Рекомендации по построению метода итераций и его эффективных вариантов при приближенном решении алгебраических и трансцендентных уравнений

5. Решение нелинейного уравнения методом итераций

Рассмотрим уравнение у = ln(x) - x + 1,8. Представим его в виде x = ln(x) + 1,8.
Проверим условие сходимости, найдя производную от функции f(x) и подставив в получившееся выражения концы отрезка [2,3].
f ’(x) = (ln(x) + 1,8)’ = 1/x;’(x) = 1/2 = 0,5;
f ’(x) = 1/3 = 0,3333333;

Как видим, условие сходимости итерационного процесса выполняется, т.е. f ’(x) <1.

Из отрезка, на котором определен корень уравнения, выбираем произвольную точку x_o = 2. Затем последовательно вычисляем x₁, x₂, x_k, подставляя x_o в формулу (1). Получим следующее:

x k	F(x k+1 )
2	2,493147181
2,493147181	2,71354584
2,71354584	2,798256208
2,798256208	2,82899644
2,82899644	2,839922034
2,839922034	2,843776599
2,843776599	2,845132957
2,845132957	2,8456098
2,8456098	2,845777386
2,845777386	2,845836277
2,845836277	2,84585697
2,84585697	2,845864242
2,845864242	2,845866797
2,845866797	2,845867695
2,845867695	2,845868011
2,845868011	2,845868121
2,845868121	2,84586816
2,84586816	2,845868174
2,845868174	2,845868179
2,845868179	2,845868181

По полученным данным построим график функции x = ln(x) + 1,8

Рис. 6. График функции

Далее сравниваем с точностью разность между значениями F(x _k+1 ) и F(x _k ) функции до тех пор, пока разность не будет меньше точности. При выполнении условия выводим корень уравнения F(x _k+1 ).

Другие примеры в приложении 3.

6. Экономическое применение

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.
Производство не может создавать продукцию из ничего. Процесс производства связан с потреблением различных ресурсов. В число ресурсов входит все то, что необходимо для производственной деятельности, - и сырье, и энергия, и труд, и оборудование, и пространство. Для того чтобы описать поведение фирмы, необходимо знать, какое количество продукта она может произвести, используя ресурсы в тех или иных объемах. Мы будет исходить из допущения, что фирма производит однородный продукт, количество которого измеряется в натуральных единицах - тоннах, штуках, метрах и т. д. Зависимость количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов затрат ресурсов получила название производственной функции.
Рассмотрение понятия «производственная функция» начнем с наиболее простого случая, когда производство обусловлено только одним фактором. В этом случае производственная функция - это функция, независимая переменная которой принимает значения используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции y=f(x).
В этой формуле y есть функция одной переменной x. В связи с этим производственная функция называется одноресурсной или однофакторной. Ее область определения - множество неотрицательных действительных чисел. Символ f является характеристикой производственной системы, преобразующей ресурс в выпуск.
Производственная функция нескольких переменных - это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:
y=f(x)=f(x₁,…,х_n).
В формуле у (у 0) - скалярная, а х - векторная величина, x₁,…,х_n -координаты вектора х, то есть f(x₁,…,х_n) есть числовая функция нескольких переменных x₁,…,х_n. В связи с этим ПФ f(x₁,…,х_n) называют многоресурсной или многофакторной. Более правильной является такая символика f(x₁,…,х_n,а), где а - вектор параметров производственной функции.
Пример. Для моделирования отдельного региона или страны в целом (то есть для решения задач на макроэкономическом, а также на микроэкономическом уровне) часто используется производственная функция вида y= , где а₀, а₁, а₂ - параметры производственной функции. Это положительные постоянные (часто а₁ и а₂ таковы, что а₁+а₂=1). производственная функция только что приведенного вида называется производственной функцией Кобба-Дугласа по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г.
Производственная функция Кобба-Дугласа активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. Производственная функция Кобба-Дугласа принадлежит к классу, так называемых, мультипликативных производственных функции. В приложениях х₁=К равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов - в отечественной терминологии), - затратам живого труда, тогда Производственная функция Кобба-Дугласа приобретает вид, часто используемый в литературе:

Y= .