Reja Nyuton interpolyatsiyasi Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi

Reja

1.Nyuton interpolyatsiyasi

2.Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi

3.Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi

Xulosa

Adabiyotlar ro'yxati

NYUTON INTERPOLYATSIYASI

Interpolatsiya, interpolyatsiya - hisoblash matematikasida ma'lum bo'lgan qiymatlarning mavjud diskret to'plamidan miqdorning oraliq qiymatlarini topish usuli.

Ko'pincha ilmiy va muhandislik hisob-kitoblariga duch kelganlar ko'pincha empirik yoki tasodifiy tanlab olish natijasida olingan qiymatlar to'plamlari bilan ishlashga majbur. Odatda, ushbu to'plamlar asosida boshqa aniqlangan qiymatlar tushishi mumkin bo'lgan funktsiyani qurish talab etiladi. Ushbu muammo yaqinlashuv deb ataladi. Interpolatsiya - bu yaqinlashuvning bir turi bo'lib, bunda tuzilgan funktsiyaning egri mavjud bo'lgan ma'lumotlar nuqtalari orqali aniq o'tadi.

Interpolyatsiyaga yaqin bo'lgan muammo ham mavjud bo'lib, u murakkab funktsiyani boshqa sodda funktsiyaga yaqinlashtirishdan iborat. Agar biron-bir funktsiya mahsuldor hisob-kitoblar uchun juda murakkab bo'lsa, siz uning qiymatini bir necha nuqtada hisoblab ko'rishga harakat qilishingiz mumkin va ulardan sodda funktsiyani qurish uchun foydalaning.

Albatta, soddalashtirilgan funktsiyadan foydalanish asl funktsiya beradigan aniq natijalarni olishga imkon bermaydi. Ammo ba'zi muammolar sinflarida hisob-kitoblarning soddaligi va tezligida erishilgan natijalar natijalardagi xatolardan oshib ketishi mumkin.

Shuningdek, "operator interpolatsiyasi" deb nomlanadigan matematik interpolatsiyaning mutlaqo boshqa turini eslatib o'tish kerak.

Operator interpolyatsiyasi bo'yicha klassik asarlar qatoriga Ries-Torin teoremasi va boshqa ko'plab asarlar uchun asos bo'lgan Marcinkiewicz teoremasi kiradi.

 Muayyan mintaqadan () mos kelmaydigan ballar tizimini ko'rib chiqing . Funktsiyaning qiymatlari  faqat mana shu nuqtalarda ma'lum bo'lsin :

Interpolatsiya vazifasi -  bu berilgan funktsiyalar sinfidan funktsiyani topish

Ballar  interpolatsiya tugunlari, va ularning kombinatsiyasi interpolatsiya panjara deb nomlanadi.

Juftliklar  ma'lumotlar nuqtalari yoki tayanch punktlari deb ataladi.

"Qo'shni" qiymatlar orasidagi farq  - bu interpolatsiya tarmog'ining qadamidir. Bu o'zgaruvchan yoki doimiy bo'lishi mumkin.

Funktsiya  - bu interpolyatsiya funktsiyasi yoki interpolant.

2. Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi

1. Vazifaning tavsifi. funktsiya bo'lsin  sozlamalarida qadriyatlarni  mustaqil o'zgaruvchilar teng qadriyatlar uchun , - qadam interpolasyon . Nuqtalarda qiymatlarni hisobga olgan holda yuqori darajadan ko'p bo'lmagan darajani tanlash talab etiladi 

, . (1)

Ahvoli deb teng (1)  qachon .

Nyuton interpolyatsiyasining ko'paytmasi quyidagi shaklga ega:

. (2)

Ko'pxoroliklar (2) muammoning talablarini to'liq qondirishini ko'rish oson. Darhaqiqat, birinchidan, ko'payish darajasi  yuqori emas , ikkinchidan,

va , .

E'tibor bering,  (2) formulasi Taylor seriyasiga aylantirilganda :

.

Amaliy foydalanish uchun Nyutonning interpolyatsiya formulasi (2) odatda biroz o'zgartirilgan shaklda yozilgan. Buning uchun  formulaga muvofiq yangi o'zgaruvchini kiritamiz ; keyin biz olamiz:

, (3)

bo'lib,  ifodalaydi qadamlar sonini nuqtasini erishish uchun zarur bo'lgan nuqtadan boshlab, . Bu Nyutonning interpolyatsiya formulasining oxirgi shakli .

Interpolyatsiya qilish funktsiyalari uchun (3) formulani  boshlang'ich qiymatga yaqin joyda , u  mutlaq qiymat kichik bo'lgan joyda ishlatish foydalidir .

Agar funktsional qiymatlarning cheksiz jadvali berilgan bo'lsa , unda  (3) interpolyatsiya formulasidagi har qanday raqam bo'lishi mumkin. Amaliyotda bu holda raqam  tanlangan  aniqlik darajasi bilan farq doimiy bo'lishi uchun tanlanadi . Dastlabki qiymat uchun  siz argumentning istalgan jadval qiymatini olishingiz mumkin .

Agar funktsiya qiymatlari jadvali cheklangan bo'lsa, u holda son  cheklangan, ya'ni:  funktsiya qiymatlari bittaga kamaygan bo'lishi mumkin.

E'tibor bering, birinchi Nyuton interpolyatsiyasining formulasini qo'llashda farqlarning gorizontal jadvalidan foydalanish qulay, chunki shu vaqtdan boshlab funktsiyalar farqlarining kerakli qiymatlari jadvalning tegishli gorizontal qatorida joylashgan.

2. Namuna . Bosqichni bosib , jadval tomonidan berilgan funktsiya uchun Nyuton interpolyatsiyasining ko'payishini tuzing

	1	1.05	1,1	1.15	1,2	1.25	1.3
	-3	-3,685	-4,445	-5,285	-6.207	-7,218	-8,321

Qaror . Biz farqlar jadvalini tuzamiz (1-jadval).

Uchinchi darajadagi farqlar deyarli doimiy bo'lganligi sababli (3) formulani qabul qilamiz . Qabul qilib , bizda quyidagilar bo'ladi:

, yoki

,

qayerda . Bu istalgan Nyuton interpolyatsiyasining ko'paytmasi.

1-jadval

1 1.05 1,1 1.15 1,2 1.25 1.3	-3 -3,685 -4,445 -5,285 -6.207 -7,218 -8,321	0,685 0,76 0,84 0,922 1.011 1,103	-0.075 -0.08 -0.082 -0.089 -0.092	0,005 0,002 0,007 0,003

Olingan ko'payish bashorat qilishga imkon beradi. Etarli aniqligi Interpolyatsiya muammoni hal olinadi, masalan, .Tochnost masalan, ekstrapolyatsiya muammosini hal tushadi .

3. Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi

Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi jadval tugunlari yaqinidagi funktsiyani interpolyatsiya qilish uchun deyarli noqulaydir. Bunday holda, odatda Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi qo'llaniladi .

Vazifaning tavsifi . Funktsiya qiymatlari ketma-ketligini olaylik

, 

tenglama argumentlari qiymatlari uchun , bu erda  interpolyatsiya bosqichi. Quyidagi shakldagi ko'payuvchini quramiz:

,

yoki, umumlashtirilgan darajadan foydalanib, biz olamiz:

. (1)

So'ngra, qachonki tenglama , biz olish

, .

Ushbu qiymatlarni (1) formulada almashtiramiz. Va nihoyat, Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi quyidagi shaklga ega:

. (2)

Biz (2) formula uchun qulayroq belgi qo'yamiz. Unday bo'lsa

va  boshqalar

Ushbu qiymatlarni (2) formulaga almashtirib, biz quyidagilarga erishamiz:

. (3)

Bu Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasining odatiy shakli . Funktsiya qiymatlarini taxminiy hisoblash uchun quyidagilar  qabul qilinadi:

.

Har ikki birinchi va ikkinchi Nyuton interpolasyonu formula vazifasini t extrapolating uchun foydalanish mumkin. E. funktsiyasi qadriyatlarni topish uchun  argumentlar qadriyatlarga stol limitlar sirtini yolg'on.

Agar  u  yaqin bo'lsa , unda Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasini, keyin esa qo'llash foydalidir . Ammo, agar  va  yaqin bilan, Nyuton ikkinchi interpolasyonu formulasini foydalanish ko'proq qulay .

Shunday qilib, birinchi Nyutonning interpolyatsiya formulasi odatda oldinga va orqaga ekstrapolyatsiya qilish uchun ishlatiladi , ikkinchi Nyuton interpolyatsiyasi formulasi, aksincha, orqaga va oldinga ekstrapolyatsiya qilish uchun ishlatiladi .

E'tibor bering, ekstrapolyatsiya operatsiyasi, umuman olganda, so'zning tor ma'nosidagi interpolatsiya operatsiyasidan kamroq aniqdir.

Bir misol. Bosqichni bosib , jadval tomonidan berilgan funktsiya uchun Nyuton interpolyatsiyasining ko'payishini tuzing

	0,5	0,55	0,6	0,65	0,7	0,75	0,8
	0,875	0.7088	0.5361	0,3572	0.173	-0.0156	-0.2081

Qaror . Biz farqlar jadvalini tuzamiz (1-jadval). Uchinchi darajadagi farqlar deyarli doimiy bo'lganligi sababli (3) formulani qabul qilamiz . Qabul qilib , bizda quyidagilar bo'ladi:

, yoki

,

qayerda .

Bu istalgan Nyuton interpolyatsiyasining ko'paytmasi.

1-jadval

0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8	0,875 0.7088 0.5361 0,3572 0.173 -0.0156 -0.20	-0.1662 -0.1727 -0.1789 -0.1842 -0.1886 -0.1925 yil	-0.0065 -0.0062 -0.0053 -0.0044 -0.0039	0,0003 0,0009 0,0009 0,0005

Xulosa

interpolyatsiya nyuton ekstrapolyatsiyasi formulasi

Hisoblash matematikasida funktsiyalarning interpolatsiyasi muhim rol o'ynaydi, ya'ni. Berilgan funktsiya tomonidan boshqa (odatda sodda) funktsiyani qurish, uning qiymatlari ma'lum bir nuqtada berilgan funktsiyaning qiymatlari bilan mos keladi. Bundan tashqari, interpolatsiya ham amaliy, ham nazariy ahamiyatga ega. Amalda, muammo ko'pincha doimiy funktsiyani jadval jadvalidan, masalan, ba'zi bir tajriba paytida olingan qiymatdan tiklashda yuzaga keladi. Ko'p funktsiyalarni hisoblash uchun u ko'p sonli yoki kasrli ratsional funktsiyalar bilan yaqinlashtiriladi. Interpolatsiya nazariyasi raqamli integratsiyaning kvadraturali formulalarini qurish va o'rganishda, differentsial va integral tenglamalarni yechish usullarini olish uchun ishlatiladi.

Adabiyotlar ro'yxati

1. V.V. Ivanov. Hisoblash usullari. Ma'lumot uchun qo'llanma. "Naukova Dumka" nashriyoti. Kiev 1986 yil.

2. N.S. Baxvalov, N.P. Jidkov, G.M. Kobelkov. Raqamli usullar. "Asosiy bilimlar laboratoriyasi" nashriyoti. 2003 yil.

3. I.S. Berezin, N.P. Jidkov. Hisoblash usullari. Ed FizMatLit. Moskva 1962 yil.

4. C. De Bor. Sifatlarga oid qo'llanma. "Radio va aloqa" nashriyoti. Moskva 1985 yil.

5. J. Forsayt, M. Malkom, K. Mowler. Matematik hisoblashning mashina usullari. "Mir" nashriyoti. Moskva 1980 yil.