Reja: Ratsional ko'rsatkichli daraja

Mavzu: Ratsional ko'rsatkichli daraja va uning xossalari . N-darajali ildiz n-darajali arifmetik ildiz
Reja:
1. Ratsional ko'rsatkichli daraja
2.Ratsional ko'rsatkichli daraja xossalari
3. N-darajali ildiz n-darajali arifmetik ildiz

Ratsional ko'rsatkich varianti bilan daraja 3. Raqam darajasi: ta'riflar, belgilash, misollar

a sonining butun ko'rsatkichlaridan ratsional ko'rsatkichga o'tish o'zini ko'rsatadi. Quyida biz ratsional darajali darajani aniqlaymiz va uni butun ko'rsatkichli darajaning barcha xossalari saqlanib qoladigan tarzda qilamiz. Bu zarur, chunki butun sonlar ratsional sonlarning bir qismidir.
Ma'lumki, ratsional sonlar to'plami butun va kasr sonlardan iborat bo'lib, har biri kasr son ijobiy yoki salbiy ifodalanishi mumkin oddiy kasr. Oldingi paragrafda biz darajani butun ko'rsatkich bilan aniqlagan edik, shuning uchun darajani ratsional ko'rsatkich bilan ta'riflashni yakunlash uchun biz sonning darajasiga ma'no berishimiz kerak. a kasr bilan m/n, qayerda m butun sondir va n- tabiiy. Keling buni bajaramiz.
Shaklning kasr ko'rsatkichi bilan darajani ko'rib chiqing. Darajadagi daraja xususiyati amalda qolishi uchun tenglik amal qilishi kerak . Agar natijada paydo bo'lgan tenglikni hisobga olsak va n-darajaning ildizini qanday aniqlagan bo'lsak, unda ma'lumotlar bilan birga qabul qilish mantiqan to'g'ri keladi. m, n Va a ifodasi mantiqiy.
Butun koʻrsatkichli darajaning barcha xossalari quyidagi kabilar uchun haqiqiyligini tekshirish oson (bu ratsional koʻrsatkichli daraja xossalari boʻlimida bajariladi).
Yuqoridagi mulohazalar bizga quyidagilarni qilish imkonini beradi chiqish: berilgan bo'lsa m, n Va a ifoda mantiqiy, keyin raqamning kuchi a kasr bilan m/n ildiz deb ataladi n ning darajasi a darajada m.

Ushbu bayonot bizni kasr ko'rsatkichli daraja ta'rifiga yaqinlashtiradi. Bu faqat nima ostida tasvirlash uchun qoladi m, n Va a ifodasi mantiqiy. O'rnatilgan cheklovlarga qarab m, n Va a ikkita asosiy yondashuv mavjud.

1. Eng oson yo'li - cheklash a, qabul qilish a≥0 ijobiy uchun m Va a>0 salbiy uchun m(chunki da m≤0 daraja 0 m aniqlanmagan). Keyin biz kasr ko'rsatkichi bilan darajaning quyidagi ta'rifini olamiz.
Ta'rif.
Ijobiy raqam darajasi a kasr bilan m/n , qayerda m bir butundir va n natural son bo‘lib, ildiz deyiladi n- orasidan a darajada m, ya'ni, .
Nolning kasr darajasi ham eksponent ijobiy bo'lishi kerak bo'lgan yagona ogohlantirish bilan aniqlanadi.
Ta'rif.
Kasr musbat darajali nolning kuchi m/n , qayerda m musbat butun son, va n deb belgilangan natural sondir .
Agar daraja aniqlanmagan bo'lsa, ya'ni kasr manfiy ko'rsatkichli nol sonining darajasi mantiqiy emas.
Shuni ta'kidlash kerakki, darajaning kasr ko'rsatkichi bilan bunday ta'rifi bilan bitta nuance mavjud: ba'zi bir salbiylar uchun a va ba'zilari m Va n ifoda mantiqiy va biz shartni kiritish orqali bu holatlardan voz kechdik a≥0. Masalan, yozish mantiqiy yoki , va yuqoridagi ta'rif bizni darajalarni shaklning kasr ko'rsatkichi bilan aytishga majbur qiladi ma'nosiz, chunki asos salbiy bo'lmasligi kerak.
2. Kasr ko'rsatkichi bilan darajani aniqlashning yana bir usuli m/n ildizning juft va toq koʻrsatkichlarini alohida koʻrib chiqishdan iborat. Bu yondashuv talab qiladi qo'shimcha shart: darajasi a, ko'rsatkichi kamaytirilgan oddiy kasr bo'lsa, sonning darajasi hisoblanadi a, uning indikatori mos keladigan qaytarilmas kasr (bu shartning ahamiyati quyida tushuntiriladi). Ya'ni, agar m/n qaytarilmas kasr, u holda har qanday natural son uchun k daraja oldindan bilan almashtiriladi.
Bir tekis uchun n va ijobiy m ifoda har qanday salbiy bo'lmagan uchun ma'noga ega a(salbiy sonning juft darajasining ildizi mantiqiy emas), manfiy bilan m raqam a hali ham noldan farq qilishi kerak (aks holda u nolga bo'linish bo'ladi). Va g'alati uchun n va ijobiy m raqam a har qanday bo'lishi mumkin (toq darajaning ildizi har qanday haqiqiy son uchun aniqlanadi) va salbiy uchun m raqam a noldan farq qilishi kerak (nolga bo'linmaslik uchun).
Yuqoridagi mulohaza bizni kasr ko'rsatkichi bilan darajaning shunday ta'rifiga olib keladi.
Ta'rif.
Bo'lsin m/n- qaytarilmas kasr m bir butundir va n- natural son. Har qanday kamaytiriladigan oddiy kasr uchun daraja ga almashtiriladi. Darajasi a qaytarilmas kasr ko'rsatkichi bilan m/n- bu uchun
o har qanday haqiqiy raqam a, butun son musbat m va g'alati tabiiy n, misol uchun, ;

o har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son a, manfiy butun son m va g'alati n, masalan, ;

o har qanday manfiy bo'lmagan son a, butun son musbat m va hatto n, misol uchun, ;
o har qanday ijobiy a, manfiy butun son m va hatto n, masalan, ;
o boshqa hollarda kasr ko'rsatkichli daraja aniqlanmaydi, masalan, darajalar aniqlanmaydi. .a yozuvlari biz hech qanday ma'no qo'shmaymiz, biz musbat kasr ko'rsatkichlari uchun nol darajasini aniqlaymiz m/n Qanday , manfiy kasr ko'rsatkichlari uchun nol sonining darajasi aniqlanmagan.
Ushbu bandni yakunlab, kasr ko'rsatkichini o'nli kasr yoki aralash son sifatida yozish mumkinligiga e'tibor qarataylik, masalan, . Ushbu turdagi ifodalarning qiymatlarini hisoblash uchun siz ko'rsatkichni oddiy kasr sifatida yozishingiz kerak, keyin esa kasr ko'rsatkichi bilan daraja ta'rifidan foydalaning.
Raqamning darajasi aniqlangandan so'ng, bu haqda gapirish mantiqan to'g'ri keladi daraja xususiyatlari. Ushbu maqolada biz barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalib, son darajasining asosiy xususiyatlarini beramiz. Bu erda biz darajaning barcha xossalarini isbotlaymiz, shuningdek, misollarni echishda bu xususiyatlar qanday qo'llanilishini ko'rsatamiz
Tabiiy ko'rsatkichlar bilan darajalarning xossalari

Tabiiy ko'rsatkichli kuchning ta'rifiga ko'ra, n ning kuchi har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotidir. Ushbu ta'rifga asoslanib, va foydalanish ko'paytirish xususiyatlari haqiqiy raqamlar , biz quyidagilarni olishimiz va asoslashimiz mumkin natural ko'rsatkichli daraja xossalari:

a m ·a n =a m+n darajaning asosiy xossasi, uni umumlashtirish;bir xil asosli qisman darajalar xossasi a m:a n =a m−n ;mahsulot darajasi xossasi (a b) n =a n b n, uning kengayishi;natura bo'yicha ko'rsatkich xususiyati (a:b) n =a n:b n ;daraja (a m) n =a m n, uning umumlashtirilishi (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;darajani nolga solishtirish:agar a>0 bo'lsa, har qanday natural n uchun a n >0;a=0 bo'lsa, a n =0 ;agar a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 agar a<0 и показатель степени есть toq raqam 2 m−1 , keyin esa 2 m−1<0 ;a va b musbat sonlar bo'lsa va a0 a m >a n tengsizlik rost.
bir xil belgilangan sharoitlarda va ularning o'ng va chap qismlarini almashtirish mumkin. Masalan, a m a n = a m + n bilan kasrning asosiy xossasi ifodalarni soddalashtirish ko‘pincha a m+n = a m a n shaklida qo‘llaniladi.
Endi ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.
Keling, bir xil asoslarga ega bo'lgan ikki daraja ko'paytmasining xususiyatidan boshlaylik, bu deyiladi darajaning asosiy xususiyati: har qanday haqiqiy a soni va har qanday natural m va n sonlar uchun a m ·a n =a m+n tengligi to‘g‘ri bo‘ladi.

Keling, darajaning asosiy xususiyatini isbotlaylik. Tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra, a m a n ko'rinishdagi bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalar mahsulotini ko'paytma sifatida yozish mumkin. Ko'paytirishning xossalari tufayli hosil bo'lgan ifodani quyidagicha yozish mumkin , va bu ko'paytma tabiiy ko'rsatkichli m+n, ya'ni m+n ning kuchidir. Bu dalilni to'ldiradi.

Keling, darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlovchi misol keltiramiz. Bir xil asoslar 2 va natural darajalar 2 va 3 bo'lgan darajalarni olaylik, darajaning asosiy xususiyatiga ko'ra 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 tengligini yozishimiz mumkin. Keling, uning haqiqiyligini tekshirib ko'ramiz, buning uchun biz 2 2 · 2 3 va 2 5 ifodalarning qiymatlarini hisoblaymiz. Eksponentsiyani bajaramiz, bizda bor 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 va 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, chunki teng qiymatlar olinganligi sababli, 2 2 2 3 \u003d 2 5 tengligi to'g'ri va u darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlaydi.
Ko'paytirishning xossalariga asoslangan darajaning asosiy xossasi bir xil asoslar va tabiiy ko'rsatkichlarga ega bo'lgan uch yoki undan ortiq darajalarning mahsulotiga umumlashtirilishi mumkin. Demak, n 1, n 2, …, n k natural sonlarning istalgan k soni uchun tenglik a n 1 a n 2 a n k =a n 12 +…+n k.
Misol uchun, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Tabiiy ko'rsatkich bilan darajalarning keyingi xususiyatiga o'tishingiz mumkin - bir xil asoslarga ega bo'lgan qisman vakolatlarning mulki: har qanday nolga teng boʻlmagan haqiqiy son va m>n shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural m va n sonlar uchun a m:a n =a m−n tenglik toʻgʻri boʻladi.
Ushbu mulkning isbotini berishdan oldin, keling, bayonotdagi qo'shimcha shartlarning ma'nosini muhokama qilaylik. a≠0 sharti nolga boʻlinmaslik uchun zarur, chunki 0 n =0 va boʻlinish bilan tanishganimizda nolga boʻlinib boʻlmaydi degan fikrga keldik. Tabiiy ko'rsatkichlardan tashqariga chiqmaslik uchun m>n sharti kiritilgan. Darhaqiqat, m>n uchun ko'rsatkich a m−n bo'ladi natural son, aks holda u nol bo'ladi (bu m − n bo'lganda sodir bo'ladi) yoki manfiy son (bu m bo'lganda sodir bo'ladi)
Isbot. Kasrning asosiy xossasi tenglikni yozishga imkon beradi a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Olingan tenglikdan a m−n ·a n =a m va undan kelib chiqadiki, a m−n a m va a n darajalar qismidir. Bu bir xil asoslarga ega bo'lgan qisman kuchlarning xususiyatini isbotlaydi.
Keling, bir misol keltiraylik. Asoslari bir xil p va natural ko‘rsatkichlari 5 va 2 bo‘lgan ikkita darajani olaylik, darajaning ko‘rib chiqilayotgan xossasi p 5 tengligiga mos keladi: p 2 = p 5−3 = p 3.
Endi o'ylab ko'ring mahsulot darajasi xususiyati: har qanday ikkita haqiqiy a va b sonlar koʻpaytmasining n natural darajasi a n va b n darajalar koʻpaytmasiga teng, yaʼni (a b) n =a n b n.
Darhaqiqat, tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra, biz bor . Ko'paytirishning xususiyatlariga asoslangan oxirgi mahsulot sifatida qayta yozilishi mumkin , bu a n b n ga teng.
Mana bir misol: .

Bu xususiyat uch yoki undan ortiq omillar mahsuloti darajasiga qadar tarqaladi. Ya'ni, k omil ko'paytmasining n tabiiy kuch xossasi quyidagicha yoziladi (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

Aniqlik uchun biz ushbu xususiyatni misol bilan ko'rsatamiz. Uch omilning 7ning kuchiga ko'paytmasi uchun bizda mavjud.
Keyingi mulk tabiiy mulk: a va b , b≠0 haqiqiy sonlarning n natural darajaga bo‘lgan qismi a n va b n darajalarning ko‘rsatkichiga teng, ya’ni (a:b) n =a n:b n .
Tasdiqlash avvalgi xususiyat yordamida amalga oshirilishi mumkin. Shunday qilib (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, va (a:b) n b n =a n tengligi (a:b) n a n ning b n ga bo‘lingan qismi ekanligini bildiradi.
Keling, ushbu xususiyatni aniq raqamlar misolidan foydalanib yozamiz: .
Endi ovoz beramiz eksponentatsiya xossasi: har qanday haqiqiy a soni va har qanday natural sonlar m va n uchun a m ning n darajali darajasi m·n darajali a ning kuchiga teng, ya’ni (a m) n =a m·n .
Masalan, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .
Darajada quvvat xususiyatining isboti quyidagi tenglik zanjiri hisoblanadi: .
Ko'rib chiqilgan xususiyat daraja ichida darajaga qadar kengaytirilishi mumkin va hokazo. Masalan, p, q, r va s har qanday natural sonlar uchun tenglik . Aniqroq bo'lishi uchun ma'lum raqamlarga misol keltiramiz: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Darajani tabiiy ko'rsatkich bilan taqqoslash xususiyatlariga to'xtalib o'tish kerak.

Biz nol va kuchning taqqoslash xususiyatini tabiiy ko'rsatkich bilan isbotlashdan boshlaymiz.
Birinchidan, har qanday a>0 uchun a n >0 ekanligini asoslaylik.
Ikki musbat sonning mahsuloti ko'paytirishning ta'rifidan kelib chiqqan holda musbat sondir. Bu haqiqat va ko'paytirishning xususiyatlari bizga ijobiy sonlarning istalgan sonini ko'paytirish natijasi ham ijobiy son bo'lishini ta'kidlashga imkon beradi. Tabiiy ko‘rsatkichi n bo‘lgan a ning kuchi esa, ta’rifiga ko‘ra, har biri a ga teng bo‘lgan n ta omilning mahsulotidir. Bu argumentlar har qanday musbat a asosi uchun n ning darajasi musbat son ekanligini ta’kidlash imkonini beradi. Tasdiqlangan xususiyatga ko'ra 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 va .
Ko'rinib turibdiki, a=0 bo'lgan har qanday natural n uchun n ning darajasi nolga teng. Haqiqatan ham, 0 n =0·0·…·0=0 . Masalan, 0 3 =0 va 0 762 =0 .
Keling, salbiy asoslarga o'taylik.
Keling, ko'rsatkich juft son bo'lgan holatdan boshlaylik, uni 2 m deb belgilaymiz, bu erda m - natural son. Keyin . a·a ko`rinishdagi mahsulotlarning har biri uchun a va a sonlari modullarining ko`paytmasiga teng, shuning uchun musbat son hisoblanadi. Shuning uchun mahsulot ham ijobiy bo'ladi. va darajasi a 2 m. Mana misollar: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 va .

Nihoyat, a ning asosi manfiy son va ko‘rsatkichi toq son 2 m−1 bo‘lsa, u holda . Barcha a·a ko'paytmalari musbat sonlar bo'lib, bu musbat sonlarning ko'paytmasi ham musbat bo'lib, uni qolgan manfiy a soniga ko'paytirish manfiy songa olib keladi. Bu xususiyat tufayli (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Biz darajalarni bir xil tabiiy ko'rsatkichlar bilan taqqoslash xususiyatiga murojaat qilamiz, u quyidagi formulaga ega: bir xil tabiiy ko'rsatkichlarga ega bo'lgan ikki daraja, n asosi kichik bo'lganidan kichik va asosi katta bo'lganidan ko'p. Keling, buni isbotlaylik.
Tengsizlik a n (2,2) 7 va .
Tabiiy ko'rsatkichlar bilan kuchlarning oxirgi sanab o'tilgan xususiyatlarini isbotlash uchun qoladi. Keling, uni shakllantiramiz. Tabiiy ko'rsatkichlari va bir xil musbat asoslarga ega bo'lgan ikkita darajadan birdan kam bo'lgan daraja kattaroq, ko'rsatkichi kamroq; va tabiiy ko'rsatkichlari va bir xil asoslari birdan katta bo'lgan ikki darajaning darajasi kattaroq, ko'rsatkichi kattaroqdir. Biz ushbu mulkning isbotiga murojaat qilamiz.
m>n va 0 uchun buni isbotlaylik m>n boshlang'ich sharti tufayli 0, shundan kelib chiqadiki, 0 da
Mulkning ikkinchi qismini isbotlash uchun qoladi. m>n va a>1 uchun a m >a n haqiqat ekanligini isbotlaylik. Qavs ichidan a n olingandan keyin a m −a n farqi a n ·(a m−n −1) ko‘rinishini oladi. Bu ko'paytma ijobiy, chunki a>1 uchun an darajasi musbat son, am−n−1 farqi esa musbat son, chunki boshlang'ich shartga ko'ra m−n>0, a>1 uchun esa am−n darajasi bir dan katta. Demak, isbotlanishi kerak bo'lgan a m - a n >0 va a m >a n. Bu xossa 3 7 >3 2 tengsizlik bilan tasvirlangan.
Butun sonli darajalar xossalari
Musbat butun sonlar natural sonlar ekan, u holda musbat butun darajali darajalarning barcha xossalari avvalgi xatboshida sanab o‘tilgan va isbotlangan natural ko‘rsatkichli darajalarning xossalariga to‘liq mos keladi.
Manfiy butun koʻrsatkichli darajani, shuningdek, nol koʻrsatkichli darajani shunday aniqladikki, tenglik bilan ifodalangan natural koʻrsatkichli darajalarning barcha xossalari oʻz kuchida qoladi. Demak, bu xossalarning barchasi nol darajalar uchun ham, manfiy darajalar uchun ham amal qiladi, albatta, darajalar asoslari nolga teng emas.
Demak, har qanday haqiqiy va nolga teng bo‘lmagan a va b sonlar, shuningdek, m va n butun sonlar uchun quyidagilar to‘g‘ri bo‘ladi. darajalarning butun ko‘rsatkichli xossalari:
a m a n \u003d a m + n;a m: a n = a m−n ;(a b) n = a n b n;(a:b) n =a n:b n ;(a m) n = a m n;agar n musbat butun son bo'lsa, a va b musbat sonlar va a b-n;agar m va n butun sonlar va m>n bo'lsa, u holda 0 da 1 a m >a n tengsizlik bajariladi.
a=0 uchun a m va a n darajalar faqat m va n musbat butun sonlar, ya’ni natural sonlar bo‘lgandagina ma’noga ega bo‘ladi. Shunday qilib, hozirgina yozilgan xossalar a=0 va m va n sonlar musbat sonlar bo'lgan holatlar uchun ham amal qiladi.
Bu xossalarning har birini isbotlash qiyin emas, buning uchun natural va butun ko'rsatkichli daraja ta'riflaridan hamda haqiqiy sonlar bilan amallar xossalaridan foydalanish kifoya. Misol tariqasida, quvvat xossasi musbat butun sonlar uchun ham, nomusbat butun sonlar uchun ham amal qilishini isbotlaylik. Buning uchun p nol yoki natural son va q nol yoki natural son bo'lsa, u holda (ap) q =ap q , (a −p) q =a (−p) q ekanligini ko'rsatishimiz kerak. , (ap ) −q =ap (−q) va (a−p)−q =a (−p) (−q). Keling buni bajaramiz.
Musbat p va q uchun (a p) q =a p·q tengligi oldingi kichik bo'limda isbotlangan. Agar p=0 bo'lsa, bizda (a 0) q =1 q =1 va a 0 q =a 0 =1 ga ega bo'lamiz, bundan (a 0) q =a 0 q . Xuddi shunday, agar q=0 bo'lsa, u holda (a p) 0 =1 va a p 0 =a 0 =1 , bundan (a p) 0 =a p 0 bo'ladi. Agar ikkala p=0 va q=0 bo'lsa, u holda (a 0) 0 =1 0 =1 va a 0 0 =a 0 =1 , bundan (a 0) 0 =a 0 0 .
Endi (a −p) q =a (−p) q ekanligini isbotlaylik. Salbiy butun ko'rsatkichli daraja ta'rifi bo'yicha, keyin . Darajada qismning xususiyatiga ko'ra, bizda mavjud . Chunki 1 p =1·1·…·1=1 va , u holda . Oxirgi ifoda, ta'rifiga ko'ra, a -(p q) ko'rinishining kuchi bo'lib, uni ko'paytirish qoidalariga ko'ra (−p) q shaklida yozish mumkin.
Xuddi shunday .
Xuddi shu printsipga ko'ra, siz darajaning boshqa barcha xususiyatlarini tenglik shaklida yozilgan butun ko'rsatkich bilan isbotlashingiz mumkin.
Yozilgan xususiyatlarning oxirgi qismida a −n >b −n tengsizlikning isbotiga to‘xtalib o‘tish joiz, bu har qanday manfiy butun −n son va a sharti bo‘lgan har qanday musbat a va b uchun to‘g‘ri keladi. 0 . a n ·b n ko'paytma ham a n va b n musbat sonlarning ko'paytmasi sifatida musbat bo'ladi. Keyin olingan kasr b n - a n va a n b n musbat sonlar bo'limi sifatida musbat bo'ladi. Demak, isbotlanishi kerak bo'lgan a −n >b −n qaerdan kelib chiqqan.
Butun darajali darajalarning oxirgi xossasi tabiiy darajali darajalarning oʻxshash xossasi kabi isbotlanadi.
Ratsional darajali darajalar xossalari
Biz darajani kasr ko'rsatkichi bilan aniqladik, unga butun sonli darajaning xususiyatlarini kengaytirdik. Boshqacha qilib aytganda, kasr darajali darajalar butun darajali darajalar bilan bir xil xususiyatlarga ega. Aynan:
Kasr ko'rsatkichli darajalarning xossalarini isbotlash kasr ko'rsatkichli darajani, butun ko'rsatkichli darajani va xususiyatlariga asoslanadi. Keling, dalil keltiraylik.
Kasr ko'rsatkichi bilan darajaning ta'rifi bo'yicha va , keyin . Arifmetik ildizning xossalari quyidagi tengliklarni yozish imkonini beradi. Bundan tashqari, butun ko'rsatkichli daraja xususiyatidan foydalanib, biz ni olamiz, bu erdan, kasr ko'rsatkichli darajani aniqlash orqali, biz , va olingan darajaning ko'rsatkichi quyidagicha o'zgartirilishi mumkin: . Bu dalilni to'ldiradi.
Kasr ko'rsatkichli darajalarning ikkinchi xossasi xuddi shunday isbotlangan
Qolgan tengliklar shunga o'xshash printsiplar bilan isbotlangan:
Biz keyingi mulkning isbotiga murojaat qilamiz. Har qanday musbat a va b , a uchun ekanligini isbotlaylik ratsional son p sifatida m/n , bu yerda m butun son va n natural son. Shartlar p<0 и p>0 bu holda m shartlariga ekvivalent bo'ladi<0 и m>mos ravishda 0. m>0 va a uchun
Ro'yxatga olingan xususiyatlarning oxirgisini isbotlash uchun qoladi. p va q ratsional sonlar uchun 0 uchun p>q ekanligini isbotlaylik 0 – a p >a q tengsizlik. Biz har doim p va q ratsional sonlarini umumiy maxrajga keltira olamiz, oddiy kasrlarni olamiz va bu erda m 1 va m 2 butun sonlar, n esa natural sondir. Bunda p>q sharti dan kelib chiqadigan m 1 >m 2 shartga mos keladi. Keyin, 0 da bir xil asoslar va natural ko'rsatkichlar bilan kuchlarni solishtirish xususiyatiga ko'ra 1 – a m 1 >a m 2 tengsizlik. Ildizlarning xususiyatlari bo'yicha bu tengsizliklar, o'z navbatida, qayta yozilishi mumkin Va . Va ratsional ko'rsatkichli darajaning ta'rifi mos ravishda tengsizliklarga o'tishga imkon beradi. Bundan biz yakuniy xulosa chiqaramiz: p>q va 0 uchun 0 – a p >a q tengsizlik.
Irratsional darajali darajalarning xossalari
Irratsional ko'rsatkichli daraja qanday aniqlanganidan xulosa qilish mumkinki, u ratsional darajali darajalarning barcha xususiyatlariga ega. Shunday qilib, har qanday a>0, b>0 va p va q irratsional sonlar uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi bilan darajalarning xossalari irratsional ko'rsatkichlar :
a p a q = a p + q;a p:a q = a p−q ;(a b) p = a p b p;(a:b) p =a p:b p;(a p) q = a p q;har qanday musbat sonlar uchun a va b , a 0 tengsizlik a p 0 – a p >a q tengsizlik.

Adabiyotlar ro'yxati.

1. Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5 sinf uchun matematika darslik.
2. Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 7 sinf uchun darslik.
3 . Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8 uchun darslik. ta'lim muassasalari.
4. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 9 hujayra uchun darslik
5. .Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.