Samarqand iqtisodiyot va servis instituti oliy matematika kafedrasi
V-bob UZLUKSIZ TASODIFIY MIQDORLAR
Download 1.03 Mb. Pdf ko'rish
|
ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan masalalar yechishga doir uslubiy qollanma
V-bob UZLUKSIZ TASODIFIY MIQDORLAR 1-§. Taqsimot funksiyasi va uning xossalari Agar tasodifiy miqdorni qiymatlari soni chekli bo’lsa, ularni qiymatlari hamda mos ehtimollari aniqlanib taqsimot qonuni topilar edi. Agar tasodifiy miqdorlar qiymatlari soni cheksiz bo’lsa ularni ehtimollarning hisoblab bo’lmaydi. Hatto qiymatlarini ham topishni iloji yo’q. Bunday hollarda boshqacha yo’l tutiladi, ya’ni taqsimot funksiyasi tushunchasi kiritiladi. 57 Faraz qilaylik, X tasodifiy miqdor, x haqiqiy son bo’lsin. 1-ta’rif. X tasodifiy miqdorni x haqiqiy sondan kichik qiymat qabul qilish ehtimoliga taqsimot funksiyasi deyiladi ) ( ) ( x X P x F 1- xossa. Taqsimot funksiyasi qiymatlari ] 1 , 0 [ segmentda yotadi: 1 ) ( 0 x F 2- xossa. Taqsimot funksiyasi kamaymovchi funksiya, ya’ni 2 1 2 1 ) ( ) ( x x агар x F x F bo’lsa. 3 -xossa. Agar tasodifiy miqdorni qiymatlari ) , ( b a oraliqda bo’lsa, 0 ) ( ) 1 x F agar а х bo’lsa; 1 ) ( ) 2 x F agar b x bo’lsa. Natija. Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari butun Ox o’qda joylashgan bo’lsa, u holda quyidagi limit munosabatlar o’rinli: . 1 ) ( lim ; 0 ) ( lim x F x F x x Eslatma. Ayrim adabiyotlarda tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi ta’rifi } ) ( : { ) ( ) ( x P x F x F (2) ko’rinishda keltirilgan. Taqsimot funkwiyaning ta’rifi yordamida X tasodifiy miqdorning qiymatlari turli xil ) , [ ], , ( ), , ( ], , [ b a b a b a b a ko’rinishdagi intervallarga tushish ehtimollari quyidagicha topiladi. Dastlab b a bo’lsin, u holda } ) ( : { } { b X b X hodisa o’zaro bog’liq bo’lmagan } { } { b X a a X hodisalar yig’indisi ko’rinishida tasvirlanadi. Bundan esa ) ( ) ( ) ( b X a P a X P b X P kelib chiqadi, (2) munosabatdan esa ) ( ) ( ) ( a F b F b X a P (3) tenglik kelib chiqadi. Ma’lumki, } { b X hodisani sanoqlita o’zaro bog’liq bo’lmagan ,... 2 , 1 }, 1 1 1 { n n b X n b hodisalar birlashmasi 1 }, 1 1 1 { n n b X n b ko’rinishda tasvirlash mumkin. Bundan va (4) tenglikdan foydalanib ). 0 ( ) 1 ( lim ) 1 1 ( ) 1 ( lim ) 1 ( ) 1 1 1 ( ) ( 2 1 b F N b F n b F n b F b F n b X n b P x X P N N n N n (4) Bu yerda va bundan keyin biz quyidagi belgilashlardan foydalanamiz. ). ( lim ) ( ), ( lim ) ( ), ( lim ) 0 ( ), ( lim ) 0 ( y F F y F F y F x F y F x F y y x y x y (3) va (4) tengliklardan foydalanib, quyidagi tengliklarni ham osongina hosil qilishimiz mumkin. ). 0 ( ) 0 ( ) ( ), ( ) 0 ( ) ( ), 0 ( ) ( ) ( ), 0 ( ) ( ) ( a F b F b X a P a F b F b X a P a F b F b X a P b F b F b X P (5) Teorema. Tasodifiy miqdorning taqsimot fuksiyasi ) (x F quyidagi xossalarga ega: ) (x F - kamaymaydigan funksiya; ) (x F -o’ngdan uzluksiz; (6) 58 1 ) ( F ; . 0 ) ( F Natija. 1) Taqsimot funksiyaning qiymatlari ] 1 , 0 [ kesmaga tegishli: . 1 ) ( 0 x F 2) Uzluksiz tasodifiy miqdorning bitta tayin qiymatni, masalan, b qiymatni qabul qilish yehtimoli nolga teng: 0 ) ( b X P . 1-misol. X -tasodifiy miqdor anda bo x anda bo x x anda bo x x F lg ' 4 , 1 , lg ' 4 2 , 1 5 , 0 , lg ' 2 , 0 ) ( taqsimot funksiya bilan berilgan. Sinov natijasida X tasodifiy miqdorning a) 0,2 dan kichik qiymat; b) uchdan kichik qiymat; c) uchdan kichik bo’lmagan qiymat; d) beshdan kichik bo’lmagan qiymat qabul qilish ehtimollarini toping. Yechish. a) 2 x bo’lganda 0 ) ( x F bo’lgani uchun 0 ) 2 , 0 ( F , ya’ni 0 ) 2 , 0 ( X P ; b) taqsimot funksiyaning uzluksizligidan va (4) tenglikdan foydalanib 5 , 0 1 5 , 1 ] 1 5 , 0 [ ) 3 ( ) 0 3 ( ) 3 ( 3 x x F F X P ; c) } 3 { X va } 3 { X hodisalar qarama-qarshi hodisalardir, shuning uchun 1 ) 3 ( ) 3 ( X P X P . Bu yerda 5 , 0 ) 3 ( X P ni hisobga olib quyidagini hosil qilamiz: ; 5 , 0 5 , 0 1 ) 3 ( X P d) qarama-qarshi hodisalarning ehtimollari yig’indisi birga teng, shuning uchun 1 ) 5 ( ) 5 ( X P X P . Bu yerdan, masala shartiga ko’ra 4 x bo’lganda 1 ) ( x F bo’lishini hisobga olib, quyidagini hosil qilamiz: . 0 1 1 ) 5 ( 1 ) 5 ( X P X P 1. X -tasodifiy miqdor anda bo x anda bo x x anda bo x x F lg ' 1 , 1 , lg ' 1 0 , , lg ' 0 , 0 ) ( 2 taqsimot funksiya bilan berilgan. Sinov natijasida X tasodifiy miqdorning rosa uch marta ) 75 , 0 ; 25 , 0 ( intervalda yotadigan qiymatni qabul qilish ehtimolini. Javobi. . 25 , 0 ; 5 , 0 ) 75 , 0 25 , 0 ( 3 3 4 3 4 q p C P X P p 2. X tasodifiy miqdor butun Ox o’qda 2 1 2 1 ) ( x arctgx x F integral funksiya bilan berilgan. Ushbu shartni qanoatlantiruvchi mumkin bo’lgan 1 x qiymatni toping: sinov natijasida X miqdor 1 x dan katta qiymatni 6 / 1 ehtimol bilan qabul qiladi. 3. X tasodifiy miqdor butun Ox o’qda 59 2 1 2 1 ) ( x arctgx x F integral funksiya bilan berilgan. Ushbu shartni qanoatlantiruvchi mumkin bo’lgan 1 x qiymatni toping: sinov natijasida X miqdor 1 x dan katta qiymatni 4 / 1 ehtimol bilan qabul qiladi. 2-misol. X -tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan: X 2 4 7 P 0,5 0,2 0,3 ) (x F -taqsimot funksiyani toping. Yechish. 1. Agar 2 x bo’lsa, 0 ) ( x F . Haqiqatan, X miqdor 2 dan kichik qiymatlarni qabul qilmaydi. Demak, 2 x bo’lganda 0 ) ( ) ( x X P x F . 2. Agar 4 2 x bo’lsa, 5 , 0 ) ( x F . Haqiqatan, X miqdor 2 qiymatni 0,5 ehtimol bilan qabul qilishi mumkin. 3. Agar 7 4 x bo’lsa, 7 , 0 ) ( x F . Haqiqatan, X miqdorning 2 qiymatni 0,5 ehtimol bilan va 4 qiymatni 0,2 ehtimol bilan qabul qilish mumkin; demak, X bu qiymatlarni qaysi biri bo’lishdan qat’iy nazar birini (birga ro’y bermas hodisalarning ehtimollarini qo’shish teoremasiga ko’ra ) 0,5+0,2=0,7 ehtimol bilan qabul qiladi. 4. Agar 7 x bo’lsa 1 ) ( x F . Haqiqatan, 7 X hodisasi ishonchli hodisa va uning ehtimoli birga teng. Shunday qilib, izlanayotgan taqsimot funksiya quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: . lg ' 7 1 , lg ' 7 4 7 , 0 , lg ' 4 2 5 , 0 , lg ' 2 , 0 ) ( anda bo x anda bo x anda bo x anda bo x x F 4. X -tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan: . 3 , 0 4 , 0 1 , 0 2 , 0 10 7 4 3 p X Integral funksiyani toping va uning grafigini yasang. 2-§. Taqsimot zichligi funksiyasi va uning xossalari Faraz qilaylik, ) (x F taqsimot funksiyasi bo’lsin. 1- Ta’rif. X tasodifiy mikdor uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi uzluksiz bo’lsa. ) (x F funksiya uzluksiz bo’lib, 1-tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lsin. 2-Ta’rif. Taqsimot funksiyasidan olingan 1-tartibli hosilaga taqsimot zichligi funksiyasi deyiladi: f x F x ( ) ( ) . 1 -xossa. Taqsimot zichligi funksiyasi manfiy emas: f x ( ) 0 . 60 Haqiqatdan, taqsimot zichligi funksiyasi kamaymovchi funksiyaning hosilasi, shuning uchun uning qiymatlari manfiy bo’lmaydi. 2-xossa. Taqsimot zichligi funksiyasidan dan gacha olingan xosmas integral 1 ga teng: f x dx ( ) 1 . Bu integral tasodifiy miqdorni son o’qiga tushish ehtimolini bildiradi. Bu hodisa ishonchli, shuning uchun uni ehtimoli 1 ga teng. Teorema. Uzluksiz tasodifiy miqdorni berilgan ) , ( b a oraliqdagi qiymatlarni qabul qilish ehtimoli zichlik funksiyadan shu oraliq bo’yicha olingan aniq integralga teng: b a dx x f b X a P ) ( ) ( . 3-misol. X tasodifiy miqdor taqsimot zichligi funksiyasi bilan berilgan. lsa bo x agar lsa bo x agar x lsa bo x agar x f ' 2 / , 0 ' 2 / 2 / , cos 2 ' 2 / , 0 ) ( 2 Tajriba natijasida tasodifiy miqdorni ) 4 / ; 0 ( intervaldagi qiymatlarni qabul qilish ehtimoli topilsin. Yechish. . 4 2 )) 4 2 sin( 2 1 4 ( 1 ) | 2 sin 2 1 ( 1 ) 2 cos 1 ( 2 1 2 cos 2 ) 4 / 0 ( 4 / 0 4 / 0 4 / 0 2 x x dx x dx x x P Agar taqsimot zichligi funksiyasi aniq bo’lsa, taqsimot funksiyasi quyidagi formula bilan topiladi: x dx x f x F ) ( ) ( . Absolyut uzluksiz X tasodifiy miqdorning ) , ( b a intervalga tegishli qiymatni qabul qilish ehtimoli b a dx x f b X a P ) ( ) ( tenglik bilan aniqlanadi. 4-misol. X uzluksiz tasodifiy miqdorning anda bo x anda bo x x anda bo x x F lg ' 2 , 1 , lg ' 2 0 , sin , lg ' 0 , 0 ) ( taqsimot funksiyasi berilgan. ) (x f zichlik funksiyani toping. 61 Yechish. Zichlik funksiya ta’rifiga asosan deyarli barcha x lar uchun ) ( ' ) ( x F x f tenglik o’rinli bo’ladi: . lg ' 2 , 0 , lg ' 2 0 , cos , lg ' 0 , 0 ) ( ' ) ( anda bo x anda bo x x anda bo x x F x f 0 x da ) ( ' x F birinchi tartibli hosilaga ega emaslligini eslatib o’tamiz. 5-misol. X uzluksiz tasodifiy miqdorning ) 3 , 0 ( intervalda x x f 3 sin 3 2 ) ( zichlik funksiya bilan berilgan; bu intervaldan tashqarida 0 ) ( x f . X ning ) 4 , 6 ( intervalga tegishli qiymatini qabul qilish ehtimolini toping. Yechish. Ushbu formuladan foydalanamiz: b a dx x f b a P ) ( ) ( Shartga ko’ra . 3 sin 3 2 ) ( , 4 , 6 x x f b a Demak, izlanayotgan ehtimol 4 6 . 9 2 3 sin ) 4 6 ( xdx X P 6-misol. X uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi anda bo x anda bo x x anda bo x x f lg ' 2 , 0 , lg ' 2 0 , cos , lg ' 0 , 0 ) ( bo’lsa ) (x F taqsimot funksiyani toping. Yechish. Ushbu formuladan foydalanamiz: x dx x f x F ) ( ) ( Agar 0 x bo’lsa, 0 ) ( x f demak, x dx x F 0 0 ) ( . Agar 2 0 x bo’lsa, x x xdx dx x F 0 0 sin cos 0 ) ( . Agar 2 x bo’lsa, . 1 | sin 0 cos 0 ) ( 2 0 2 0 2 0 x dx xdx dx x F x Shunday qilib, izlanayotgan taqsimot funksiya quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: 62 . lg ' 2 , 1 , lg ' 2 0 , sin , lg ' 0 , 0 ) ( anda bo x anda bo x x anda bo x x F Download 1.03 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling