Решение системы, соответствующее этому корню, ищем в виде (11. 6) (при ):, в котором — неопределенные коэффициенты. Подставив эти соотношения в исходную систему и сократив на et

14.2. Исследование на устойчивость с помощью теоремы Ляпунова
Рассмотрим функцию непрерывно дифференцируемую в области

Определение. Функция называется знакопостоянной (знакоположительной или знакоотрицательной) в области D, если
.
Определение. Функция называется положительно определенной
в области , если существует непрерывная функция такая,
что
.
Положительно или отрицательно определенная функция называется знакоопределенной в D.
В качестве функции иногда можно взять
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений

Функцию

называют производной по t в силу системы (14.10). Если есть решение

системы (14.10), то представляет собой полную производную по t
сложной функции
Теорема Ляпунова об устойчивости. Если для системы уравнений (14.10) существует положительно определенная в области D функция производная которой в силу системы (14.10) является знакоотрицательной, то нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову при .
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы уравнений (14.10) существует положительно определенная в области D функция производная которой в силу системы (14.10) является отрицательно определенной, то нулевое решение системы асимптотически устойчиво по Ляпунову при .
Функция V в этом случае называется функцией Ляпунова. Общего метода
построения функции Ляпунова не существует. При n = 2 иногда удается
построить ее в виде суммы одночленов вида .
Теорема Четаева о неустойчивости. Пусть система уравнений (14.10) обладает нулевым решением. Пусть существуют область U пространства
переменных и функция , определенная при ,
такие, что:
1) точка принадлежит границе области U ;
2) функция равна нулю на границе области U при ;
3) внутри области U при t > t0 функция V положительна, а ее производная в силу системы (14.10) положительно определенная.
Тогда нулевое решение системы неустойчиво.