Samarqand davlat univesiteti mexanika -matematika fakulteti
Download 0.93 Mb. Pdf ko'rish
|
funksional analizning asosiy prinsiplari
- Bu sahifa navigatsiya:
- Volterra tenglamasi
|
Siquvchi akslantirishlar prinsipining integral tenglamalarga tadbiqi Fredgolm tenglamasi. Siquvchi akslantirishlar prinsipini ushbu ) ( ) ( ) , ( ) ( x dy y f y x K x f b a
(2.5) ikkinchi tur Fredgolm integral tenglamasi yechimining mavjudligi va yagonaligini isbotlash uchun qo’llaymiz. Bu yerda
integral tenglama yadrosi va - berilgan funksiyalar, f - izlanayotgan (noma’lum) funksiya, esa - haqiqiy parametr. Ko’rsatamizki, qisuvchi akslantirishlar prinsipini parametrning yetarlicha kichik qiymatlarida qo’llash mumkin. Faraz qilamiz, ) ,
x K -
] , [ ] , [ b a b a kvadratda, ) (x -
] , [ b a kesmada uzluksiz funksiyalar bo’lsin. Shunday ekan, musbat
son mavjud bo’lib, barcha ] ,
, b a y x
uchun M y x K ) , ( tengsizlik bajariladi. To’la ] , [ b a C fazoni o’zini-o’ziga
b a x dy y f y x K x g ) ( ) ( ) , ( ) (
(2.6) formula vositasida akslantiruvchi Af g akslantirish berilgan bo’lsin. U holda x f x f a b M x g x g g g b x a b x a 2 1 2 1 2 1 max
max ,
yoki 23
2 1 2 1 , , f f a b M Af Af . Shunday ekan,
b M 1
(2.7)
bo’lganda A siquvchi akslantirish bo’ladi. Siquvchi akslantirishlar prinsipiga asoslanib xulosa qilamizki, (2.7) shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy da (2.5) Fredgolm tenglamasi yagona uzluksiz yechimga ega. Bu yechimga intiluvchi ketma-ket yaqinlashishlar ... ,
, , 1 0 n f f f
b a n n x dy y f y x K x f ) ( ) ( ) , ( ) ( 1
ko’rinishga ega, bu yerda 0 f sifatida ixtiyoriy uzluksiz funksiyani olish mumkin. Chiziqlimas integral tenglamalar. Siquvchi akslantirishlar prinsipining b a x dy y f y x K x f ) ( )) ( ; , ( ) ( ko’rinishdagi chiziqlimas integral tenglamalarga tadbiqini qaraymiz. Bu yerda K va
funksiyalar uzluksiz bo’lib, bundan tashqari K o’zining 3- chi funksional argumenti bo’yicha Lipshis shartini qanoatlantirsin, ya’ni shunday 0 L mavjud bo’lib, 2 1
1 ) ; , ( ) ; , ( z z L z y x K z y x K
tengsizlik barcha ] , [ , b a y x va 2 1 , z z lar uchun o’rinli bo’lsin. Bu holda ] ,
b a C fazoni o’zini-o’ziga
b a x dy y f y x K x g ) ( )) ( ; , ( ) ( formula vositasida akslantiriuvchi Af g akslantirish uchun
x f x f a b L x g x g b x a b x a 2 1 2 1 max max
tengsizlik o’rinli bo’ladi, bu yerda 2 2 1 1 , Af g Af g . Shunday ekan, a b L 1 24
shartda A akslantirish Siquvchi bo’ladi. Volterra tenglamasi. Endi Volterra tipidagi x a x dy y f y x K x f ) ( ) ( ) , ( ) (
(2.8) tenglamani qaraymiz. Agar x y da 0 ) , (
x K desak, (2.8) Volterra tenglamasi (2.5) ko’rinishdagi ikkinchi tur Fredgolm tenglamasiga keladi. Biroq Fredgolm integral tenglamasi holida biz parametrning kichik qiymatlari bilan chegaralanishga majburmiz. Volterra tenglamasi holida siquvchi akslantirishlar prinsipi (va ketma-ket yaqinlashishlar usuli) ni ning barcha qiymatlarida qo’llash mumkin. Aniqrog’i, siquvchi akslantirishlar prinsipining quyidagi umumlashmasi o’rinli. 2-teorema. X metrik fazoni o’zini-o’ziga akslantiruvchi A uzluksiz akslantirish uchun biror n da n A B
x Ax
yagona yechimga ega bo’ladi. Isbot. X x nuqta B akslantirishning qo’zg’almas nuqtasi bo’lsin, ya’ni x Bx . U holda B qisuvchi akslantirishga ketma-ket yaqinlashishlar usulini qo’llasak, k x x B Ax B Ax A x A x AA x AB ABx Ax k k nk nk nk k , 0 1 . Chunki ixtiyoriy X x 0 , xususiy holda Ax x 0 uchun, , , , , 0 0 2 0
B x B Bx k
ketma-ketlik x qo’zg’almas nuqtaga yaqinlashadi. Shunday ekan, x Ax . Bu x
nuqta yagona, chunki A uchun qo’zg’almas bo’lgan x nuqta
n A B uchun ham qo’zg’almas nuqtadir, B esa yagona qo’zg’almas nuqtaga ega. ∆ Misol. ] , [ b a C fazoni o’zini-o’ziga akslantiruvchi va
x a x dy y f y x K x Af ) ( ) ( ) , ( ) )( (
(2.9) formula bilan aniqlangan A akslantirishning biror darajasi siquvchi ekanligini ko’rsating.
] , [ b a kesmada uzluksiz bo’lgan 1
va
2 f funksiyalarni olamiz. U holda
. ) ( ) ( max
) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 x f x f a x M dy y f y f y x K x Af x Af b x a x a
25
Bu yerda . , max ,
x K M b y x a
Olingan tengsizlikdan kelib chiqadiki, . ) ( ) ( max 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 2 2 2 2 2 1 2
f x f a x M x f A x f A b x a
Umuman,
. , ! ) ( ) ( ) ( max ! ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1
f n a x M x f x f n a x M x f A x f A n n n b x a n n n n n
Ixtiyoriy uchun
n nomerni shunday tanlash mumkinki, 1 !
(
a b M n n n
tengsizlik bajariladi. U holda n A B akslantirish siquvchi bo’ladi. ∆ Shuning uchun, yuqoridagi tasdiqqa asosan (2.8) Volterra tenglamasi har qanday da yagona yechimga ega. 2.2 Tekis chegaralanganlik prinsipi Teorema1. (Banax-Shteynxaus yoki tekis chegaralanganlik prinsipi). Agar chiziqli uzluksiz operatorlarning
n A ketma-ketligi X Banax fazosining har bir nuqtasida chegaralangan (ya’ni har bir X x
0
M mavjud bo‘lib, ixtiyoriy N n
x n M x A
(2.10) tengsizlik o‘rinli) bo‘lsa, u holda bu operatorlarning normalaridan tuzilgan
n A sonli ketma-ketlik ham chegaralangan bo‘ladi. ([1] ga q.) Isbot. Avvalo (Ⅹ) shart bajarilganda shunday 0 0 0 0 : ,
a x X x r a B
yopiq shar mavjud bo‘lib, bu sharda 1 n n x A ketma-ketlik chegaralangan bo‘lishini (ya’ni shunday 0 0 M son mavjud bo‘lib, ixtiyotiy
0 ,r a B x va barcha N n
26
larda 0 M x A n
1
n x A ketma-ketlik birorta ham yopiq sharda chegaralangan bo‘lmasin. Ixtiyoriy
0 , x B shar olamiz.
1
n x A ketma-ketlik
/ , 0 0
B sharda chegaralanmagan bo‘lgani uchun shunday 2 / , 0 0 1 x B x element va 1 n nomer mavjudki, 1 1
x A n
bo‘ladi. 1 n A operatorning uzluksizligidan bu tengsizlik
1 , x B 2 / , 0 0 x B sharda ham bajariladi. 2 / , 1 1 x B sharda
1
n x A ketma-ketlik chegaralanmagan bo‘lgani uchun shunday 2 / , 1 1 2 x B x element va 2 n nomer mavjudki, 2 2
x A n shart
bajariladi. 2
A ning uzluksizligidan bu tengsizlik
2 , x B 2 / , 1 1 x B sharda ham bajariladi va hokazo k-chi qadamda 1 1 ,
k x B sharning k x nuqtasida k x A k n k
shart bajariladi.
ning uzluksizligidan bu tengsizlik
k x B , 2 / , 1 1 k k x B
sharda ham bajariladi. Demak, ichma-ich joylashgan va radiuslari nolga intiluvchi k k x B x B x B , , , 1 1 0 0
yopiq sharlar ketma-ketligining barchasiga qarashli bo‘lgan k k x B x , element mavjud va barcha
k x A k n
qilib,
1 n n x A ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladigan
0 , r a B yopiq shar mavjud. Ixtiyoriy
1 , B x uchun 0 0 ' a x r x nuqta 0 0 , r a B sharda yotadi. Shuning uchun, ixtiyoriy n da 0 ' M x A n . Endi 0 1 0
x r x ' tenglikdan foydalansak, . M M M r a A M r a A ' x A r a A ' x A r a ' x r A x A a n n n n n n n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
U holda M x A A n x n 1 sup . Download 0.93 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|