Section 1 Path Integrals

Section 7.1 - Path Integrals

Problem 1. Evaluate the path integral of f (x, y) = 2x along the path c(t) = (t, t

2

) from

t = 0 to t = 1.

Solution. First we compute c

0

(t) = (1, 2t), and so

kc

0

(t)k =

p

(1)

2

+ (2t)

2

=

√

1 + 4t

2

.

So the path integral is then

Z

c

f ds =

1

Z

0

f (t, t

2

) · kc

0

(t)k dt

=

1

Z

0

2t

√

1 + 4t

2

dt

let u = 1 + 4t

2

=⇒ du = 8t dt

=

t=1

Z

t=0

2

t · u

1

2

du

8

t

=

1

4

t=1

Z

t=0

u

1

2

du

=

1

4

·

2

3

u

3

2

t=1

t=0

=

1

6

(1 + 4t

2

)

3

2

1

0

=

1

6



5

3

2

− 1



1

Problem 2. Compute the mass of the wire described by the curve c(t) = (sin(t), cos(t), t)

where 0 ≤ t ≤ π if the mass density at the point (x, y, z) of the wire is f (x, y, z) = 1 + x

2

+

y

2

+ z

2

grams per cm (and if lengths are measured in cm).

Solution. The mass of the wire is the path integral of f along the path c(t) (note: this is a

helix! ). First compute,

c

0

(t) = (cos(t), − sin(t), 1) =⇒ kc

0

(t)k =

√

2.

Now the path integral is

Z

c

f ds =

π

Z

0

(2 + t

2

)

√

2 dt

=

√

2



2t +

1

3

t

3

 

π

0

=

√

2



2π +

1

3

π

3



.

2

Problem 3. Evaluate the path integral of the function f (x, y, z) = e

√

z

along the path

c(t) = (1, 2, t

2

), where 0 ≤ t ≤ 1.

Solution. First, we compute c

0

(t) = (0, 0, 2t), and so

kc

0

(t)k =

p

0

2

+ 0

2

+ (2t)

2

= 2t.

So the path integral is then

Z

c

f ds =

1

Z

0

f (1, 2, t

2

) · kc

0

(t)k dt

=

1

Z

0

2te

t

dt

integration by parts: u = 2t and dv = e

t

dt

= 2te

t

1

0

−

1

Z

0

2e

t

dt

= 2e − 2e + 2

= 2.

3

Note: These notes and problems are meant to follow along with Vector Calculus by Jerrold

Marsden and Anthony Tromba, Sixth Edition. The pictures were generated using TikZ,

Wolfram Alpha/Mathematica, or found online.

4