Reja: O`lchovli to`plamlar

a • x • b; a • x < b; a < x • b; a < x < b

va

c • y • d; c • y < d; c < y • d; c < y < d

tengsizliklarning istalgan bir jufti bilan aniqlangan to`plamlar sistemasi beril-gan bo`lsin. Bu to`plamlarni to`g`ri to`rtburchaklar deb ataymiz.

Bizga a • x • b; c • y • d; tengsizliklar bilan aniqlangan to`g`ri

to`rtburchak berilgan bo`lsin. Agar a < b; c < d bo`lsa, u chegaralari o`ziga qarashli bo`lgan to`g`ri to`rtburchakni, agar a = b va c < d yoki a < b va c = d bo`lsa kesmani, agar a = b; c = d bo`lsa nuqtani va agar a > b yoki c > d bo`lsa, bo`sh to`plamni aniqlaydi. Ochiq a < x < b; c < y < d to`g`ri to`rtburchak a; b; c va d larga bog`liq ravishda chegarasi o`ziga qarash-

li bo`lmagan to`g`ri to`rtburchak yoki bo`sh to`plam bo`ladi. Yarim ochiq to`g`ri to`rtburchaklarning har biri bir, ikki yoki uch tomonsiz to`rtburchaklarni, ochiq, yarim ochiq oraliqlarni aniqlaydi.

1. 
   deb tekislikdagi barcha to`g`ri to`rtburchaklar sistemasini belgilaymiz.
   

6.1-lemma. Tekislikdagi barcha to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi S yarim halqa tashkil qiladi.

Isbot. a; b; c va d sonlari bilan aniqlanuvchi ochiq to`g`ri to`rtburchak a = b bo`lganda bo`sh to`plamni aniqlaydi, demak ; 2 S Ikki to`g`ri to`rtbur-chakning kesishmasi to`g`ri to`rtburchakdir (6.1-chizma), ya'ni P₁; P₂ 2 S dan P₁ \ P₂ 2 S ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik P = P_{abcd to`g`ri}

to`rtburchak P1 = Pa<sub>1</sub>b<sub>1</sub>c<sub>1</sub>d<sub>1 to`g`ri to`rtburchakni o`zida saqlasin. U holda</sub>

a • a₁ • b₁ • b; c • c₁ • d₁ • d

munosabatlar o`rinli. P nP1 ayirmani quyidagicha tasvirlash mumkin.

P nP₁ = P₂ [ P₃ [ P₄ [ P₅;

bu yerda (6.2-chizmaga qarang)

P2 = Paa₁cd; P3 = Pa₁bd₁d; P4 = Pb₁bcd₁ ; P5 = Pa₁b₁cc₁ :
Demak, tekislikdagi barcha to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi S yarim halqa tashkil qilar ekan.
6.1-ta'rif. S yarim halqadan olingan va a; b; c; d sonlari bilan aniqlan-gan (yopiq, ochiq yoki yarim ochiq) P = P<sub>abcd to`g`ri to`rtburchak uchun</sub> m(P ) = (b ¡ a)(d ¡ c) sonni mos qo`yamiz, agar P bo`sh to`plam bo`lsa m(P ) = 0 deymiz va m : S ! R to`plam funksiyasini o`lchov deymiz.

Shunday qilib, S dagi har bir P to`g`ri to`rtburchakka uning o`lchovi m(P ) = (b¡a)(d¡c) son mos qo`yildi. Bu moslik quyidagi shartlarni qanoat-lantiradi:

1) m(P ) - man y bo`lmagan haqiqiy son.
) m : S ! R to`plam funksiyasi additiv, ya'ni agar

P = Pk; Pi