Reja: N. I. Lobachevskiy va uning geometriyasi

Mavzu: Tekislikdagi Lobachevskiy aksiomalar sistemasi.

Reja:

1. N. I. Lobachevskiy va uning geometriyasi.
2. Tekislikdagi Lobachevskiy aksiomalar sistemasi va
undan kelib chiqadigan natijalar.
3. Parallel to’g’ri chiziqlar va ularning xossalari.

Lobachevskiy geometriyasining aksiomatikasi absolyut geometriya aksiomalari qatoriga Lobachevskiy aksiomasini kushish bilan xosil qilinadi. Demak, Lobachevskiy geometriyasida absolyut geometriyaning

barcha tarif va teoremalari o’z kuchini saqlaydi.
V.'Lobachevskiy aksiomasi. Tekislikda to’g’ri chiziq tash-qarisida olingan nuqtadan bu tugri chiziq bilan kesishmaydigan ka-
mida ikkita to’g’ri chiziq o’tadi,
Shuni takidlab o’tamizki, to’g’ri chiziqda etmaydigan nuqtadan
uning bilan kesishmaydigan to’g’ri chiziq o’tishligini tasdiqlovchi
fakt absolyut geometriyaga taalluqlidir, bu to’g’ri chiziqning yagonaligini parallellik aksiomasi tasdiqlaydi. Lobachevskiy aksiomasi esa bunday to’g’ri chiziqning kamida ikkitaligini tasdiqlaydi.
1 - teorema. Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqda yotmaydigan
nuqtadan bu to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan cheksiz ko’p tugri chiziq o’tadi.

isbot. Lobachevskiy aksnomasiga asosan A nuqtadan a to’g’ri chiziq bilan (1-rasm) kesishmaydigan v va s tugri chiziqlari o’tsin.

s to’g’ri chiziqda shunday S nuqtani olamizki, bu nuqta va a to’g’ri chiziq v to’g’ri chiziq bilan aniklanadigan turli yarim tekisliklarga tegishli bulsin. a tugri chizikda ixtiyoriy D nuqtani olib. CD To’g’ri chiziqni o’tqazsak, bu to’g’ri chiziq b bilan biror V nuqtala kesishadi, V nuqta S bilan
D 'orasida" yotadi. Vs kesmaning ixtiyoriy
E nuqtasini olib, AE to’g’ri chiziqni o’tkazak, bu tugri chizik a bilan kesishmaydi. Xaqiqatan ham, AE bilan a to’g’ri chiziq biror nuqtada kesishadi deb faraz qilib,
DEF uchburchak va 6 to’g’ri chiziqqa
n isbatan pash aksiomasini qo’llasak, a bilan v kesishadi, degan Xulosaga kelamiz. Bu esa shartga zid.
Demak, vs kesma nuqtalari cheksiz ko’p bulgani uchun AE ga o’shash cheksiz kup to’g’ri chiziqlar A
nuqtadan utib, a bilan kesishmaydi. 1-rasm
Beshinchi postulatning barcha ekvivalentlari xam Lobachevskiy D
geometriyasida uz kuchini yoqotadi,
j umladan, uchburchak ichki burchak larning yigindisi endi 180° ga teng emas.

2 - teorema. Lobachevskiy tekisligida

uchburchak ichki burchaklari-
ning yigindisi 180° dan kichik. 2-rasm
3 - teorema. Agar uchburchak ichki burchaklarining yngindisi 180° dan
kichik bulsa; Lobachevskiy aksiomasi o’rinli buladi.
Isbot. AV kesmaning uchlaridan shu kesmaga perpendikulyar bul-gan a, 6 tugri chiziklarni utkazamiz. Absolyut geometriyadan ma'lum-
ki, a, 6 tugri chiziklar kesishmaydi (2-chizma). V nuktadan ytib,
v dan farkli a bilan kesnshmayditan yana bitta tugri chizikning
mavjudligini isbotlasak, maksadga erishgan bulamiz. a tugri chizik-
da ixtiyoriy D nuktani olib, BD nurni utkazsak, 2. ADB = V bur-
chak xosil kilinadi, sungra shu burchakii : V nuktadan boshlab, bir
tomoni BD nurdan iborat kilib kuyamiz (ABD burchakdan tashkariga).
bu burchakning ikkinchi tomoni vs nur bulsin. Shartga kura, ABD uchburchak ichki burchaklarining yiginlisi J80° dan kichik bulgani uchun,
Yani 90° + B + Z. ABD<180° yokn ₽ + L. ABD < 90°, bundan Z DBE = V bulgani uchun, vs bilan a kesishmaydi.
Ushbu xulosaga keldik: Lobachevskiy aksiomasi "uchburchak ichki bur-
chaklarining yigindisi 180° dan kichik" degan farazga ekvivalent.
AVS uchburchak ichki burchaklarining yigindisini bdyavs bilan belgilasak, 180° - bdlvs
ayirma musbatdir, uni AVS uchburchakning
nuqsoni (defekti) deb ataladi va S’ABC bilan belgilanadi.
4-teorema. Uchburchakning nuksoni additivlik xossasiga buysunadi, yani (3-chizma) S’ABC S’ABD+ S’BDC
Isbot. SABC = 180°- SABC = 180° - (SABD + SBDC - 180°) =
= (180° - SABD) + (180⁰-SBDC) = S’ABD + S’BDS
5 - teorema. Lobachevskiy tekisligida uchburchak ichki burchaklarining Yiginlisi turli uchburchaklar uchun turlicha kiymatga ega, yani o’zgaruvchi mikdordir.
3-rasm
I sbot. Faraz kilaylik, barcha uchburchaklar ichki burchaklarining
Yigindisi uzgarmas u bulsii. (Ravshanki, u " 180°.) AVS uchburchak-ning (16-chizma) V uchidan utuvchi, AS tomonini D nuqtada kesuvchi D
3 - chizma
SBD nur utkazak, farazga asosan,
SABC = SABD = SBDC = y bo’lib
SABD + SBDS = SABS+ 180°. Demak, y + y = y + 180° yoki
y= 180°.
Bu esa yukoridagn teoremaga zid.
Xar qanday turtburchakni ikkita uchburchakka ajratish mumkin
bulgani uchun kuyidagi ikki natijani chikaramiz.
1. Lobachevskiy tekisligida xar kanday turtburchak ichki burchak-larining yigindisi 360° dan kichik bulib, bu son xar xil turtbur-chaklar uchun xar xildir.
2. Lobachevskiy tekisligidya burchak kattaliklari bilan chizikli kataliklar orasida borlanish mavjud