Решение. Выразим производные от функции

a₀(x) = e2x+const.
Выбрав постоянную интегрирования равной нулю, имеем
a₀(x) = e^2x
и, соответственно, уравнение
.
Это уравнение рассматривалось в примере 14.2. Там указана замена, упрощающая это уравнение, и приведено его общее решение.
б) Здесь a₁(x) = tgx и, следовательно,
a₀(x) = e−2R tg xdx = e2ln|cosx|+2k² = e2k² cos2 x.
Выбрав произвольную постоянную k₂ = 0, получим
a₀(x) = cos² x
и, соответственно, уравнение
. (14.25)
Замена переменной t = t(x), приводящая это уравнение к требуемому виду, определяется формулой (14.5):
,
где k₃ — произвольная постоянная. Задав произвольные постоянные: k = 1, k₃ = 0, имеем
t = −sinx (14.26)
и, соответственно, исходное уравнение преобразуется к виду (14.8), (14.19):
.
Общее решение этого уравнения получено в примере 14.1:
y(t) = C₁ cost + C₂ sint.
Вернувшись к переменной x посредством замены (14.26), запишем общее решение уравнения (14.25):
y(x) = C₁ cos(−sinx) + C₂ sin(−sinx) = C₁ cos(sinx) − C₂ sin(sinx).
Таким образом, мы не только определили коэффициент a₀(x) в уравнении б), но и нашли его общее решение.
Пример 14.4. Найти функцию a₀(x), при которой уравнение

заменой аргумента свед¨ется к уравнению с постоянными коэффициентами. Решение. В примере 14.1 было показано, что уравнение

может быть приведено к требуемому виду, если выполняется условие
, (14.27)
где k₁,k — отличные от нуля произвольные постоянные (при k₁ = 0 это условие вырождается в условие (14.7), что приводит к a₀(x) = cos² x из предыдущего примера).
Соотношение (14.27) является уравнением Бернулли
,
и его интегрирование да¨ет связь между коэффициентами a₀(x) и a₁(x):
. (14.28)

В нашем случае a₁(x) = tgx и, следовательно, с уч¨етом
и меем
, (14.29)
где k₂,k₃ — произвольные постоянные интегрирования.
Задав константы k = −1/4, k₁ = −3 k₂ = k₂ = 0, найд¨ем коэффициент

и, соответственно, уравнение
.
Это уравнение рассматривалось в примере 14.2,б). Там же приведена замена, приводящая это уравнение к требуемому виду, и с е¨е помощью получено общее решение исходного уравнения.
Пример 14.5. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Если линейное однородное уравнение
y⁽ⁿ⁾ + a_n−1(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + a₁(x)y^′ + a₀(x)y = 0
может быть приведено к уравнению с постоянными коэффициентами, то, как и в примере 14.1, мы найд¨ем замену переменной
(14.30)
реализующую это преобразование.
В нашем случае n = 3, a₀ = 6/x³. Тогда
.
Выбрав константы: k₁ = 0, k = 1/6, имеем