Reja: Natural sonlar nazariyasi

Mavzu: To’liqsizlik haqidagi Gyodel teoremasi .
Reja:
1. Natural sonlar nazariyasi.
2. Gyodelning to`liqsizlik haqidagi teoremalari.
3. Birinchi tartibli til. Term va formulalar.
4. Formal arifmetika haqida.
5. Rekursiv va rekursiv sanaluvchi to`plamlar.
Xulosa

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 1. Natural sonlar nazariyasi.
Matematikada noldan farqli musbat butun sonni natural son deymiz.Natural son tushunchasi to`plam tushunchasidan , ya`ni atrofimizda bizni o`rab olgan ko`p narsalarning to`dasi tushunchasidan kelib chiqadi. Har qanday to`plamda uni tashkil qiluvchi elementlar qancha , degan savol qo`yganimizda biz to`plam elementlarini sanash yo`li bilan javob beramiz; javobimiz esa 1,2,3,4,.. sonlar bilan ifoda etiladi.
Bu sonlarning har biri natural son deb ataladi.
Har qanday natural sonni bu sonni tashkil qilgan birliklarning to`plami deb qarash mumkin.
Haqiqatdan ham , har qanday to`plam elementlardan tuzilishi bizga ma`lum.
Qanday elementlardan tuzilganidan qatiy nazar faqat elementlarining soni jihatidan bir hil bo`lgan, to`plamlarni bir sinfga kiradigan to`plamlar deyiladi. Bir sinfga kiradigan hamma hildagi to`plamlar natural son bilan harakterlanadi.
Natural sonlar nazariyasining aksiomatik tavsifnomasini 1888- yilda Dedekind tomonidan berilganiga qaramasdan, natural sonlar arifmetikasining aksiomatik tuzilishini ko‘pincha «Peano aksiomalar sistemasi» deb atashadi.
Aksiomatik natural sonlar nazariyasi tili alfavitining harfi quyidagi formal simvollardan iborat: 0 - konstanta, sonli o‘zgaruvchilar, = - tenglik simvoli, + , •, ' (1 ni qo‘shish) funksional simvollar va
Aksiomatik natural sonlar nazariyasi tili alfavitining harfi quyidagi formal simvollardan iborat: 0 - konstanta, sonli o‘zgaruvchilar, = - tenglik simvoli, + , •, ' (1 ni qo‘shish) funksional simvollar
Algebraning sonli usullari. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning to’g’ri usullari. Gauss usuli. Teskari matrisani topish. ChATS (chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi)ni yechimini topishning iterasion usullari. Iterasion usularning yaqinlashishi va xatoligi. Chebыshev parametrlarining guruhi qatnashgan iterasion usullar. Xos son va xos vektorlarni topishning sonli usullari. Chiziqsiz tenglamalarning yechimi. Chiziqsiz tenglamalar sistemasini yechishning iterasion usullari.
Diskret matematikada fundamental tushun chalardan biri bo'lgan munosabat tushunchasi predmetlar (narsalar) va tushunchalar orasidagi aloqani ifodalaydi. Quyidagi toiiqsiz gaplar munosabatlarga misol bo'la oladi. Odatda, munosabat tushunchasi to'plamlar nazariyasi nuqtai nazaridan turib o'rganiladi. Munosabat tushunchasiga aniqlik kiritish uchun
tartiblangan juftlik tushunchasini o'rganamiz.
1- t a ’ r i f . M a’lum tartibda joylashgan ikki predmetdan tuzilga kortej tartiblangan juftlik deb ataladi. Odatda tartiblangan juftlik quyidagi xususiyatlarga ega deb faraz qilinadi:
1) ixtiyoriy x va у predmetlar uchun < x , y > kabi belgilanadigan muayyan obyekt mavjud bo'lib, har bir x va у predmetlarga yagona tartiblangan < x , y > juftlik mos keladi ( < x , y > yozuv “ x va у ning tartiblangan juftligi” deb o'qiladi);
2) agar ikkita < x , y > va < u, v > tartiblangan juftlik uchun x = и va
у = v bo'lsa, u holda< x , y >=< u , v > bo'ladi. < x , y > tartiblangan juftlik < x , y > - {{x},{x,y}} ko'rinishdagi to'plamdir, ya’ni u shunday ikki elementli to'plamki, uning bir elementi {x, y} tartibsiz juftlikdan iborat, boshqa {x} elementi esa, shu tartibsiz juftlikning qaysi hadi birinchi hisoblanishi kerakligini ko'rsatadi. Tartiblangan juftliklardan birgalikda tartiblangan juftliklar to‘plamini tashkil etishadi.
2 - t a ’ r i f . < x, v > tartiblangan juftlikdagi x uning birinchi koordinatasi, у esa ikkinchi koordinatasi deb ataladi. Tartiblangan juftliklar atamasi asosida tartiblangan n -liklarni aniqlash mumkin. x, v va z predmetlarning tartiblangan uchligi quyidagi tartiblangan juftliklar shaklida aniqianadi: « x , y >, z > . Xuddi shu kabi x1,x2,...,xn predmetlarning tartiblangan « -ligi < x ,,x 2,...,x„ > , ta’rifga asosan, « x, ,x 2,...,x„_, >,x„ > tarzda aniqianadi. Matematik mantiqda n –ar munosabat tartiblangan n -liklar to'plami sifatida aniqianadi. Ba’zan n -ar munosabat iborasi o'rniga n o'rinli munosabat iborasi qo'llaniladi. Agar munosabat bir o'rinli bo'lsa, u holda u unar munosabat, ikki o'rinli bo'lganda esa binar munosabat deb
ataladi. Unar munosabat xossa (xususiyat) deb ham yuritiladi. Adabiyotda, ko'pincha, 3-ar munosabat ternar munosabat deb nomlanadi.
1 - m i s o l . {< 2,4 >,< 5,6 >,< 7,6 >,< 8,8 >} tartiblangan juftliklar to'plami binar munosabatdir.
2- m i s o l . Agar p ayniyat munosabatini bildirsa, u holda < x , y > e p yozuv x = у ayniyatni bildiradi.
3- m i s o l . Agar p onalik munosabatini bildirsa, u holda e p yozuv Xurshida Irodaning onasi ekanligini bildiradi.
4- m i s o l . Ternar munosabatga butun sonlar to'plamida aniqlangan qo'shish amalini misol qilib keltirsa bo'ladi. Bundan keyin binar munosabat atamasi o'rnida, qisqalik uchun, munosabat atamasini ishlatamiz.
3- t a ’ r i f . Agar p biror munosabatni ifodalasa, и holda < X,у > e p va x p у ifodalar o ‘zaro almashuvchi ifodalar deb ataladi. x p у ifoda (yozuv) “infiks yozuvi” deb yuritiladi va “ x (predmet) у (predmet)ga nisbatan p munosabatda” deb o'qiladi. Odatdagi x = y , x < y , x у belgilashlar (yozuvlar) x p y ifodadan kelib chiqqan deb hisoblash mumkin.
{ x /x e A} yozuvni, to'plamlar nazariyasidagi kabi, “shunday xlar to'plamiki, x e A ” deb tushunamiz.
4- t a ’ r i f . { x I ayrim у uchun < x, у > £ p ) to'plam p munosabatning aniqlanish sohasi deb ataladi va D p kabi belgilanadi.
5- t a ’ r i f . { у / ayrim x uchun < x ,y > £ /?} to'plam p munosabatning qiymatlar sohasi deb ataladi va Rp kabi belgilanadi.
Boshqacha qilib aytganda, p munosabatning aniqlanish sohasi shu p munosabatning birinchi koordinatalaridan tashkil topgan to'plamdir, ikkinchi koordinatalaridan tuzilgan to'plam esa, uning qiymatlar sohasidir.
5- m i s o l . {< 2,4 >,< 3,3 >,< 6,7 >} ko'rinishdagi p munosabat
berilgan bo'lsin. U holda D p = {2,3,6}, Rp = {4,3,7}. Tartiblangan juftliklar to'plami tushunchasidan foydalanib, Dekart
ko'paytmasini (ushbu bobning 4- paragrafiga qarang) boshqacha ham aniqlash mumkin. Agar x biror X to'plamning elementi, у esa Y to'plamning elementi bo'lsa, u holda tartiblangan »> juftliklar С to'plami X va Y to'plamlarning Dekart ko'paytmasi deyiladi: