С. Л. Гольдштейн А. В. Кибардин информатика для физиков часть Введение Учебное пособие


Вычисление многомерных интегралов


Download 1.68 Mb.
bet38/46
Sana27.03.2023
Hajmi1.68 Mb.
#1299632
TuriУчебное пособие
1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   ...   46
Bog'liq
информатика для физиков

Вычисление многомерных интегралов


Многие физические задачи содержат усреднение по многим переменным. Например, предположим, что нам известна зависимость от координаты и скорости полной энергии системы десяти взаимодействующих частиц. Поскольку в трехмерном пространстве каждая частица имеет по три компонента координаты и три компонента скорости, то полная энергия данной системы является функцией шестидесяти переменных. Следовательно, для вычисления средней энергии требуется вычислить шестидесятимерный интеграл. Если разделить область изменения каждой переменной на n отрезков, то в данном случае придется вычислять сумму по n60 точкам. Совершенно очевидно, что для больших размерностей интегралов применять классические численные методы нельзя, тем не менее они используются, когда кратность интегралов не превышает пяти.


Простейший метод оценки многомерных интегралов заключается в сведении этих интегралов к произведению одномерных интегралов.
Рассмотрим двумерный интеграл вида
(5.25)
где пределы y1* и y2*, вообще говоря, являются функциями от x: y1*= y1*(x), y2*= y2*(x).
Определим функцию g(x) как внутренний интеграл по y:
(5.26)
Запишем исходный интеграл в виде:
(5.27)
Тогда алгоритм вычисления двухмерного интеграла выглядит следующим образом:

  1. разбиваем интервал (x1*,x2*) на n малых отрезков x, а интервал (y1*,y2*) на m отрезков y;

  2. для текущего xi= xi-1+x вычисляем y1*(xi) и y2*(xi);

  3. вычисляем g(xi):

(5.28)

  1. вычисляем Fn:

(5.29)
Пояснение. Для вычисления одномерных интегралов в этой схеме использован метод прямоугольников.
Как уже отмечалось, классические методы непригодны при вычислении интегралов большой кратности. Большей эффективностью будет обладать при решении таких задач метод Монте-Карло. Предлагаем вам самостоятельно разработать алгоритм вычисления двухмерного интеграла этим методом (например, с использованием вычисления выборочного среднего).
Задание
Вычислите интеграл из предыдущего задания методом Монте-Карло.

Download 1.68 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   ...   46




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling