Reja: O`lchovli to`plamlar

Mavzu: Lebeg Stiltes o`lchov

Reja:

1. O`lchovli to`plamlar

2. Tekislikdagi to`plamning o`lchovi

3. O`lchovning umumiy tushunchasi

4. O`lchovning Lebeg Stiltes bo`yicha davomi

Kirish

Funksional analiz - matematik analiz, geometriya va chiziqli algebraning g`oya va usullarini cheksiz o`lchamli fazolar uchun umumlashtiruvchi fan hisob-lanadi. Hozirgi kunda funksional analizning g`oya, konsepsiya, usul va tushun-chalari matematikaning barcha sohalari tomonidan tan olingan. So`nggi yil-larda di erensial tenglamalar, hisoblash usullari, matematik dasturlashning talab va ehtiyojlariga javoban funksional analizning yangi chiziqli bo`lmagan tarmog`i paydo bo`ldi. Zamonaviy matematikaning bu yo`nalishi amaliyotchi-lar va muhandislarning o`sib kelayotgan ehtiyojlarining bir qismini qondiradi.
Ushbu darslik Funksional analiz va integral tenglamalar fanidan namu-naviy ishchi dasturga moslab tuzilgan. Darslik universitetlarning mexanika va matematika bakalavriyat yo`nalishlari bo`yicha ta'lim olayotgan talabalari uchun mo`ljallab yozilgan.
Darslikning asosiy maqsadi bo`lg`usi mutaxassislarni funksional analizning asosiy tushunchalari va usullari bilan tanishtirish, funksional analizning asosiy boblari bo`yicha nazariy bilimlarini shakllantirish, masalalar yechishda malaka va ko`nikmalar hosil qilish, hamda ularda integral tenglamalar bilan ishlash mahoratini paydo qilishdan iborat.
Darslikni o`qish jarayonida talabalar o`zlarining matematik analiz, chiziqli algebra va geometriyadan olgan bilimlarini to`ldiradilar, hamda ularni funk-sional fazolarga moslab qo`llaydilar, ya'ni mustahkamlaydilar. Talabalar chi-ziqli funksional va operator tushunchalari bilan tanishadilar va ularning asosiy xossalarini o`rganadilar. Cheksiz o`lchamli funksional fazolarni o`rganish jara-yonida o`quvchilar funksional analizning kuchli va nozik usullarini tushunishga biroz qiynaladilar, lekin tushunib yetganlaridan keyin o`zlarida ilmga undovchi qandaydir ichki kuch sezadilar.

O`lchovli to`plamlar

Bu bob uch paragrafdan iborat. Dastlabki 6-paragrafda tekislikdagi to`plam-ning Lebeg o`lchovi tushunchasi kiritilgan. O`lchov tushunchasi bu ¡ kesma-ning uzunligi, tekislikdagi shaklning yuzasi, fazodagi jismning hajmi kabi tu-shunchalarning umumlashmasi natijasida paydo bo`lgan. Bu paragrafda Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plamlar sin Jordan ma'nosida o`lchovli to`plamlar sin-dan kengroq ekanligi ta'kidlangan va Lebeg ma'nosida o`lchovli bo`lgan, am-mo Jordan ma'nosida o`lchovli bo`lmagan to`plamga misol keltirilgan. Lebeg o`lchovining yarim additivlik, additivlik, sanoqli additivlik va uzluksizlik xos-salari (6.6, 6.8-6.9 teoremalar) isbotlangan. Birlik kvadratdagi o`lchovli to`p-lamlar sistemasi ¾ ¡ algebra tashkil qilishi ko`rsatilgan. Bu paragrafning ay-

rim to`ldirishlar bandida tekislikda berilgan A to`plamning Lebeg ma'nosida

o`lchovli bo`lishligi ta'ri angan. Umumlashtirishlar bandida esa Lebeg-Stiltes o`lchovlari berilgan. Paragrafning oxirgi bandida sonlar o`qida Lebeg ma'nosida o`lchovsiz to`plamga misol keltirilgan. Absolyut uzluksiz, singulyar uzluksiz va diskret o`lchovlarga ta'rif berilgan hamda ularga misollar keltirilgan.
7-paragrafda o`lchovning umumiy ta'ri keltirilgan. Yarim halqada beril-gan o`lchovni yarim halqadan hosil bo`lgan minimal halqaga davom ettirish va davomning yagonaligi (7.1-teorema) isbotlangan. Additiv va ¾ ¡ addi-
tiv o`lchovlarning umumiy xossalari keltirilgan. Additiv, ammo ¾ ¡ additiv bo`lmagan o`lchovga misol keltirilgan.
Bobning oxirgi, 8-paragra da yarim halqada berilgan o`lchovni Lebeg bo`yi-cha davom ettirish masalasi qaralgan. Bu yerda ham 6-paragrafdagiga o`xshash o`lchovning yarim additivlik, additivlik, sanoqli additivlik va uzluksizlik xos-salari isbotlangan. Birlik elementli S<sub>m</sub> yarim halqada ¾ ¡ additiv m o`lchov berilgan bo`lsa, bu o`lchovning Lebeg bo`yicha davomi ¡„ ham ¾ ¡ additiv o`lchov bo`lishi isbotlangan.

6- x: Tekislikdagi to`plamning o`lchovi

Biz bu paragrafda tekislikda Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plam ta'ri ni beramiz va o`lchovli to`plamlarning asosiy xossalarini isbotlaymiz.
6.1. Elementar to`plam o`lchovi. Aytaylik a; b; c va d lar ixtiyoriy
sonlar bo`lsin. Tekislikda
a • x • b; a • x < b; a < x • b; a < x < b
va
c • y • d; c • y < d; c < y • d; c < y < d
tengsizliklarning istalgan bir jufti bilan aniqlangan to`plamlar sistemasi beril-gan bo`lsin. Bu to`plamlarni to`g`ri to`rtburchaklar deb ataymiz.
Bizga a • x • b; c • y • d; tengsizliklar bilan aniqlangan to`g`ri
to`rtburchak berilgan bo`lsin. Agar a < b; c < d bo`lsa, u chegaralari o`ziga qarashli bo`lgan to`g`ri to`rtburchakni, agar a = b va c < d yoki a < b va c = d bo`lsa kesmani, agar a = b; c = d bo`lsa nuqtani va agar a > b yoki c > d bo`lsa, bo`sh to`plamni aniqlaydi. Ochiq a < x < b; c < y < d to`g`ri to`rtburchak a; b; c va d larga bog`liq ravishda chegarasi o`ziga qarash-
li bo`lmagan to`g`ri to`rtburchak yoki bo`sh to`plam bo`ladi. Yarim ochiq to`g`ri to`rtburchaklarning har biri bir, ikki yoki uch tomonsiz to`rtburchaklarni, ochiq, yarim ochiq oraliqlarni aniqlaydi.

1. 
   deb tekislikdagi barcha to`g`ri to`rtburchaklar sistemasini belgilaymiz.
   

6.1-lemma. Tekislikdagi barcha to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi S yarim halqa tashkil qiladi.

Isbot. a; b; c va d sonlari bilan aniqlanuvchi ochiq to`g`ri to`rtburchak a = b bo`lganda bo`sh to`plamni aniqlaydi, demak ; 2 S Ikki to`g`ri to`rtbur-chakning kesishmasi to`g`ri to`rtburchakdir (6.1-chizma), ya'ni P₁; P₂ 2 S dan P₁ \ P₂ 2 S ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik P = P_{abcd to`g`ri}

to`rtburchak P1 = Pa<sub>1</sub>b<sub>1</sub>c<sub>1</sub>d<sub>1 to`g`ri to`rtburchakni o`zida saqlasin. U holda</sub>
a • a₁ • b₁ • b; c • c₁ • d₁ • d

munosabatlar o`rinli. P nP1 ayirmani quyidagicha tasvirlash mumkin.

P nP₁ = P₂ [ P₃ [ P₄ [ P₅;
bu yerda (6.2-chizmaga qarang)
P2 = Paa₁cd; P3 = Pa₁bd₁d; P4 = Pb₁bcd₁ ; P5 = Pa₁b₁cc₁ :

Demak, tekislikdagi barcha to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi S yarim halqa tashkil qilar ekan.

6.1-ta'rif. S yarim halqadan olingan va a; b; c; d sonlari bilan aniqlan-gan (yopiq, ochiq yoki yarim ochiq) P = P<sub>abcd to`g`ri to`rtburchak uchun</sub> m(P ) = (b ¡ a)(d ¡ c) sonni mos qo`yamiz, agar P bo`sh to`plam bo`lsa m(P ) = 0 deymiz va m : S ! R to`plam funksiyasini o`lchov deymiz.
Shunday qilib, S dagi har bir P to`g`ri to`rtburchakka uning o`lchovi m(P ) = (b¡a)(d¡c) son mos qo`yildi. Bu moslik quyidagi shartlarni qanoat-lantiradi:

1) m(P ) - man y bo`lmagan haqiqiy son.

) m : S ! R to`plam funksiyasi additiv, ya'ni agar

P = Pk; Pi	Pk = ;; i 6= k; P; Pk 2 S

bo`lsa, u holda quyidagi tenglik o`rinli m(P ) = ^Pn m(P_k) .

k=1

Maqsadimiz 1) va 2) xossalarni saqlagan holda m o`lchovni barcha to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi S dan kengroq bo`lgan sinfga davom ettirishdan iborat. Shu maqsadda M(S) bilan S yarim halqa ustiga qurilgan minimal halqani belgilaymiz.

6.2-ta'rif. M(S) halqa elementlari elementar to`plam deyiladi.
5.3-teoremaga ko`ra ixtiyoriy A 2 M(S) to`plam chekli sondagi o`zaro kesishmaydigan to`g`ri to`rtburchaklarning yig`indisi shaklida ifodalanadi va aksincha.
5.1-xossa va halqa ta'ri ga ko`ra quyidagi tasdiq o`rinli.
6.1-lemma. Ikki elementar to`plamning birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi va simmetrik ayirmasi yana elementar to`plam bo`ladi.
Endi M(S) halqadagi to`plamlarning, ya'ni elementar to`plamlarning o`l-chovi tushunchasini kiritamiz.

.3-ta'rif. Har bir A = ^Sn P_k 2 M(S) elementar to`plamga

k=1

Xⁿ

m⁰(A) = m (P_k)
k=1
sonni mos qo`yuvchi m⁰ : M(S) ! R moslikni aniqlaymiz. m⁰(A) miqdorni

1. 
   to`plamning o`lchovi deb ataymiz.
   

Elementar to`plamlar sistemasi M(S) da aniqlangan m<sup>0 funksiyaning qiy-</sup>mati A elementar to`plamni chekli sondagi to`g`ri to`rtburchaklar yig`indisiga yoyish usulidan bog`liq emasligini ko`rsatamiz. Aytaylik, fP_k; k = 1; 2; : : : ; mg va fQ_j; j = 1; 2; : : : ; ng larning har biri o`zaro kesishmaydigan to`g`ri to`rt-burchaklar sistemalari bo`lib, (6.3 va 6.4-chizmaga qarang)

tengliklar o`rinli. Oxirgi tengliklar ko`rsatadiki, A elementar to`plamning o`l-chovi m⁰(A) uning to`g`ri to`rtburchaklar yig`indisi shaklida tasvirlanish usu-lidan bog`liq emas ekan, ya'ni elementar to`plam o`lchovi m^{0 ning aniqlanishi} korrekt ekan.

Agar A 2 M(S) to`plam to`g`ri to`rtburchak bo`lsa, u holda m⁰(A) =

m(A) bo`ladi.

23. 
    Agar A 2 M(S) to`plam chekli sondagi o`zaro kesishmaydigan A₁; A₂;
    

23. 
    : : ; A_n elementar to`plamlarning yig`indisi shaklida tasvirlansa, ya'ni A = ^Sn A_{k u holda}
    

k=1

n
m^0(A) = m^0(Ak)	(6:1)
=1
Xk	sk

tenglik o`rinli. Haqiqatan ham, A 2 M(S) bo`lganligi uchun A_k = P_kj ;

j=1

bu yerda fPkjg - o`zaro kesishmaydigan to`g`ri to`rtburchaklar

sistemasi. U

S

holda

n

sk

n

sk

n

A =

Pkj

va m^0(A) =

m (Pkj) =

m^0 (Ak) :

=1 j=1

k=1

j=1

k=1

k[ [

X X

X

(6.1) tenglik

m0 o`lchovning additivlik xossasini ifodalaydi.

6.1-teorema. Agar

A 2 M(S) va

fAng ¡ elementar to`plamlarning

chekli yoki sanoqli sistemasi bo`lib, A ‰ n

An bo`lsa,

S =m^0 (A) • ^X m^0 (An)

(6:2)

n

tengsizlik o`rinli bo`ladi.

Isbot. Ixtiyoriy " > 0 va A elementar to`plam uchun

tengsizlikni qanoatlantiruvchi va A

to`plamda saqlanuvchi yopiq ¯

A elementar

to`plam mavjud (6.5-chizmaga qarang, n >

4(b ¡ a + d ¡ c)

: )

"

Har bir elementar A

to`plam uchun ochiq

A

A

elementar to`plam

mavjudki (6.6-chizmaga

^nqarang)

en

¾

n

m^0 ^‡An^· • m^0 (An) +

2n^"+1

(6:4)

e

6.1-teorema tasdig`idagi (6.2) tengsizlik, m<sup>0 o`lchovning yarim additivlik</sup> xossasi deyiladi.

m⁰ o`lchovning yarim additivlik xossasidan uning ¾ - additivlik xossasi kelib chiqadi, ya'ni quyidagi teorema o`rinli.
6.2-teorema. A elementar to`plam sanoqli sondagi o`zaro kesishmaydigan A₁; A₂; : : : ; A_n; : : : elementar to`plamlarning yig`indisidan iborat, ya'ni A =

S1

An bo`lsin. U holda quyidagi tenglik o`rinli

n=1

Agar N ! 1 da limitga o`tsak,

m⁰(A) ‚ ^X1 m⁰ (A_n)
n=1

bo`ladi.

6.1-teoremaga ko`ra
m<sup>0</sup>(A) • <sup>X1</sup> m<sup>0</sup> (A<sub>n</sub>) :
n=1Oxirgi ikki munosabatdan (6.6) tenglik kelib chiqadi.
6.2. Tekislikdagi to`plamlarning Lebeg o`lchovi. Geometriya va klas-sik analizda uchraydigan to`plamlar faqatgina elementar to`plamlardan iborat bo`lmaydi. Shu sababli o`lchov tushunchasini, uning xossalarini saqlagan hol-

da elementar to`plamlar sistemasi M(S) dan kengroq to`plamlar sistemasi uchun aniqlashga harakat qilamiz.

Lebeg o`lchovi nazariyasini bayon qilish jarayonida bizga nafaqat chek-li, balki cheksiz sondagi to`g`ri to`rtburchaklar birlashmalarini ham qarashga to`g`ri keladi. Bunda birdaniga cheksiz o`lchovli to`plamlarga duch kelmaslik

uchun, dastlab E = f(x; y) : 0 • x • 1;			0 • y • 1g birlik kvadratda
saqlanuvchi to`plamlar bilan chegaralanamiz.
6.4-ta'rif. Ixtiyoriy A ‰ E to`plam uchun
„^⁄	A	inf	m(P	)	(6:7)
(		^) = A‰ k Pk ^Xk	k
		S

son A to`plamning tashqi o`lchovi deyiladi. Bu yerda aniq quyi chegara A
to`plamni qoplovchi to`g`ri to`rtburchaklarning barcha chekli yoki sanoqli sis-temalari bo`yicha olinadi.

fP_kg to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi A to`plamni qoplaydi, shuning uchun o`rinli.
Ikkinchi tomondan, fQ<sub>j</sub>g sistema A to`plamni qoplovchi chekli yoki sanoqli sondagi ixtiyoriy to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi bo`lsa, 6.1-teoremaga ko`ra m⁰(A) • ^P m(Q_j) kelib chiqadi.

Demak, (6.8) va (6.9) lardan m⁰(A) = „^⁄(A) tenglikka ega bo`lamiz. Shunday qilib, M(S) da m<sup>0</sup> va „<sup>⁄</sup> o`lchovlar ustma-ust tushar ekan.

6.3-teorema. Agar chekli yoki sanoqli sondagi fA_ng to`plamlar sistemasi uchun A ‰ <sup>S</sup> A<sub>n bo`lsa, u holda</sub>
S=„^⁄(A) • ^X „^⁄(A_n)
n
tengsizlik o`rinli. Xususan, agar A ‰ B bo`lsa, „^⁄(A) • „^⁄(B) bo`ladi.
Isbot. Ixtiyoriy " > 0 va har bir An uchun tashqi o`lchov ta'ri ga ko`ra to`g`ri to`rtburchaklarning shunday chekli yoki sanoqli fP_nkg sistemasi mavjud-

ki,	[k		Xk	m (Pnk) • „^⁄ (An) + 2^"n
An ‰		Pnk va

bo`ladi. U holda quyidagilar o`rinli:

A ‰ P_nk va „^⁄(A) •


^{X X} m (P_nk) • ^X „^⁄ (A_n) + ":

23. 
    > 0 sonning ixtiyoriyligidan teoremaning isboti kelib chiqadi.
    

Ma'lumki, elementar to`plamlar sistemasi M(S) da m⁰ va „^{⁄ lar ustma-}

ust tushadi. Demak, 6.1-teorema 6.3-teoremaning xususiy holini ifodalaydi. 6.5-ta'rif. Bizga A ‰ E to`plam berilgan bo`lsin. Agar ixtiyoriy " > 0

U(E)

uchun shunday B ‰ E elementar to`plam mavjud bo`lib, „^⁄(A B) < " tengsizlik bajarilsa, u holda A Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plam deyiladi. Agar A Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plam bo`lsa, uning o`lchovi deb tashqi o`lchovini qabul qilamiz.
bilan E ning barcha o`lchovli qism to`plamlaridan tashkil topgan sistemani belgilaymiz. „ bilan „<sup>⁄</sup> to`plam funksiyasining U(E) dagi qismini belgilaymiz, ya'ni ixtiyoriy A 2 U(E) uchun „(A) = „^⁄(A): Aniqlanish
sohasi U(E) bo`lgan „ to`plam funksiyasi Lebeg o`lchovi deyiladi. Shunday qilib, o`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) va unda Lebeg o`lchovi „ aniqlandi. Bizning asosiy maqsadimiz o`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) ni chek-
li yoki sanoqli sondagi to`plamlarning birlashmasi va kesishmasiga nisbatan yopiqligini ko`rsatishdan, ya'ni U(E) ning ¾ algebra tashkil qilishini isbot-

lashdan iborat.

Shuni ta'kidlash joizki, agar A Jordan ma'nosida o`lchovli to`plam bo`lsa,

u Lebeg ma'nosida ham o`lchovli to`plam bo`ladi va bu o`lchovlar o`zaro teng bo`ladi.
Hozir biz Lebeg ma'nosida o`lchovli, ammo Jordan ma'nosida o`lchovli bo`lmagan to`plamga misol keltiramiz.
6.1-misol. A ‰ E birlik kvadratdagi barcha ratsional koordinatali nuqta-lar to`plami bo`lsin. Uning Lebeg ma'nosida o`lchovli, ammo Jordan ma'nosida o`lchovli emasligini isbotlang.
Isbot. A va EnA to`plamlar E da zich bo`lganligi uchun
j^⁄(A) = 1; j^⁄(EnA) = 1
tengliklar o`rinli. Bu yerdan j<sub>⁄</sub>(A) = 0 va j<sup>⁄</sup>(A) 6= j<sub>⁄</sub>(A): Demak, A to`plam Jordan ma'nosida o`lchovli emas. Ma'lumki, A sanoqli to`plam (3.3-misolga
qarang), shuning uchun uning elementlarini (x_k; y_k); k 2 N ko`rinishda nomer-lab chiqish mumkin. Shunday ekan,

[¹

A = ∑ P_k; P_k = f(x; y) : x_k • x • x_k; y_k • y • y_kg :

k=1
Ikkinchi tomondan ixtiyoriy k 2 N uchun m(P_k) = 0: Bu yerdan „^⁄(A) = 0 ekanligi kelib chiqadi. Shuni ta'kidlash lozimki, tashqi o`lchovi nolga teng bo`lgan har qanday to`plam o`lchovli to`plamdir. Buning uchun elementar to`plam sifatida B = ; ni olish yetarli:
„^⁄(A B) = „^⁄(A ;) = „^⁄(A) = 0 < ":
Demak, A Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plam. Shunday qilib, A Lebeg ma'nosida o`lchovli bo`lgan, lekin Jordan ma'nosida o`lchovli bo`lmagan to`plamga misol bo`ladi.

6.4-teorema. O`lchovli to`plamning to`ldiruvchisi o`lchovlidir.

A₁; A₂
Isbot. Teoremaning tasdig`i elementar to`plamning to`ldiruvchisi elementar to`plam ekanligidan va

5888. 
      B = (EnA)Δ(EnB)
      

tenglikdan (1-ü dagi 2-topshiriqqa qarang) kelib chiqadi.

6.5-teorema. O`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) halqa bo`ladi.
Isbot. Teoremani isbotlash uchun o`lchovli to`plamlarning kesishmasi va simmetrik ayirmasi yana o`lchovli to`plam ekanligini ko`rsatish yetarli.

o`lchovli to`plamlar bo`lsin. 6.5-ta'rifga ko`ra, ixtiyoriy " > 0 son uchun shun-

day B₁ 2 M(S) va B₂ 2 M(S) elementar to`plamlar mavjud bo`lib, quyida-gi tengsizliklar bajariladi

„^⁄(A1	B1) <	"		;	„^⁄(A2	B2) <	"		:
		2					2

U holda (A₁ \A₂)Δ(B₁ \B₂) ‰ (A₁ B₁)[(A₂ B₂) munosabatdan va tashqi o`lchovning yarim additivlik xossasidan

„^⁄((A₁ \ A₂)Δ(B₁ \ B₂)) • „^⁄(A₁ B₁) + „^⁄(A₂ B₂) < "
ga ega bo`lamiz. B<sub>1</sub> \ B<sub>2</sub> ning elementar to`plam ekanligidan A₁ \ A_{2 ning} o`lchovli to`plam ekanligi kelib chiqadi.

Ikki to`plam simmetrik ayirmasining o`lchovli ekanligi

A₁; A₂; : : : ; A_n

(A₁ A₂)Δ(B₁ B₂) = (A₁ B₁)Δ(A₂ B₂) ‰ (A₁ B₁) [ (A₂ B₂)

_{munosabatdan hamda „}⁄ o`lchovning yarim additivlik xossasidan kelib chiqa-di. Agar o`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) da birlik element mavjud bo`lsa,
6.5-teorema va 5.1-5.2 xossalardan quyidagi tasdiqlar kelib chiqadi.
6.1-natija. Ikki o`lchovli to`plamning birlashmasi va ayirmasi yana o`lchovli to`plamdir.
6.2-natija. Chekli sondagi o`lchovli to`plamlarning birlashmasi va kesish-masi yana o`lchovli to`plamdir.

6.6-teorema (O`lchovning additivlik xossasi). Agar _lar

o`zaro kesishmaydigan o`lchovli to`plamlar bo`lsa, u holda

^ˆ_[n ^! _Xn

23. 
    A_k =„ (A_k)
    

k=1 k=1
tenglik o`rinli.
Teoremani isbotlashda quyidagi lemmadan foydalaniladi.

6.2-lemma. Ixtiyoriy A va B to`plamlar uchun

j„^⁄(A) ¡ „^⁄(B)j • „^⁄(A B)
tengsizlik o`rinli.
Isbot. A ‰ B [ (A B) bo`lgani uchun 6.3-teoremaga ko`ra
„^⁄(A) • „^⁄(B) + „^⁄(A B):
Bu yerdan „^⁄(A) ‚ „^⁄(B) hol uchun lemmaning isboti kelib chiqadi. Xuddi shunday, B ‰ A [ (A B) munosabatdan

„^⁄(A₁ B₁) < "; „^⁄(A₂ B₂) < "

tengsizliklar bajariladi. A = A₁ [ A₂ va B = B₁ [ B_{2 deymiz. 6.1-natijaga} ko`ra A to`plam o`lchovli. A1 va A2 to`plamlar o`zaro kesishmaganligi uchun B<sub>1</sub> \ B<sub>2</sub> ‰ (A<sub>1</sub> B<sub>1</sub>) [ (A<sub>2</sub> B<sub>2</sub>) munosabat o`rinli (1-ü dagi 5-topshiriqqa qarang). Bu munosabatdan va 6.3-teoremadan m⁰(B₁ \ B₂) • 2" tengsizlik kelib chiqadi. 6.2-lemmaga ko`ra,

m⁰(B) = m⁰(B₁) + m⁰(B₂) ¡ m⁰(B₁ \ B₂) ‚ „^⁄(A₁) + „^⁄(A₂) ¡ 4": (6:11)
Quyidagi tengsizlik o`rinli
„^⁄(A) ‚ m⁰(B) ¡ „^⁄(A B) ‚ m⁰(B) ¡ 2" ‚ „^⁄(A₁) + „^⁄(A₂) ¡ 6":
Birinchi tengsizlik 6.2-lemmadan, ikkinchi tengsizlik

23. 
    B ‰ (A₁ B₁) (A₂ B₂)
    

munosabatdan, uchinchi tengsizlik (6.11) dan kelib chiqadi. " > 0 sonining ixtiyoriyligidan

„^⁄(A) ‚ „^⁄(A₁) + „^⁄(A₂)

ni hosil qilamiz. Teskari tengsizlik
„^⁄(A) • „^⁄(A₁) + „^⁄(A₂)

esa A ‰ A1 [A2 munosabatdan hamda 6.3-teoremadan kelib chiqadi. Demak,

„^⁄(A) = „^⁄(A₁) + „^⁄(A₂)

tenglik o`rinli. A<sub>1</sub>; A<sub>2</sub> va A to`plamlar o`lchovli bo`lganligi uchun „^⁄ ni „ bilan almashtirish mumkin, ya'ni „(A) = „(A₁) + „(A₂) .
6.3-natija. Ixtiyoriy A ‰ E o`lchovli to`plam uchun

„ (EnA) = 1 ¡ „(A)

(6:12)

tenglik o`rinli.

Isbot. A va EnA to`plamlar o`zaro kesishmaydi va
„(A) + „(EnA) = „(E) = 1
Bu yerdan (6.12) tenglik kelib chiqadi.
6.7-teorema. Sanoqli sondagi o`lchovli to`plamlarning birlashmasi va ke-sishmasi yana o`lchovli to`plamdir.
Isbot. A₁; A₂; : : : ; A_n; : : : ¡ o`lchovli to`plamlarning sanoqli sistemasi bo`lib, A =An bo`lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz

n=1

n_[¡1

A⁰₁ = A₁; A⁰_n = A_nn A_k; n ‚ 2:
k=1

^{Ravshanki, A = S1 A0}n hamda ^A0n to`plamlar juft-jufti bilan o`zaro kesish-

n=1

maydi. 6.1 va 6.2-natijalarga ko`ra, A<sup>0</sup><sub>n to`plamlar o`lchovli.</sub>

6.6-teoremadan hamda tashqi o`lchovning yarim additivlik xossasidan ix-tiyoriy chekli n 2 N uchun quyidagiga ega bo`lamiz

O`lchovli to`plamlarning to`ldiruvchisi o`lchovli ekanligidan hamda

A_n = En*(EnA_n)n
tenglikdan sanoqli sondagi o`lchovli to`plamlarning kesishmasi ham o`lchovli ekanligi kelib chiqadi.
6.4-natija. O`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) , ¾ algebra tashkil qiladi.
Natijaning isboti 6.7-teoremadan hamda U(E) sistemada E = [0; 1] £ [0; 1] ning birlik element ekanligidan kelib chiqadi.
6.7-teorema 6.2-natijaning umumlashmasi hisoblanadi. 6.6-teoremaning umumlashmasi quyidagicha.
6.8-teorema (O`lchovning ¾¡ additivlik xossasi). Agar fA_ng ¡ o`zaro kesishmaydigan o`lchovli to`plamlar ketma-ketligi uchun
A =A_n n=1

bo`lsa, u holda quyidagi tenglik o`rinli

X¹

„(A) =„ (An) :	(6:15)
n=1

Agar k ! 1 da limitga o`tsak,

X1= (An) • (A)

(6:16)

n=1
tengsizlikka ega bo`lamiz. O`lchovning yarim additivlik xossasiga ko`ra,
X¹

„(A) •„ (An) :	(6:17)
n=1

(6.16) va (6.17) dan (6.15) tenglik kelib chiqadi.
Yuqorida keltirilgan teorema o`lchovning sanoqli additivlik yoki ¾¡ addi-tivlik xossasi deyiladi. O`lchovning ¾¡ additivlik xossasidan uning uzluksizlik xossasi kelib chiqadi.

„(A) = lim „(A_n):

n!1

Isbot. A = ; to`plam bo`lgan holni qarash yetarli, chunki umumiy hol A_n ni A_nnA bilan almashtirish natijasida A = ; holga keltiriladi. Quyidagi

A₁ = (A₁nA₂) [ (A₂nA₃) [ (A₃nA₄) [ : : :

va

A_N = (A_N nA_N+1) [ (A_N+1nA_N+2) [ (A_N+2nA_N+3) [ : : :

tengliklar o`rinli va qo`shiluvchi to`plamlar juft-jufti bilan o`zaro kesishmaydi. O`lchovning ¾¡ additivlik xossasiga ko`ra

_X1

	„(A1) =	„ (AnnAn+1) ;	(6:18)
	n=1
	1
	n^X	„ (AnnAn+1) :
	„(AN ) =		(6:19)
	=N		N ! 1 da
(6.18) qator yaqinlashuvchi bo`lgani uchun uning qoldig`i (6.19)
nolga intiladi. Shunday qilib,
	N!1
ketligi uchun	A =An bo`lsa, u holda

„(A) = lim „(A_n):

n!1
Natijani isbotlash uchun An to`plamlardan ularning to`ldiruvchilariga o`tish
va 6.9-teoremadan foydalanish yetarli.
6.3. Ayrim to`ldirishlar. Biz yuqorida faqat birlik kvadrat

23. 
    = f(x; y) : 0 • x • 1; 0 • y • 1g da saqlanuvchi to`plamlarni qaradik. Bu cheklashdan xalos bo`lish mumkin. Ma'lumki, R^{2 ni juft-jufti bilan o`zaro}
    

kesishmaydigan
E_mn = f(x; y) : m • x < m + 1; n • y < n + 1g

( m; n¡butun sonlar) kvadratlar yig`indisi ko`rinishida tasvirlash mumkin:

6.4. Ayrim umumlashtirishlar.

U(R²)

	X
„(A) =	„(Amn)	(6:20)

m;n2Z
qator yig`indisi A to`plamning Lebeg o`lchovi deyiladi.
Agar (6.20) qator yig`indisi chekli bo`lsa, A chekli o`lchovli to`plam deyila-
di. Aks holda A cheksiz o`lchovli to`plam deyiladi. Shuning uchun „ o`lchov
cheksiz qiymat ham qabul qilishi mumkin. O`lchov va o`lchovli to`plamlarning yuqorida o`rnatilgan barcha xossalari bu hol uchun ham o`rinli bo`ladi. Biroq 6.9-teoremada (6.18) qator yaqinlashuvchi bo`lishi uchun „(A<sub>1</sub>) < +1 shart-ni qo`shishimiz kerak bo`ladi. Takidlash lozimki, sanoqlita chekli o`lchovli to`plamlar yig`indisi cheksiz o`lchovga ega bo`lishi mumkin. Tekislikdagi bar-

cha o`lchovli to`plamlar sin ni bilan belgilaymiz.

Bu paragrafda tekislikdagi to`plamlar uchun Lebeg o`lchovining qurilish usulini bayon qildik. Sonlar o`qi R dagi va uch o`lchamli R<sup>3 fazodagi to`p-</sup>
lamlar uchun ham Lebeg o`lchovi shunga o`xshash usulda quriladi. Masalan sonlar o`qida o`lchov dastlab (a; b) intervallar, [a; b] kesmalar va [a; b);
(a; b] yarim intervallardan tashkil bo`lgan S_{1 yarim halqada, ularning uzun-}ligi sifatida aniqlanib, keyin S1 ni saqlovchi minimal halqaga davom ettirila-di. Undan keyin esa tekislikdagiga o`xshash usulda Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plamlardan iborat ¾ algebragacha davom ettiriladi. Aynan shunga o`xshash
usulda Lebeg o`lchovini istalgan n¡ o`lchamli Evklid fazosida ham qurish mumkin. Tekislikda Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plamlarni kiritish jarayoni-da odatdagi yuza ta'ri dan kelib chiqdik. Shunga o`xshash bir o`lchamli holda Lebeg o`lchovining kiritilishi interval (kesma, yarim interval) uzunligi tushun-chasiga asoslanadi.

singulyar o`lchov deyiladi.

Bizga sonlar o`qida aniqlangan kamaymaydigan o`ngdan uzluksiz F funk-siya berilgan bo`lsin. Interval, kesma va yarim intervallarga F funksiya yor-damida quyidagi sonlarni mos qo`yamiz:

m ((a; b)) = F (b ¡ 0) ¡ F (a); m ([a; b]) = F (b) ¡ F (a ¡ 0); m ((a; b]) = F (b) ¡ F (a); m ([a; b)) = F (b ¡ 0) ¡ F (a ¡ 0):

Ravshanki, bu usulda aniqlangan m interval (kesma va yarim interval) funk-

siyasi man ymas va additiv. Yarim halqada kiritilgan bu o`lchovga yuqorida-gidek mulohazalarni qo`llab, qandaydir „_F (¢) o`lchovni qurishimiz mumkin. Bunda „<sub>F</sub> o`lchovga nisbatan o`lchovli bo`lgan to`plamlarning U<sub>F sistemasi</sub> sanoqli yig`indi va sanoqli kesishmaga nisbatan yopiq bo`ladi, „<sub>F o`lchov</sub> esa ¾¡ additiv bo`ladi. Umuman olganda, „<sub>F o`lchovga nisbatan o`lchovli</sub> to`plamlar sin F funksiyaning tanlanishiga bog`liq. Ammo R da o`ngdan
uzluksis, kamaymaydigan istalgan F funksiya uchun ochiq va yopiq to`plamlar,
shuningdek, ularning istalgan sanoqli yig`indi va sanoqli kesishmalari o`lchovli to`plamlar bo`ladi. U yoki bu kamaymaydigan o`ngdan uzluksiz F funksiya

vositasida qurilgan „F		o`lchov Lebeg-Stiltes o`lchovi deyiladi.
Bizga Lebeg o`lchovi		„ va Lebeg-Stiltes o`lchovi „F berilgan bo`lsin.
6.7-ta'rif. Agar „(A) = 0 ekanligidan			„F (A) = 0 kelib chiqsa, „F ab-
solyut uzluksiz o`lchov deyiladi. Agar „F			o`lchov chekli yoki sanoqli qiymat
qabul qiluvchi	F funksiya yordamida aniqlansa, „F			diskret o`lchov deb ata-
ladi. Agar „F	o`lchovda istalgan bir nuqtali to`plam			0 o`lchovga ega bo`lsa

va Lebeg o`lchovi nolga teng bo`lgan biror A to`plam uchun „<sub>F</sub> (RnA) = 0 bo`lsa, u holda „_F

Ko`rsatish mumkinki, istalgan o`lchov absolyut uzluksiz, diskret va singul-yar o`lchovlar yig`indisi ko`rinishida tasvirlanadi va bu tasvir yagonadir.
6.5. O`lchovsiz to`plamning mavjudligi. Biz ko`rsatdikki, Lebeg ma'-nosida o`lchovli bo`lgan to`plamlar sin yetarlicha keng. Tabiiy ravishda Lebeg

ma'nosida o`lchovsiz to`plam mavjudmi? - degan savol paydo bo`ladi. Bu savol ijobiy yechilishini ko`rsatamiz. O`lchovsiz to`plamni qurishni sonlar o`qida amal-ga oshiramiz.

6.2-misol. Chegaralangan o`lchovsiz to`plamga misol keltiring. Yechish. Buning uchun [¡1; 1] kesmaning nuqtalari orasida ekvivalentlik
tushunchasini kiritamiz: agar x va y ning ayirmasi x¡y ratsional son bo`lsa, ular ekvivalent deyiladi. Bu munosabat ekvivalentlik munosabati bo`ladi. Shu-ning uchun [¡1; 1] kesma o`zaro ekvivalent bo`lgan elementlardan iborat
K(x); x 2 [¡1; 1] sinflarga ajraladi. Bunda turli sin ar o`zaro kesishmaydi.
Shunday qilib [¡1; 1] kesma o`zaro kesishmaydigan K(x); x 2 [¡1; 1] sinf-larga ajraldi. Endi bu sin arning har biridan bittadan element tanlab olib, bu tanlab olingan elementlar to`plamini A bilan belgilaymiz.
Bu A to`plamning o`lchovsiz ekanligini isbotlaymiz. [¡1; 1] kesmadagi barcha ratsional sonlar to`plamini nomerlab chiqamiz:
r₀ = 0; r₁; r₂; : : :

Ak bilan A to`plamni rk songa siljitishdan hosil bo`lgan to`plamni belgi-laymiz, ya'ni A<sub>k</sub> = A + r<sub>k</sub> = fy : y = x + r<sub>k</sub>; x 2 Ag : Xususan A<sub>0</sub> = A , Ak to`plam A to`plamdan rk ga siljitish orqali hosil qilingani uchun ular bir vaqtda yo o`lchovli, yo o`lchovsiz to`plamlar bo`ladi. Faraz qilaylik, A o`lchovli
to`plam bo`lsin. U holda uni r_k ga siljitishdan hosil bo`lgan A<sub>k to`plam ham</sub> o`lchovli bo`ladi va „(A_k) = „(A) tenglik o`rinli. Ravshanki,
[¹

[¡1; 1] ‰ A_k:

k=0
Bundan, o`lchovning yarim additivlik xossasiga asosan
2 = „([¡1; 1]) • „( A_k) = „(A) + „(A) + ¢ ¢ ¢ + „(A) + ¢ ¢ ¢ :

k=0

Xususan K(0) = 0; K(1) = 1 .
6.5. F (x) = 2x + 1 funksiya yordamida qurilgan „_F ¡ Lebeg-Stiltes o`lchovi absolyut uzluksiz o`lchov bo`ladi. Bu o`lchov bo`yicha A = (1; 5] to`plamning o`lchovini toping.

Yechish. Ta'rifga ko`ra

„_F(A)=F(5)¡F(1)=2¢5+1¡(2¢1+1)=11¡3=8:

funksiya yordamida qurilgan „_F ¡Lebeg-Stiltes o`lchovi diskret o`lchov bo`ladi. Isbotlang.

Isbot. Chunki F (x) = [x] funksiya monoton kamaymaydigan o`ngdan uzluksiz funksiya bo`lib, uning qiymatlar to`plami butun sonlar to`plami Z dan iborat. Butun sonlar to`plami esa sanoqli to`plamdir.

6.7. 6.6-misolda keltirilgan „_F ¡Lebeg-Stiltes o`lchov bo`yicha A = (1; 5] ^Sf7; 8g to`plamning o`lchovini toping.

Yechish. Hosil qilingan „_F ¡Lebeg-Stiltes o`lchovi bo`yicha ixtiyoriy n 2 Z nuqtaning o`lchovi birga teng. Chunki fng = [n; n] tenglik o`rinli bo`lgani uchun, ta'rifga ko`ra

„_F ([n; n]) = F (n) ¡ F (n ¡ 0) = n ¡ (n ¡ 1) = 1:

Demak, „_F (f7; 8g) = 2: Endi B = (1; 5] to`plamning o`lchovini topamiz.

„_F(B) = F(5) ¡ F(1) = 5 ¡ 1 = 4:

singulyar o`lchov ekanli-
Berilgan A to`plam o`zaro kesishmaydigan B va f7; 8g to`plamlarning bir-lashmasidan iborat. O`lchovning additivlik xossasiga ko`ra

„_F (A) = „_F (B) + „_F (f7; 8g) = 4 + 2 = 6:

Isbot. „_F ¡Lebeg-Stiltes o`lchovi bo`yicha ixtiyoriy a 2 R nuqtaning o`lchovi nolga teng. Chunki fag = [a; a] tenglik o`rinli bo`lgani uchun, ta'rif-ga ko`ra hamda K(x) ning uzluksizligidan „_F ([a; a]) = K(a) ¡ K(a ¡ 0) = 0:

Bundan tashqari A = (¡1; 0) ^S(1; 1) to`plamning o`lchovi ham nolga teng. Haqiqatan ham, o`lchovning additivlik xossasiga ko`ra

„_F (A) = „_F ((¡1; 0)) + „_F ((1; 1)) =

= K(0) ¡ a	lim	K(a) + alim K(a) ¡ K(1) = 0:	(6:21)
	!¡1	!1

Xulosa

Hosil qilingan xulosa sin arning tashkil qilinishiga zid, ya'ni tekislik bu belgi yordamida o`zaro kesishmaydigan sin arga ajralmaydi.

Endi to`plam elementlari qanday shartlarni qanoatlantiruvchi belgilar yor-damida o`zaro kesishmaydigan sin arga ajralishini qarab chiqamiz.
Biror M to`plam va uning o`zini-o`ziga dekart ko`paytmasi M£M berilgan

funksiyaning Φ o`zgarishi chegaralangan funksiya bo`yicha

Lebeg-Stiltes integralini hisoblash uchun Φ funksiyaning ikki kamaymaydigan funksiyalar ayirmasi ko`rinishidagi istalgan tasviridan foydalanish mumkin.

X metrik fazoda x₁; x₂; : : : ; x_n; : : : nuqtalar ketma-ketligi va x nuqta berilgan bo`lsin. Agar ixtiyoriy " > 0 uchun shunday n<sub>0 nomer</sub> mavjud bo`lib, barcha n > n₀ lar uchun x_n nuqta x ning O_" (x) atro - ga tegishli bo`lsa, u holda bu ketma-ketlik x nuqtaga yaqinlashadi deyiladi. Agar fx_ng ketma-ketlik x nuqtaga yaqinlashsa, u holda x nuqta fx_ng ketma-ketlikning limiti deyiladi.
Bu ta'rifni quyidagicha ham ifodalash mumkin.


Adabiyotlar :

1 Аюпов Ш.А., Ибрагимов М.М., Кудайбергенов К.К. Функционаллық анализден мисол ва масалалар, Нөкис, «Билим», 2009.

2 Ayupov Sh.A., Berdikulov M.A., Turgunbayev R.M. Funksional analiz. Toshkent, 2007.

3 Abdullaev J., Ganixojaev R.N., Shermatov M.H., Egamberdiev O.I. Funksional analiz, Toshkent, 2009.

4 Gorodetskiy V.V., Nagnibida N.I., Nastasiev P.P. Metody resheniya zadach po funksional'nomu analizu. M.: Vysshaya shokla, 1990.

5 Kantorovich L.V., Akilov G.P. Funksional'niy analiz. M.: Nauka, 1977.

6 Kirillov A.A., Gvishiani A.D. Teoremi i zadachi funksional'nogo analiza. M.: Nauka, 1979.

7 Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementi teoriy funksiy i funksional'nogo analiza. M: Nauka, 1977.

8 Kutateladze S.S. Osnovy funksional'nogo analiza. Novosibirsk, 2001.