Reja: Tasodifiy xato xususîyatlarà

MAVZU :O’LCHASH XATOLAR NAZARIYASI XAQIDA BOSHLANG’ICH MA’LUMOT.
REJA:

1. 
   Tasodifiy xato xususîyatlarà
   
2. 
   Bevosita o(lchash natijalari funksiyasining o*rta kvadratik xatosi
   

O’Lchash va o(lchash xatolari O'lchashlar ikki xil ya’ni bevosita (vositasiz) va bavosila 1 vi»Niliili)o'lchashlarga bo‘linadi. *«'liurlcN D.Ghilani, Paul R. Wolf. “Elementary Surveying”. 2012. I itfjlnerlng Surveying . W.Schofield. 2007 Bevosita oichashda oichov birligi hisoblanuvchi asbob oichanayotgan obyektga taqqoslanadi. Masalan, joyda masofani poiat lenta (ruletka) bilan, burchakni teodolit bilan oichash, qog‘ozda chiziq uzunligini chizgich bilan, burchakni transporté bilan oichash bevosita oichash boiib hisoblanadi. Bavosita oichashda obyekt bevosita oichanmasdan. uning kattaligini boshqa bevosita oichagan kattaliklar natijalaridan foydalanib aniqlanadi. Masalan, uchburchakning oichangan tomon uzuiiliklaridan foydalanib, kosinuslar teoremasi yordamida burchaklami hisobJab topish mumkin. Oichashlarda natijaga to‘rtta asosiy omillar ta’sir etishi mumkin: • ijrochini mala/casi; ® qo '¡lanayotgan asbobni aniqlik darajasi; • o'ichcish sharoiti; • o ‘Ichash metodikasi. Bir xil malakali ishchilar tomonidan, bir xil aniqlikdagi asbob bilan, bir xil usulda va sharoitda bajarilgan oichash teng aniqlikdagi oichash boiadi. Bu shartlardan birontasi o‘zgarsa, teng emas aniqiikda oichash boiadi. Amaliy tajribalar shuni ko‘satadiki, oichash natijalariga xato ta’sir etadi. Xatoni aniqlashda quyidagi ifoda o‘rinlidir: A = ¿ - X, ( 7.1). bunda l - obyektni oichash natijasi, X - natijani haqiqiy qiymati, A-ular orasidagi farq, ya’ni xato qi>Tnati. Ya’ni o ‘Ichash xatosi debf qiymati aniqlanayotgan kattalikni o'ichash natijasidan ushbu kattaürcning aniq (haqiqiy) qiymatini farqi tushuniladi. Geodezik oichashlarda (hisoblashlarda) natija ishonchligini oshirish uchun oichashlar soni ko‘paytiriladi. Agarda obyekt (h ) marta oichangan boisa, oichash natijalari , llf l2 ... ln, boiadi va xatolar qatori Alf Az, A3, ..., An hosil boiadi. Kelib chiqish sabablariga ko‘ra oichash natijalariga qo‘pol. muntazam (sistematik) va tasodifiy xatolar ta’sir etadi. Qo*pol xato. Oichash yoki hisoblash vaqtida yanglishish, oichash ishini bajarayotgan kishining parishonxotirligi, oichash 88 asbobini nosozligi qo‘pol xatoga olib keladi. Qo‘pol xatoni aniqlash uchun har qanday oichash kamida ikki rnarta bajariladi, hisoblashda albatta nazorat hisobi amalga osbiriladi. Muntazam (sistematik) xato. Biror obyektni oichaganda bir xi! ishora bilan yoki maium bir qonuniyat bilan takrorianadigan xatolik muntazam xatolik deyiladi. Muntazam xato o‘lchashlarda bir xil ishora va qiymat bilan takrorlanib turuvchi xato boiib, u oichashlardagi uchta asosiy omillar ta’sirida yuzaga kelishi mumkin: ijrochini malakasi, qoilanayotgan asbobni aniqlik darajasi, o‘lchash sharoiti va oichash metodikasidan. Bu omillardan sezilarlisi ishlatilayotgan asbob xatosi bo‘lib, u asbobidagi oichov étalon qiymatini notokg‘ri ko‘rsatilishi tarzida hosil bo‘ladi. Muntazam xatolik oichash natijasiga tuzatma kiritish orqali tuzatiladi. Tasodifiy xato. Oichash jarayonida tasodifiy xato ro‘y beishi. muqarrar, oichash vaqtida uni e’tiborga olib bo‘lmaydi. Tasodifiy xatoni kaitaligi, ishorasi awaldan ma’lum boimaydi, katta miqdorda oichashni bajarish natijasida tasodifiy xatolar qonuniyatini aniqlash mumkin. Tasodifiy xatolar ko‘pchilik holda ehtimollar nazariyasini qonuniyatlariga bo‘ysunadi. 7.5. Tasodifiy xato xususîyatlarà Tasodifiy xatolar quyidagi to‘rtta asosiy xususiyatlarga ega elcanligi aniqlangan: 1. Cheklanganlik xususiyati: tasodifiy xatolar malum bir chegaraviy kattalik Àchek dan, ya’ni cheklik xatolikdan oshmaydi: |Aj < Achek. (7.2) 2. Nolga nisbatan simmetrikiik xususiyati: absolyut qiymati jihatidan teng, manfiy va musbat ishorali xatolami uchrash ehtimoli teng; 3. Kompensatsiyaîamsh xususiyati: oichashlar sonini orttirib borish biîan tasodifiy xatolami o‘rta arifinetik miqdori nolga intiladi: 89 ( Ai + A 2 + *” + A n ) M л lim -------------------------- = lim — = 0, ( 7.3) 71-»со 71 П-»oo Я bunda, n - o‘lchashlar soni (yig‘indisi olinayotgan xatolar soni); [ ] - Gauss tomonidan kiritilgan yig‘indi belgisi, matematikada 2; 4. Zichlik xususiyaii: absolyut qiymati kichik xatolar absolyut qiymati katta xatolardan ko‘p uchraydi va aksincha. 7.6, Natijalar aniqligiga baho berish 0 ‘lchash natijasini o‘lchanayotgan kattalikning haqiqiy o‘lchamiga qay darajada yaqinligi, ya’ni oichash sifatiga o‘ lchash aniqligi deyiladi. Geodeziyada biror kattalikni o‘lchash yoki hisoblash natijasi va ushbu kattalikni nazariy qiymati orasidagi farqga bog‘lanmaslik xaiosi deb ataladi. Bog 'lanmaslik xatosini tarqatish va amalda aniqlangan kattalikning tuzatilgan qiymatini hisoblash jaroyotiiga о ‘Ichash natijalarini tenglashtirish deyiladi. Tenglashtirish bajarib bo‘lingach, olingan natijalar aniqligiga baho berish bajariladi. Geodeziyada aniqlikga baho berish о4 Ichash natijalari bilan bir qatorda hisoblash natijalari uchun ham o'rinlidir. Geodezik oichashlar nazariyasida umumiy о Ichashlar (n), ortiqcha о ‘Ichashlar (n — 1) va zamriy о 'Ichashlar mavjud. Umumiy o‘lchashlar soni kamida 2ta boiadi. zamriy о'Ichashlar soni 1 bo rlib, u orqali o‘lchanayotgan katalikning taqribiy kattaligini bilish mumkin. Natijalar aniqligiga baho berishda quyidagi ko‘rsatgichlardan foydalanish mumkin: • О ‘rtacha arifinetik miqdor • о ‘rtacha xato • ehtimoliy xato • о ‘rtacha kvadratik xato • chekli xato • nisbiyxato • kattalik vazni 90 О ‘rtacha arifmetik miqdor. Haqiqiy kattaîigi X boigan obyekt n martaba teng aniqlikda oichanib, llt l2 ... ln, natijalar olingan bo'lsin ( 1) asosida yozishimiz mumkin: A ^ k - X A2= l2 - X K = ln ~ X Olng va chap tomonlar yig‘indisini olamiz, unda bundan I Х = Щ _ Ш n n ’ Oichashlar soni chegaralangan boiganligi uchun quyidagini yozamiz: X = ^ , « (7,4) n ■ jfl blinda, X o‘rtacha arifinetik miqdor. O'ichanayotgan obyektni haqiqiy kattaligi ko‘p xollarda типа ’lum bo 'ladi va uni о ‘Ichash natijalarining о ‘rtacha arifinetik miqdori bilan almashtirishimiz mumkin bo‘ladi. О‘Ichash natijalarini ularning o‘rtacha arifmetik miqdoridan l.irqi о 'rtacha arifmetikdan chetlashish yoki ehtimotiy xato i leyiladi: | | | * | ^2 = h ~~ x (7.5) (7.5) ni o‘ng va chap iomonini qo‘shsak: m = [ i ] - n x bu tenglikni o‘ng va chap tomonini n ga bo'lamiz, unda O*rtacha xato. Xatolami absolyut miqdorini o‘rtacha arifmetik miqdoriga (»‘ rtacha xato deyiladi, haqiqiy tasodifiy xato uchun: o ~ lAi 1+ №2\ + ••• + iAni _ [|A|] ^ 7 g* n n 91 Ehtimoliy xatolik uchun: 'p.. P t l+ № ! + •••+ K .I [W ] _ n n y 0 ‘rtacha kvadratik xato. Geodezik o‘lchash natijalariga baxo berishda o ‘Ichashning o ‘rta kvadratik xatosi (m) asosiy ko ‘rsatgichlardan biri hisoblanadi. 0 ‘lchashlar teng aniqlikda yoki teng emas aniqlikda bajarilishini inobatga olgan holda ikki xil yondashuv mavjuddir. Teng aniqlikdagi o‘lchashlami o ‘rta kvadratik xato (b‘.kv.x.) si Gauss fomiulasi bilan hisoblanadi: . A? + Al + - + AS ([A2] --------~=±J i r - ™ Teng emas aniqlikdagi o‘îchashîar o‘.kv.x. si Bessel formulasi bilan hisoblanadi: I W z] m = ± P ----- W L ------ I = ± U — (7.9) yj n - 1 - 1 banda /i-oichashlar soni, (n — l)-ortiqcha o‘lchashlar soni, [i92]-ehtimoliy xato kvadratlari yig4indisi. Chekli xato. Tasodifiy xatolar belgilangan miqdordan (à chek) chekdan oshmasligi kerak, aks holda bu qo'pol xato hisoblanadi.. Ehtimollar nazariyasiga ko‘ra, normal sharoitda obyektni 1000- marta oichaganda, xato haqiqatdan tasodifiy bo‘lsa, faqat 3 ta xatolik o‘rtacha kvadratik xatoning o‘lchanganidan katta bo'lishi mumkin ekan, shu sababli o‘rtacha kvadratik xatoning uchlangan qiymati chekli xato deb qabul qilinadi: Açhek= ±3 m . ( 7.10) 0 ‘lchash natijalarining sifatiga katta talab qo‘yilganda chekli xato qilib o‘rtacha kvadratik xatoning ikkilangan miqdori qabul qilinadi: ^chek~ ± 2 m . (7.11) 0 ‘rta kvadratik xato Achek dan katta bo'lsa, o‘lchash qoriiqarsiz hisoblanadi. 92 Nisbiy xato. 0 ‘rtacha kvadratik xato, o‘rtacha xatolik, haqiqiy yoki ehtimoliy xatolar o‘lchashlar sifatini to‘liq ifodalamaydi. M¡soi uchun, Lx = 215 m masofa m1 = ±0,15 m o'rtacha kvadratik xato bilan; h2 ~ 125 m masofa m2 = ±0,10 m o‘rtacha kvadratik xato bilan o‘lchangan bo‘lsin, m2 < m1 bo'lganligi uchun birinchi qarashda L2 masofa aniq oichangan degan fikr keladi, agarda xatoni o‘lchangan kattalik qiymatiga bo‘lsak, nisbiy xatolik kelib chiqadi. Nisbiy xatolik surati birga teng ho'lgan kasr ko‘rinishida yoziladi. ( ) ‘ rtacha kvadratik nisbiy xato: m m:m 1 1 L L :m (L:m ) N O'rtacha arifmetik nisbiy xato: e e.e i i ( 7.12) ( 7.13) L L (L: 9) N M ¡solda keltirilgan oichash uchun (7.12) asosida: jv 0 .1 5 M _ 0 .1 5 :0 .1 5 _ 1 ' 2 1 5 m ~ 2 1 5 :0 .1 5 _ 1433' 0 .1 0 m _ 0 .1 0 :0 .1 0 _ 1 ' 1 2 5 m ~ 1 2 5 :0 .1 0 ~~ 1 2 5 0 ’ demak, m1 > m2 bo‘lishiga qaramasdan birinchi irmsofa aniq o‘lchangan. 0 ‘lchash vazni tushunchasi teng emas aniqlikda o‘lchash n.ilijaiariga ishlov berish uchun kiritilgan. Vazn o‘lchash iiiilijalarini ishonchliligini ifodalaydi. Vazni katta boigan o'ichash natijasiga ishonch ham katta bo‘ladi. ()‘i tacha kvadratik xatoni kvadratiga teskari proportsional ho'lgan kattalik o'ichash vazni deb olinadi, ya’ni Ùtm ■ ( 7 - 1 4 ) bundü C - hisoblash ishlari uchun qulay qilib tanlab olinadigan (loirniy knllulik. Bir 0‘lchash natijasining vaznini p bilan, xuddi shunday n ta o'ichash nalijalarining o‘rtacha arifmetik miqdorini vaznini P bilan bclgilaymiz, unda ular nisbati 93 (7.15) Bu formula vazn biriligi xatosini hisoblash formulasi bo‘lib, undan teng emas aniqlikda oichash natijasini baholashda foydalaniladi. Umumiy oitacha arifmetik qiymatni o‘rtacha kvadratik xatosi quyidagi formula yordamida hisoblanadi : Biron bir geodezik masalani yechishda bevosita oichash natijalarini argument, natijani esa maiematik funksiya tarzida ko ‘rsa bo ‘ladi. Bunda yechiladigan masalani shartiga ko‘ra turli ko‘rinishdagi funksiyalar yuzaga keladi. 1) 0 ‘lchangan kattalikni doimiy ko‘paytmaga (koefitsentga) ko ‘paytirish natijasini o ‘rta kvadratik xatosi. Bunday holda naíija quyi ko'rinishdagi funksiya ko‘rinishida Tasodifíy haqiqiy A xatolar uchun (7.15) formula quyidagi ko'rinishda boiadi: p = * 'yj n (7.16) Ehtimoliy i9 xatolar uchun: (7.17) (7.18) (7.18) ni (7.17) asosida yozishimiz mumkin: •Лр! Vp (7.19) 7.7. Bevosita o(lchash natijalari funksiyasining o*rta kvadratik xatosi boiad u = k - X, (7.20 ) 94 Hunda k - xatosiz doimiy qiymat (koefitsent), x - o'lchash nati/asi (argument). Funktsiya o‘rta kvadratik xatosini rr^ orqali, argument o‘rta kvadratik xatosini mx orqali ifodalasak, quyidagi ifodaga ega bo* tamiz: mu = k • mx . (7.21) 2) O ‘¡changan kattaliklarning algebraik yig'indisini o'rta l< vadratik xatosi. Natija quyi kó‘rinishdagi funksiya ko‘rinishida boiadi: u — x ± y ± z , (7.22) Funktsiya o‘rta kvadratik xatosini orqali, x,y,z argumentlarining o‘rta kvadratik xatosini inx ,m y ,m z orqali ifodalasak = mx + my + mz . (7.23) Agar argumentlarining o‘rta kvadratik xatosi o‘zaro teng 1)0isa, ya’ni mx = my = m z = m bo‘lsa, m u = m-yjn (7.24) boiadi, bundagi n - ai'gumentlar soni. 3) u = f (x lfx2, ..., xn) ko‘rinishdagi fimksiya berilgan boisin, bu funksiyaning argumentlari oichash natijalari x i,x2, - , x n lardan iborat boiib, alar m1,m 2, ...,rnn o‘rtacha kvadratik xato bilan oichangan boisin, u holda u qanday xatolik bilan topiladi degan savol tug‘iladi. Xatolar nazariyasidan agar x1,x2, ...,xn lar o¿ zar o bogiiq bolmagan kattaliklar boisa, quyidagicha topiladi: 1. Tunktsiyadan toiiq differentsial olinadi: df df df d r - - — dx1 + ~ — dx2 + — + -— dxv , (7.25) H H dx2 dxn I tunda dz, dxv dx2, ..., dxn- differentsial lar; a / a / df dx± *, dx2 J o j &xn o'/gnnivchilar bo'yicha olingan xususiy hosilalar. 2. (4.19) da difíerentsiallar o‘rtacha kvadratik xato kvadrati hilan almasluiriladi. 95 Xususiy hosilalar koeffitsient sifatida olinib kvadratga ko‘tariladi, natijada (4.19) ni quyidagicha yozamiz: Misol: Agarda masofa gorizontal proektsiyasi d=I43,5 m va qiyalik burchagi y = 2°30' bo‘lsa va ularni oichash o‘rtacha kvadratik xatolami mos ravishda ms — 0,5 м va mY = V bo‘Isa, h=stgy formuladan foydalanib, hisoblanilgan nisbiy balandlik (h) o'rtacha kvadratik xatosi topilsin. h—stgy dan to'liq differentsial olamiz: bo‘ladi, lekin rriy burchak bo‘lganligi uchun radian minuti yoki radian sekundiga bo‘linadi ip ' = 3438'; p " = 206265") demak, (4.24) ni quyidagicha yozishimiz mumkin: (7.27) ( 7.26) asosida yozamiz: Xususiy hosilalami topamiz: dh dh s ( 7.29)ni ( 7.28)ga qo‘ysak , L Й m 2h = tg 2rm l + ( 7.30) 143.5х l2 0.9994 34382 л/0.00223 ¿ ¿ 0 .0472м = +4 .7sm