz. Aslida, har qanday kompyuter dasturi faqat cheklangan ratsional sonlar to'plami bilan shug'ullanadi, chunki kompyuterda faqat shunday raqamlar mavjud. Butun sonni yozish uchun odatda 16 yoki 32 ikkilik belgilar (bit), haqiqiy son uchun - 32 yoki 64 bit ajratiladi.
Bu to'plam turli xil to'lib-toshgan holda ifodalanishi mumkin bo'lgan arifmetik amallarga nisbatan yopiq emas (masalan, yetarlicha katta sonlarni ko'paytirish yoki kichik songa bo'lishda). Hisoblash matematikasining yanada muhim xususiyati shundaki, bu sonlar ustida kompyuter tomonidan bajariladigan arifmetik amallar ratsional sonlar sohasidagi arifmetik amallardan farq qiladi.
Kompyuter hisob-kitoblarining o'ziga xos xususiyati - bu xatoning muqarrar mavjudligi yoki hisob-kitoblarning yakuniy aniqligi. Har bir muammoni mavjud kompyuter resurslaridan foydalangan holda, ma'lum bir aniqlik bilan oqilona vaqt ichida hal qilish kerak, shuning uchun xatolarni baholash hisoblash matematikasining muhim muammosidir.
Hisob-kitoblarning to'g'riligi va olingan sonli natijalarning chekliligi masalasini hal qilish ma'lum darajada kompyuter algebra tizimlarining rivojlanishi bilan ta'minlanadi. Analitik hisoblarni amalga oshiradigan kompyuter algebra tizimlari ratsional sonlar to'plamidan keng foydalanadi.
Ratsional sonlar ustidagi kompyuter operatsiyalari ratsional sonlar sohasidagi tegishli amallar bilan mos keladi. Bundan tashqari, raqamning ruxsat etilgan o'lchamidagi cheklovlar (uning yozuvidagi belgilar soni) deyarli har qanday ratsional raqamlardan foydalanishga imkon beradi, ular bo'yicha operatsiyalar maqbul vaqt ichida amalga oshiriladi.
Kompyuter matematikasi - klassik matematika va informatika kesishmasida paydo bo'lgan yo'nalish. Uning paydo bo'lishi matematik muammolarni hal qilishda elektron hisoblash mashinalarini joriy etish muvaffaqiyati bilan bog'liq.
Kompyuter matematikasi tizimlari (KMT) kompyuter matematikasining asosiy quroliga aylandi. Bugungi kunda KMTlar ilmiy, muhandislik, o'quv muammolarini hal qilish, ma'lumotlar va hisoblash natijalarini vizualizatsiya qilish uchun, shuningdek, qulay matematik ma'lumotnomalar sifatida ishlatiladi.
Hozirgi vaqtda KMT orasida yettita sinfni ajratish mumkin:
elektron jadval protsessorlari;
raqamli hisoblash tizimlari;
analitik hisob-kitoblar uchun tizimlar;
statistik hisob-kitoblar tizimlari;
maxsus hisob-kitoblar uchun tizimlar;
matritsali tizimlar;
universal tizimlar.
Har bir kompyuter matematikasi tizimi o'zining arxitekturasi yoki tuzilishidagi o’ziga xosliklarga ega. Shunga qaramay, zamonaviy universal KMTlar quyidagi tipik tuzilishga ega degan xulosaga kelish mumkin:
Markaziy o'rinni tizimning yadrosi - o'rnatilgan funktsiyalar va tizim operatorlarining yetarlicha vakillik to'plamini ta'minlaydigan oldindan tuzilgan funktsiyalar va protseduralar to'plamining kodlari egallaydi.
Interfeys foydalanuvchiga o'z so'rovlari bilan yadroga kirish va displey ekranida qaror natijasini olish imkonini beradi. Zamonaviy KMT interfeysi mashhur Windows operatsion tizimining vositalariga asoslangan va ularga xos bo'lgan ish qulayligini ta'minlaydi.
Yadroga kiritilgan funksiyalar va protseduralar juda tez ishlaydi. Shuning uchun yadro hajmi cheklangan, ammo unga kam uchraydigan protseduralar va funktsiyalar kutubxonalari qo'shiladi.
Tizimlarning imkoniyatlarini tubdan kengaytirish va ularni muayyan foydalanuvchilar tomonidan hal qilinadigan vazifalarga moslashtirish tizimni kengaytirish paketlari orqali amalga oshiriladi. Ushbu paketlar (ko'pincha kutubxonalar) u yoki bu KMT ning o'z dasturlash tilida yozilgan, bu oddiy foydalanuvchilarga ularni tayyorlashga imkon beradi.
Zamonaviy KMT ning yadrosi, kutubxonalari, kengaytirilgan to'plamlari va ma'lumot tizimi o'zining rivojlanishining ming yilliklari davomida to'plangan matematika sohasidagi bilimlarni to'playdi.
Yaqin kungacha foydalanuvchi o'zining matematik masalasini yechish uchun nafaqat matematikani bilishi balki kompyuterda ishlashni, kamida bitta dasturlash tilini bilishi va murakkab hisoblash usullarini o'zlashtirgan bo'lishi kerak bo'lar edi. Hozirda esa dasturlashni bilmaydigan yoki xohlamaydiganlar uchun tayyor ilmiy dasturlar majmualari, elektron qo'llanmalar va tipik hisob-kitoblarni bajarishga mo'ljallangan dasturiy vositalar bo'lgan - amaliy vositalar paketlari (AVP) mavjud. Bu paketlar foydalanuvchi uchun kerakli bo'lgan barcha ishni yoki ishning asosiy kerakli qismini bajarish imkonini beradi: muammoni tadqiq qilish (analitik shaklida ham); ma'lumotlarning tahlili; yechim mavjudligini tekshirish; madellashtirish; optimallash; grafiklarni qurish; natijalarni hujjatlashtirish va shakllantirish; taqdimotlarni yaratish. Mashina matematikasini AVP yordamida o'rganish foydalanuvchida matematikaning o'zini o'rganish illyuziyasini yaratadi. Ammo shuni aytish joizki mazkur paketlarda yaratilgan har qanday chiroyli menyu foydalanuvchini oddiy matematik tushunchalardan va usullardan uni ozod qila olmaydi. Xususan, agar foydalanuvchi massiv nimaligini bilmasa, u holda massiv algebrasi dasturiy paketi unga hech qanday yordam bera olmaydi, yoki foydalanuvchi noaniq bo'lmagan integralni sonli usullar yordamida hisoblashga uringanda, u haqiqatdan ancha yiroq bo'lgan javobni olishi yoki javobni umuman ololmasligi ham mumkin. Ixtiyoriy keng imkoniyatlarga ega paket universal yondashishga bog'liq. Matematik paketlarni ishlatishda mutaxassis undan ongli foydalanib chegirmalar qilishi mumkin: paketni uning muammosiga rostlashi, dasturni modifikatsiyalash, yangilash, hisoblash vaqtini tejash va h.k.
Hozirgi kunda kampyuter algebrasining nisbatan imkoniyatli paketlari bu - Mathematica, Maple, Matlab, MATHCAD, Derive va Scientific Workplace. Bulardan birinchi ikkitasi professional matematiklar uchun mo'ljallangan bo'lib imkoniyatlarning boyligi, ishlatishda murakkabligi bilan ajralib turadi.
MatLab massivlar bilan ishlashga va signallarni avtomatik boshqarish hamda qayta ishlashga mo'ljallangan. MATHCAD va Derive qo'llanilishi juda oson bo'lib talabalarning tipik talablarini qondirishni ta'minlaydi. Bular katoriga Eureka paketini ham qo'shish mumkin.
Scientific WorkPlace matematik qo'lyozmalarni LATEX tizimidan foydalangan holda tayyorlashga mo`ljallangan bo'lib bir paytda analitik va sonli amallarni bajarishi mumkin. Limitlarni hisoblash, massivlar ustida amallar bajarish, chiziqli va chiziqsiz tenglamalarni yechish, tenglamalar tizimini yechish, differensial tenglamalar va tizimlarni chegaraviy va boshlang'ich shartlar bilan yechish, tajriba natijalarini tahlil qilishda interpoyatsiyalash, regressiya tenglamalarini qurish va chiziqli dasturlash masalalarini yechish, hamda masalalarning analitik yechimlarini qurish kabi masalalarni yechishda komp'yuter dasturiy vositalaridan qanday foydalanish yo'llari keltirilgan.
Mathcad dasturini “Пуск – Программы – MathSoft Apps - Mathcad” ketmaketligidan foydalangan holda yuklash mumkin.

Dastur yuklanganda Mathcad muhiti zarvarag'i quyidagi ko'rinishda bo'ladi.

Mathcad dasturi ishga tushganda quyidagi oynani ko'ramiz.

Bu oynada Mathcad programmasi interfeysining ko'rinishi bo'lib, u ishga tushishi bilan hujjat tayyorlab, uni Untitlid:1 deb nomlab foydalanuvchiga havola etadi. Mathcad ekranining yuqori qismida "qo'shish" ko'rinishidagi kursorni ko'rasiz. Klaviaturadan kiritiladigan ma'lumotlar ushbu kursor joylashgan joydan boshlab yoziladi. Matematik misollarni yechishda, ularni kompyuter xotirasida saqlashda, grafik ko'rinishidagi tasvirlarni yaratish va qayta ishlashda Mathcad tizimining menyusi alohida o'rin tutadi. Mathcad menyu buyruqlari to'plami quyidagilardan iborat: "Файл", "Правка", "Просмотр", "Вставка", "Форматирование", "Математика", "Символика", "Окно", "Помощ".


Menyuning "Файл" bo'limida yangi hujjatlarni tayyorlash uchun yangi oyna ochish, oldingi saqlangan fayllarni yopish, tayyorlangan hujjatlarni diskka yozish, yangi oynadagi hujjatni nom berish bilan saqlash, kerakli faylni qidirib topish, matnni sahifada qanday joylashganligini oldindan ko'rish, matnni (matrisaviy, lazerli) printerlarda bir nechta nusxada, agar zaruriyat bo'lganda matnni tanlangan joyini chop etish, oxirgi to'rtta tahrir qilingan fayllar nomini ko'rish hamda Mathcad dasturdan chiqish kabi bir qator ishlarni amalga oshirish mumkin. Yangi fayl yaratish matnli faylni ochish faylni yopish faylni xotirada saqlash faylni nom bilan xotirada saqlash faylni manzilga jo'natish sahifani sozlash sahifani ko'zdan kechirish faylni chop qilish oxirgi fayllar ro'yxati, Mathcaddan chiqish
Menyuning "Правка" bo'limida hujjatni tahrir qilishga oid bir qator ishlarni amalga oshirish mumkin.

oldingi holatga qaytarish keyingi holatga o'tish matn qismini qirqish matn qismidan nusxa olish
cho'ntakka olingan ma'lumotni o'rniga qo'yish maxsus o'rniga qo'yish o'chirish
ma'lumotni to'liq belgilash topish almashtirish tanlangan varaqqa borish orfografik xatolarni tekshirish
murojat obe'ktlar

" Просмотр" bo'limida formulalar yozish uchun maxsus bo'limlar bilan ishlash imkoniyati bor.
panel ko'rinishini sozlash holat satrini joriy va bekor qilish
chizg'ich yordamida sahifa o'lchashni belgilash ob'ektlar maydonini aniqlash masshtab tanlash
yangilash animatsiya hosil qilish animatsiyani ijro etish sozlash
Menyuning "Вставка" bo'limida quyidagi ishlar amalga oshiriladi:
grafik turini tanlash matritsa tashkil qilish funksiya turini tanlash rasm tashlash maydon hosil qilish matematika maydoni matn maydoni varaqni bo'lish gipermurojat menyu bandlari sozlash boshqa dasturlar bilan aloqani ta'minlash yangi ob'ekt tashkil etish
" Matematika" bo'limida natijani avtomatik ravishda hisoblash va boshqa fayllarga murojaat qilish kabi ishlarni bajarish mumkin.
natijani hisoblash jadval hisoblashlari avtomatik hisoblash,
optimallashtirish, boshqa fayllarga murojat qilish
"Форматирование" bo'limida sahifalar o'lchamlarini kiritish, gtafikni chizishda turini tanlash, fon tanlash va boshqa turli xil ishlarni bajarish mumkin.
i foda qiymatini tanlash natija formatini tanlash matn yozish paragraf formatini sozlash jadval tashkil etish hujjat turini tanlash hujjatlar haqidagi ma'lumotlarni ko'rish grafik turini sozlash rang tanlash qismlarga ajratish obe'ktlarni biri bilan bog'lash obe'ktlarni himoyalash, siqish, kengaytirish sarlavha tanlash qayta ajratish
"Символика" bo'limida kattalikni tanlash, yaxlitlash, yig'ish va o'zgaruvchilar ustida amallar bajarish mumkin. kattalik tanlash yaxlitlash kengaytirish factor yig'ish o'zgaruvchilar ustida amallar bajarish matritsa ustida amallar bajarish
Fur'ye va Laplas almashtirishlar bajarish kattalikni ajratish
"Окно" bo'limi yordamida bir nechta fayllarni ketma ket, gorizontal, vertikal joylashtirish va oynadagi mavjud fayllar ro'yxatini ko'rish mumkin.
bir nechta oynalarni ketma ket tashkil, etish bir nechta oynalarni gorizontal joylashtirish, bir nechta oynalarni vertical joylashtirish, oynadagi mavjud fayllar ro'yxati
"Помощь" bo'limi yordamida Mathcadda ishlash haqida ma'lumot olish mumkin.
Mathcad haqida ma'lumot olish, zahiralar markazi kundalik maslahat yordam kitobini ochish, dastur haqida ma'lumot olish
Kiritilgan hujjat ustida ishlash (uni kompyuter xotirasiga yozib qo'yish, kerakli paytda chaqirib olish, printerdan chiqarish va hokazolar) uchun Standart panelida joylashgan quyidagi tugmalar bosiladi:

Yangi fayl hosil qilish.
Oldindan xotirada saqlab qo'yilgan faylni ochish.
H osil qilingan faylni yoki kiritilgan o'zgartirishlarni xotirada saqlash