Reja: maydonlar nazariyasi

Vektor maydonining integral xarakteristikalari.
Vektor maydon oqimi
Agar B sirtning normal vektori, shu sirtda yotgan har qanday yopiq kontur bо„ylab
uzluksiz siljitilganda, siljish boshlangan da stlabki nuqtaga yо„nalishini о„zgartirmay
qaytib kelsa, B ikki tomonli sirt deyiladi. Masalan, har qanday yopiq sirt ikki
tomonli bо„ladi (bunday sirt tashqi va ichki tomonlarga ega ).
Bir tomonli sirtga Myobius yaprog’i (tо„g„ri tо„rtburchak shaklidagi ABCD sirtni bir
marta burab, AB tomoni CD tomonga yelimlash orqali hosil qilingan sirt ) misol bо’la
oladi. Agar b ikki tomonli sirt bо’lib, uning tomonlaridan biri tanlab olingan bо’lsa, u
oriyentirlangan sirt deyiladi. Oriyentirlangan sirtga о„tkazilgan normal deyilganda,
sirtning tanlab olingan tomoniga о’tkazilgan normal nazarda tutiladi. Yopiq sirtning
tashqi tomonini uning tabiiy oriyentiri sifatida olamiz.
П (𝑎 𝐵) = ∫∫_B(𝑎,𝑛)𝑑𝐵
(bunda 𝑛 berilgan sirtga о’tkazilgan birlik vektor) ifoda 𝑎(𝑀) vektor maydonining
oriyentirlangan B sirt bо’yicha oqimi deyiladi. Vektor maydonining oqimi quydagi

xossalarga ega:

1) ∫∫_B+ 𝑎(𝑀)𝑛(𝑀)𝑑𝐵 = -∫∫_B- 𝑎₁(M)𝑛(𝑀)𝑑𝐵,
bu yerda 𝐵⁺ va 𝐵^- lar bitta B sirtning turli tomonlari.
2) Chiziqlilik xossasi:
∫∫_B (𝑐₁𝑎₁+𝑐₂𝑎₂ )𝑛𝑑𝐵=c₁ ∫∫_B (𝑎₁ ∙ 𝑛) 𝑑𝐵 +𝑐₂ ∫∫_B (𝑎₂∙𝑛) 𝑑𝐵
3) Additivlik xossasi. Agar B sirt 𝐵₁, 𝐵₂, … 𝐵_k qismlarga ajratilsa, u holda
∫∫_B (𝑎 ∙ 𝑛) 𝑑𝐵 = ∫∫ _𝐵1 ( 𝑎 ∙ 𝑛) 𝑑𝐵 + ∫∫ _𝐵2 (𝑎 ∙ 𝑛) 𝑑𝐵 +∙∙∙ + ∫∫ _𝐵k (𝑎 ∙ 𝑛) 𝑑𝐵
Maydon oqimini hisoblash masalasi – sirt integrallarini hisoblash masalasiga
keltiriladi. Dekart koordinatalari sistemasida vektor maydon
𝑎(𝑀) = 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑖 + 𝑄 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑗 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘
Kо’rinishda, B sirtga о’tkazilgan normal esa
𝑛(𝑀) = 𝑖 cos 𝛼 + 𝑗 cos 𝛽 + 𝑘 cos 𝛾
Kо’rinishida tasvirlangan bо„lsin. U holda maydon oqimi
П (𝑎, 𝐵) = ∫∫_B (𝑃 cos 𝛼 + 𝑄 cos 𝛽 + 𝑅 cos 𝛾)𝑑𝐵 (7)
kоrinishida yoziladi. (7) integralni hisoblash uchun B sirt koordinata tekisliklaridan biriga
proyeksialanadi. Masalan B sirt 𝑋𝑂𝑌 tekislikka о„zaro bir qiymatli proyeksiyalansin. U
holda 𝑑𝐵 =𝑑𝑥𝑑𝑦/|cos 𝛾|
B sirtning 𝑋𝑂𝑌 tekislikdagi proeksiyasini 𝐵_xy orqali belgilab, maydon oqimi uchun
П 𝑎 𝐵 = ±∫∫_Bxy(𝑎,𝑛)/cos 𝛾𝑑𝑥𝑑𝑦
integralni hosil qilamiz.
Bu integralda 𝑧 ning 𝑥 𝑣𝑎 𝑦 о’zgaruvchilar orqali ifodasi 𝑧 = 𝑧 𝑥, 𝑦 𝐵 sirtning
tenglamasidantopiladi. Bu formuladagi ishora 𝑛 normal 𝐵 sirtning kо’rsatilgantomonga
yо„naladigan qilib tanlanadi. Huddi shu usulda, aga𝐵 sirt 𝑌𝑂𝑍 yoki 𝑋𝑂𝑍 tekisligiga
о’zaro bir qiymatli proeksiyalanadigan bо’lsa, maydon oqimi uchun

П (𝑎,𝐵)= ∓±∫∫_Byz(𝑎, 𝑛)/cos 𝛼𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑥 = 𝑥(𝑦, 𝑧)

yoki
П (𝑎,𝐵)= ∓±∫∫_Byz(𝑎, 𝑛)/cosβ𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑧)
formulalarni hosil qilish mumkin. Ba’zan, maydon oqimini hisoblash uchun 𝐵 sirt
uchchala koordinata tekisligiga proeksiyalanad va
П (𝑎,𝐵)= ∫∫_B 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 +𝑄𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦
formula hosil qilinadi. Bu formuladagi har bir qо„shiluvchi 𝐵 sirtni tegishli koordinata
tekisligiga proeksiyalash vositasida, alohida hisoblanadi. Masalan,
∫∫_B 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∓ ∫∫_Byz 𝑃(𝑥 𝑦, 𝑧 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑧
Bunda 𝑥 = 𝑥(𝑦, 𝑧) ifoda 𝐵 sirtning tenglamasidan keltirib chiqariladi, 𝐵 bо’yicha
olinayotgan integral oldidagi ishora, 𝐵sirtga о’tkazilgan normal 𝑂𝑋 о’qi bilan о’tmasligiga
(yо’naltiruvchi kosinus - cos 𝛼 ning ishorasiga) qarab aniqlanadi.