С. Л. Гольдштейн А. В. Кибардин информатика для физиков часть Введение Учебное пособие

Вычисление многомерных интегралов

Многие физические задачи содержат усреднение по многим переменным. Например, предположим, что нам известна зависимость от координаты и скорости полной энергии системы десяти взаимодействующих частиц. Поскольку в трехмерном пространстве каждая частица имеет по три компонента координаты и три компонента скорости, то полная энергия данной системы является функцией шестидесяти переменных. Следовательно, для вычисления средней энергии требуется вычислить шестидесятимерный интеграл. Если разделить область изменения каждой переменной на n отрезков, то в данном случае придется вычислять сумму по n⁶⁰ точкам. Совершенно очевидно, что для больших размерностей интегралов применять классические численные методы нельзя, тем не менее они используются, когда кратность интегралов не превышает пяти.

Простейший метод оценки многомерных интегралов заключается в сведении этих интегралов к произведению одномерных интегралов.
Рассмотрим двумерный интеграл вида
(5.25)
где пределы y₁^* и y₂^*, вообще говоря, являются функциями от x: y₁^*= y₁^*(x), y₂^*= y₂^*(x).
Определим функцию g(x) как внутренний интеграл по y:
(5.26)
Запишем исходный интеграл в виде:
(5.27)
Тогда алгоритм вычисления двухмерного интеграла выглядит следующим образом:

1. 
   разбиваем интервал (x₁^*,x₂^*) на n малых отрезков x, а интервал (y₁^*,y₂^*) на m отрезков y;
   
2. 
   для текущего x_i= x_i-1+x вычисляем y₁^*(x_i) и y₂^*(x_i);
   
3. 
   вычисляем g(x_i):
   

(5.28)

4. 
   вычисляем F_n:
   

(5.29)
Пояснение. Для вычисления одномерных интегралов в этой схеме использован метод прямоугольников.
Как уже отмечалось, классические методы непригодны при вычислении интегралов большой кратности. Большей эффективностью будет обладать при решении таких задач метод Монте-Карло. Предлагаем вам самостоятельно разработать алгоритм вычисления двухмерного интеграла этим методом (например, с использованием вычисления выборочного среднего).
Задание
Вычислите интеграл из предыдущего задания методом Монте-Карло.