Samarqand dalat universiteti fizika fakulteti nazariy fizika va

Integrallash doimiyliklari
Agarda mexanik sistemamiz N -ta moddiy nuqtadan tashqil topgan bo’lsa,
harakat tenglamalarining yechimida 6N -ta anna shunday ixtiyoriy doimiyliklar ishtirok etadi, ya’ni

r^→  r^→ (t, C , C ,..., C )
(9)

  1 2 6 N
Integrallash doimiyliklarini boshlang’ich shartlar bilan bog’lash mumkin. Haqiqatdan (2) umumiy yechim bizga ma’lum bo’lsa va boshlang’ich vaqtda

(t  t₀ )
bo’lgan sistema nuqtaning holatlari
r^→  r^→ (t )

tezliklari
 0  0

v^→  v^→ (t )
(10)

 0  0
berilgan bo’lsa, (10)ni vaqt buyicha differensiallab

v^→  v^→ (t, C , C ,..., C )
(11)

  1 2 6 N

Tezliklarni topamiz va (9) va (11 larda
(t  t₀ )
deb olib, (10) asosida yoza olamiz:

 0
^r→
^→
 r^→ (t



0
→
, C₁ , C₂
,..., C_{6 N} )
(12)

_v_{ 0}  r_ (t₀ , C₁ , C₂ ,..., C_{6 N} )

Oxirgi sistemani integrallash doimiyliklariga nisbat an yechib, quyidagini topamiz:

10

N 0

, v

N 0

10
С_  C_ (t, t₀ , r^→ ,....., r^{→ →} ,......, v^→ )   1,2,3,.....,6N  (13)

N 0

→

10

10

N 0

, r

, v
Topilgan bu koeffisiyentlarni (10)ga quyib, N -ta nuqtalardan tashkil topgan sistema uchun harakat tenglamalarining yechimini aniqlaymiz:





r

0
^→  r^→ (t, t
^→ ,. , r^→
→ ,......, v^→ )
(14)

Misol. Faraz qilaylikki, elektr maydoni
E  E₀
cost
OZ o’qi buyicha yo’nalsin

zaryad esa OY o’qi bo’yicha tushayotgan bo’lsin. U holda

E_z  E₀ cost
, E_x  E_y  0,
v_y  v₀ , v_x  v_z  0

Masala shartiga ko’ra, zaryadga
F  eE cost
kuch ta’sir etyapti. Harakat

→

→
tenglamasi Dekart komponentalarda


m^x^  0
m^y^  0

Yoki
m^z^  eE₀ cost

e

^x^  0 , ^y^  0 , ^z^  _m E₀ cost
(15)

8. 
   tenglamalarni vaqt buyicha bir marta integrallab topamiz:
   


e
z^ _m E₀
sin t  C₁ ,
y^  C₂ ,
x^  C₃
(16

Boshlang’ich vaqt momenti t  t₀
da v_y
 y^0  v₀ ,
x^0  z^0  0
bulgani uchun (16)

dagi C₁
  ^eEo sin t m ⁰
, C₂  v₀ ,
C₃  0
buladi.

Demak (16):
e e
z^  _m E₀ sin t  _m E₀ sin t₀
y^  v₀

8. 
   ni yana bir marta vaqt buyicha integrallaymiz:
   

_{z } eE₀
m ²
cost  ^eE0 sin t
m ⁰
 C₄ ,

y  v₀t  C₅
Bundan t  t₀ , bulganda topamiz:


y₀  0 ,


z₀  0

ekanligini e’tiborga olib, C₄ , C₅

larni
(17)

C₄ 
eE₀
m ²
cost₀

• 
  eE_{0 t}
  

m ⁰
sin t₀

C₅  v₀t₀ (18)

18. 
    larni (17)ga qo’yib, zarraning istalgan vaqt momentidagi holatini aniqlaymiz:
    

_{z } eE₀
m ²
(cost₀

• 
  cost)  ^eE0 (t
  

m ⁰

• 
  t) sin t₀
  

y  v₀ (t  t₀ )

18. 
    da t ni yo’qotib, harakat tenglamasini topamiz. Buning uchun
    

(19)

t  t   ^y
ni (19) dagi z uchun ifodaga quyamiz:

v
0
0

_{z } eE₀
(cos t

• 
  cos(t
  

 ^y ))  ^eE0
y sin  t

0

0
_{m 2} ⁰
Nihoyat
⁰ m v ⁰

cos(t₀

• 
  )  cost v₀
  

 cos ^{ y}  sin t

0
v₀
 sin ^{ y}

v
v₀

0
Asosida trayektoriyaning tenglama bilan ifodalanishini topamiz:

_{z } eE₀
((1  cos ^{ y} ) cos t  ^{ y} (1  sin ^{ y} ) sin  t )

v

v

v
m ²
0 0
0 0 0

Nazorat savollari

1. 
   Nyuton tenglamalarining Galiley almashtirishlariga nisbatan invariantligini ko’rsating.
   
2. 
   Harakat tenglamalarini integrallash va boshlang’ich shartlari haqida ayting.
   
3. 
   Nuqtaning istalgan vaqt momentidagi holatini toping
   
4. 
   Integrallash doimiyliklari tushuntirib bering.
   

3. 
   ma’ruza: HARAKAT QONUNLARI. MODDIY NUQTANING TRAYEKTORIYASI, TEZLIGI VA TEZLANISHLARNING DEKART, SFERIK VA SILINDRIK KOORDINATALARDA IFODASI.
   

REJA:

1. 
   Dekart koordinatalar sistemasi.
   
2. 
   Silindrik va qutb koordinatalar usuli
   
3. 
   Sferik koordinatalar usuli
   
4. 
   Maydon tushunchasi va Nyuton tenglamalarining qo’llanish chegarasi.
   

TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: koordinata, tizim, sferik, silindrik, harakat, tezlik, tezlanish, differesial, vaqt, nuqta, vector, tenglama, radius-vektor

Moddiy nuqtaning Dekart koordinata sistemasidagi harakat qonunlarini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin

x  x(t), y  yt , z  zt 
(1)

Agar (1) dan vaqtni chiqarib tashlasak nuqtaning trayektoriya tenglamasi topiladi. Bu tenglamalar parametrik tenglamalar deyiladi.
Koordinatalar orqali ifodalangan radius-vektor

k
r^→  xi^→  y^→j  z ^→
(2)

ni nazarda tutak, (1) ni vaqt bo’yicha to’liq differensiali M nuqtaning tezlik va

tezlanish vektorlarini beradi
→ → ^→

v^→  r^→  x^i

• 
  y^j  z^k
  

(3-1)

→ →_

_→ → → ^→

w  v  r
 ^x^i
 ^y^j  ^z^k
(3-2)

Tezlik va tezlanish vektorlarining o’qlardagi proyeksiyalarini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

v_x  x^,
v_y  y^,
v_z  z^;
w_x  v^x  ^x^,
w_y  v^y  ^y^,
w_z  v^z  ^z^
(4)

Tezlik va tezlanishlarning modullarini esa
w 

(5)

ko’rinishda yozish mumkin.
(3-1) va (3-2) formulalardan tezlik vektori radius-vektordan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli, tezlanish vektori esa radus-vektordan vaqt bo’yicha olingan ikkinchi tartibli hosilaga tengligi kelib chiqadi.


Silindrik va qutb koordinatalar usuli
Silindrik koordinatalar sistemasida M nuqtaning holati ^{ , , z} koordinatalar

bilan aniqlanadi. Nuqtaning harakat qonunlari ko’rinishda bo’ladi.
   (t),
  (t),
z  z(t)

2. 
   shakldan foydalanib quyidagi bog’lanishlarni yozish mumkin
   

→
x   cos , y   sin, z  z
(8-1)


r^→  e^→  zk , r   ²  z ² ,  
(8-2)

 
Silindrik koordinatalar sistemasining e^→ , e^→ ortlari bilan
i^→, ^→j
Dekart ortlari orasidagi

bog’lanishni topish uchun r^→ radius-vektor har ikkala sistemadagi (2) va (8-2)

_→ de
ifodalarini o’zaro tenglashtiramiz va (8-1) ni e’tiborga olsak, natijada quyidagi bog’lanishlarga ega bo’lamiz:

e


^→  i^→ cos 
^→j sin ,
→

e
_ 
^ d
 i^→ sin 
^→j cos

(9)

Silindrik koordinatalar sistemasining
e^→ , e^→
ortlarining yo’nalishi vaqtga bog’liq

 
holda o’zgaradi, ularning vaqt bo’yicha birinchi hosilalarini topsak

2. 
   rasm
   

_→ de^→

→ →_

de^→ _→

_ 


e  ^ ^  ^e ,

d

e  ^ ^  ^e

d

(9-1)

_ 

_ →




Nuqtaning (8-2) radius-vektoridan vaqt bo’yicha hosila olib, (9-1) ni e’tiborga olsak, tezlik vektori, uning moduli va proyeksiyalari uchun quyidagi ifodalarni olamiz


v^↼  r^→  ^ e^→
 ^ e^→

• 
  zk , v 
  

(10-1)

v_  ^ ,
v_  ^,
v_z  z^
(10-2)

v_ , v_ , v_z
lar mos ravishda v tezlik vektorining radial, ko’ndalang va aksial

proyeksiyalari deb yuritiladi. Tezlik vektoridan vaqt bo’yicha hosila olib w^→



→


tezlanish vektor va uning proyeksiyalari uchun quyidagilarga ega bo’lamiz:


w^→  (^  ^{ 2} )e^→
 (2^^  ^)e^→

• 
  zk
  

(11-1)

w_  ^  ^{ 2} ,
w_  2^^  ^,
w_z  ^z^
(11-2)

Agar
z  0,
  r
desak, silindrik koordinatalar sistemasi tekislikdagi
r,
qutb

koordinatalar sistemasiga o’tadi (2.b-rasm).

x  r cos, y  r sin 
(12-1)

r
r^→  re^→ , r 
(12-2)

Bunda harakat qonuni
r  r(t)
  (t)
tenglamlar bilan beriladi. Ulardan ^t ni

chiqarib, M nuqtaning qutb koordinatalar sistemasidagi
r  r()
trayektoriya

tenglamasi topiladi. Tekislikda _→ harakatlanuvchi M nuqtaning qutb
koordinatlaridagi r^→ radius-vektori, ^v -chiziqli va ^→ - sektorial tezliklari hamda w
tezlanishi uchun (10)-(12) munosabatlarga ko’ra ( ^{z  0} , ^{  r} , ^{e→  e→} )

r
r^→  re^→ ,
v^→  r^e^→
 r^e^→ ,
 r

k
^→  ¹ r ² ^→,
2



r
w^→  (^r^  r^{ 2} )e^→  ^{1 d} (r ²^)e^→
r r dt ^