Sanli qatarlar tu’sinigi, onin’ jiynaqlilig’i ha’m taraliwshilig’i. Jiynaqli qatarlardin’ qa’siyetleri

3-anıqlama. Eger da (1.3) qatardıń úles qosındılarınan ibarat izbe-izliktiń limiti sheksiz bolsa yamasa bul limiti joq bolsa, onda (1.3) qatar taralıwshı boladı.
Mısallar:
1. Usı

qatarın qarayıq. Bul qatardıń úles qosındısın esaplap, onıń limitin tabamız.

Demek, berilgen qatar jıynaqlı hám onıń qosındısı 2 ge teń:



2. Tómendegi

qatar taralıwshı, sebebi bul qatardıń úles qosındısı

bolıp
.
3. Tómendegi

qatar hám taralıwshı, sebebi bul qatardıń úles qosındısı

bolıp, izbe-izlik limitke iye emes.
4. Geometrik progressiya aǵzalarınan dúzilgen

qatardı qaraymız. wdette bul qatar geometrik qatar dep ataladı. Bul qatardıń úles qosındısın jazamız.

Eger bolsa, boladı. Demek, bul jaǵdayda geometrik qatar jıynaqlı hám onınń qosındısı sanǵa teń.
Eger bolsa, bolıp, qatar taralıwshı boladı.
Eger bolsa, da bolıp, qatar taralıwshı , bolsa izbe-izlik limitke iye emes. Demek, bul jaǵdayda da qatar taralıwshı boladı.
Solay etip, geometrik qatar bolǵanda jıynaqlı hám bolǵanda taralıwshı boladı.
5. Tómendegi
(1.4)
qatarın alayıq. bul qatar garmonik qatar dep ataladı. (Belgili, eger sanlar ushın

teńligi orınlı bolsa, s sanı a hám b sanlarınıń orta garmonik úlesi boladı. Berilgen (1.4) qatardıń ekinshi aǵzasınan baslap, hár bir aǵzası ózine qońsılas bolǵan ekinshi aǵzasınıń orta garmonik úlesin payda etedi. (1.4) qatardıń garmonik dep atalıwı da sonan kelip shıqqan.) (1.4) qatardıń birinshi ǵa ( ) aǵzasınan dúzilgen.

úles qosındısın alıp, onı tómendegishe jazamız.

Endi usı
,




teńsizliklerin názerge alsaq, onda

teńsizligi orınlı bolıwı kelip shıǵadı. izbe-izlik ósiwshi. Demek, . Solay etip garmonik qatar taralıwshı
6. Usı
(1.5)
qatarın qarayıq. Bul qatardıń úles qosındısın jazamız.

Usı qosındınıń da limitin tabamız

Bunda ushın

Teńsizlik orınlı Joqarıdaǵı formulada x=1 dep qaraymız.

Nátiyjede usı

teńsizligine kelemiz. Onnan

teńligi kelip shıǵadı. Demek, (1.5) qatar jıynaqlı hám onıń qosındısı ln 2 ge teń boladı.
Usı paragraftıń aqırında qatardıń qaldıǵı túsinigin keltiremiz. (1.3) qatardıń birinshi m-aǵzasın alsaq, onda
(1.6)
qatar payda boladı. (1.6) qatar (1.3) qatardıń (m-aǵzasınan keyingi) qaldıǵı delinedi.