Sferik koordinatalar sistemasining ba'zi tadbiqlar

@ burchakka zenit yoki qutb burchagi deyiladi. Uni ko‘p hollarda og‘ish burchagi yoki kokenglik deb ham yuritiladi. ^V ga esa azimut burchagi deyiladi. ® va ^V burchaklar ^r = ⁰ bo‘lganda aniqlanmagan. Bundan tashqari ^sin# = ⁰ ya'ni @ = ⁰ yoki & =¹⁸⁰ ° bo‘lganda ^V burchak aniqlanmagan. Bunday kelishuv ISO 31-11 standartda qayd qilingan. Bundan tashqari, & zenit burchak o‘rniga ^p radius vektor va ^xy tekislik orasidagi ⁹⁰°^-& ga teng burchak ham ishlatilishi mumkin. Unga kenglik deyiladi va ^y ham & harfi bilan belgilanadi. Kenglik ^{- 90}°<6< 9⁰° oraliqda o‘zgarishi mumkin. Mazkur kelishuvda ® va ^V burchaklar ^r = ⁰ bo‘lganda ma'noga ega emas; ^cos^ = ⁰, ya'ni 6 = ^-90° yoki & = ⁹⁰° bo‘lganda ^V ma'noga ega emas.
Boshqa koordinatalar sistemasiga o‘tish
1) Dekart koordinatalar sistemasi.
Agar nuqtaning ^(r,^^,v) sferik koordinatalari berilgan bo‘lsa, u holda dekart koordinatalar sistemasiga o‘tish quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi:


x = r sin0cosp;
< y = rsin0sinp; z = r cos0.


Bunda




0= arccos

z
■y/x² + y² + z²

= arctg


x² + y² + z² = r²sin² 0cos² p + r²sin² 0sin² p + r²cos² 0 =

= r ^2 sin ^2 0

(cos^2p+sin^2p)+ r^2 cos^20= r^2 sin^20+ r^2 cos^20= = r^2(sin^20+cos^20)= r^2.

Aksincha, dekart koordinatalar sistemasidan sferik koordinatalar sistemasiga o‘tish quyidagi formula yordamida amalga oshiriladi:

y
p = arctg .
x
Sferik koordinatalar sistemasiga o‘tish yakobiani quyidagicha hisoblanadi:





y,^z ) a(r ,0p)

sin0cosp
sin0sinp
cos0

r cos0cos p
r cos0sin p
- r sin 0

- r sin0sin p
r sin 0cosp
0


= cos0(r ² cos² pcos0sin 0+ r ² sin ² pcos0sin0)+
+ r sin0(r sin² 0cos² p+ r sin² 0sin² p) =
= r ² cos² 0sin 0+ r ² sin ² 0sin 0= r ² sin 0.
2) Silindrik koordinatalar sistemasi.
Agar nuqtaning sferik koordinatalari berilgan bo‘lsa, u holda silindrik koordinatalar sistemasiga o‘tish quyidagicha amalga oshiriladi:
p = r sin0;
« p = p;
z = r cos0.
Aksincha, silindrik koordinatalar sistemasidan sferik koordinatalar sistemasiga o‘tish:
r = jp² + z²;
_ p
< 0 = arctg—;
z
P = P
tengliklar yordamida amalga oshiriladi. Sferik koordinatalar sistemasidan silindrik koordinatalar sistemasiga o‘tish yakobiani uchun ^{J = r} tenglik o‘rinlidir.

Shuni alohida ta'kidlash joizki, umumlashgan sferik koordinatalar sistemasiga
x = ar cos“ pcos^p 0;
y = brsin“ pcos^ 0;
z = cr sin 0
tenglik yordamida amalga oshiriladi. Bunda
— — r > 0, 0 <p< 2—, <0 < —.
22
Fridrixs modeli
^T = ^{(-—; —} orqali uch o‘lchamli torni, ^L(t orqali ^T da aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymatlarni qabul qiluvchi) funksiyalarning Gilbert fazosini belgilaymiz.
Ushbu bo‘limda ^L(t Gilbert fazosida
H,= H ₀-pV


ko‘paytirish
tenglik yordamida aniqlangan va Fridrixs modeli deb ataluvchi operatorni _H
qaraymiz. Bu yerda ^H0 qo‘zg‘almas operatori deb ataladi va u operatoridir:
(H₀ f )(x, y,z)= (3-cosx-cos y -cosz)f (x, y,z);
^V esa integral operator:
(Vf )(x, y, z) = v(x, y, z) J v(x', y , z )f (x', y , z )dx'dy' dz ;
_T3


esa ^t da
_H
operator
⁰- ixtiyoriy musbat son (ta'sirlashish parametri), ^vGv)
aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiya. Ushbu shartlar asosida chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘ladi. Bu tasdiqlar funksional analiz kursidan bizga ma'lum bo‘lgan operatorning chiziqliligi, chegaralanganligi va o‘z-o‘ziga qo‘shmaligi ta'riflari yordamida tekshiriladi.
j^r
Avvalo shuni qayd qilish lozimki, » o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lganligi bois uning spektri haqiqiy sonlar o‘qida yotadi.
Aniqlanishiga ko‘ra ^V qo‘zg‘alish operatori ajralgan yadroli bir o‘lchamli o‘z- o‘ziga qo‘shma integral operatordir. Shu sababli chekli o‘lchamli qo‘zg‘alishlarda j^r muhim spektrning o‘zgarmasligi haqidagi mashhur Veyl teoremasiga ko‘ra *


bo‘ladi, ya'ni
ko‘paytirish operator bo‘lganligi uchun bu operator sof muhim spektrga ega bo‘ladi, ya'ni
TT operatorning muhim spektri ^H0 qo‘zg‘almas operatorning muhim spektriga teng = ^.„^(ho) Ho _Ope_ratori ^{3 - cos x - cos} >' ^{- cos z} funksiyaga
°(H„ )=a.„ (H 0 )=[0;6].
Yuqoridagi mulohazaga ko‘ra
^e,. (H,)= [0;6]
_H
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ko‘rinib turibdiki, ^H operatorning muhim spektri ta'sirlashish parametridan bog‘liq emas.
JJ
Endi operatorning diskret spektrini, ya'ni chekli karrali yakkalangan xos qiymatlarini tahlil qilamiz. Buning uchun odatda ^{z e} c\[0;6]
soni uchun ^{H uf z} xos qiymatga nisbatan tenglama qaraladi va ^C \[0;6]
sohada regulyar bo‘lgan


M^z)=^{1 -}^L ' ' '
33-cosx -cosy -cosz -z
JJ
yordamchi funksiyani qaraymiz. Unga operatorga mos Fredgolm
determinanti deyiladi. Bu funksiyaning xarakteristik xossalaridan biri quyidagidan iborat:
^z e C \ [0;⁶] s_Oni ^H
zarur va yetarlidir.
Shunday qilib, ^H" <
_v²_(x^._{, y}^._,z^._)dx^._dy^._dz^.
H operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun ^A^^(z0 bo‘lishi
OperatOrning diskret spektri uchun
°dsc H)=\z e C \ [0;6]: A,(z ) = 0}
tenglik o‘rinli ekan. Tekshirib ko‘rish mumkinki, ^A^⁽⁾ funksiya ^(-'^x"^;0) va (^6,+w) oraliqlarda monoton kamayuvchi funksiyadir. Ikkinchi tomondan, ixtiyoriy ^> ⁰ va ^z > ⁶ sonlari uchun ^A^^(z^>¹ tengsizlik o‘rinli. Bu esa ixtiyoriy ^> ⁰ soni
_H
uchun ^H operator 6 dan katta xos qiymatlarga ega emasligini bildiradi. Manfiy xos qiymatlarni o‘rganish uchun ^A^⁽⁾ funksiyani muhim spektrning chap chegarasi ^{z = 0} nuqtada qo‘shimcha aniqlab olamiz. Lebeg integral belgisi ostida limitga o‘tish haqidagi Lebeg teoremasiga ko‘ra qiymati chekli yoki cheksiz bo‘lgan


lim f , , ,
^z >⁰ s3-cosx -cosy -cosz -z
v²(x^', y^', z^' )dx^'dy^'dz^'
v²(x^', y^',z^')dx^'dy^'dz^'
= L . . .
33-cosx^' -cos y^' -cosz^' limit mavjud bo‘ladi.
Oxirgi integralning chekli ekanligini ko‘rsatamiz. Tanlanishiga ko‘ra ^v(-,-,-) - T³ kompakt to‘plamda aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyadir. Shu sababli shunday ^M > ⁰ soni topilib, ixtiyoriy ^{yze T} nuqtada
|^v(xy^z)|<^M (^)
tengsizlik bajariladi (kompakt to‘plamda aniqlangan uzluksiz funksiyalarning chegaralanganlik xossasi). ^{cos x} funksiyaning Teylor qatoriga yoyilmasiga ko‘ra
¹ 2 2 2 ¹ 4 4 4
3 - cosx - cosy - cosz = (x + y + z )- (x + y + z )+....
(x y z) c~ T c c > 0
tenglik barcha ^{x y z c T} nuqtalarda bajariladi. U holda shunday ^ci’ °² > va
^{3> o} sonlar topilib, istalgan
(x,y,z)eB_s(00):=|x',y ,z)cC : (x) + (y') + (z') <3²}
nuqtada
C(x² + y² + z²)< 3 - cosx - cosy - cosz < c₂(x² + y² + z²)
qo‘sh tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

v²(x , y , z )dx dy dz
Quyidagi
L ' ' '
33-cosx - cos y - cosz



v²(x , y , z )dx dy dz

v²(x , y , z )dx dy dz
integralda to‘plam bo‘yicha additivlik xossasidan foydalanamiz:
V x , y , z ux uy uz
£3- cosx - cosy - cosz _B^J_o)3-cosx - cosy -cosz
v² (x , y , z ^)dx dy dz
t³\b_s(o)3-cosx -cosy -cosz'
(3)-tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi qo‘shiluvchiga (1)- va (2)-
baholashlardan foydalanamiz:



v (x , y , z )ux uy uz M²
B₃^Jo)^3-cosx-cosy ^-cosz ~ ^c2 B^J(o)(x') +(y7 +(z7’
(4)-tengsizlikning o‘ng tomonidagi integralda sferik koordinatalar sistemasiga o‘tamiz:

dx^'dy^'dz^'
v²(x , y ,z )ux uy uz
n
dxdydz ³ 2 ²fr² cosrndrdrndd

_r2
J / 'V ₍ \ ( ■¥ = J J J "
b_s(o') (x ) + (y ) + (z ) o __£ o
2
= 3- 2 ■ 2 = 4n5.

_v²(_x^'_{, y}^'_{, Z}^' )_dx^'_dy^'_dZ^'
Demak,
J ' ' 7 < -+^.
B_s(₀) 3 - cos x - cos y - cos z
Endi (3)-tenglikning o‘ng tomonidagi ikkinchi qo‘shiluvchini baholaymiz:
^{3 - cos x - cos}y - ^{cos z} funksiya yagona (^0,0,0)eT nuqtada minimumga ega. Shu sababli shunday ^c > ⁰ soni topilib, barcha ^{((xyz)e T} \Bs⁽⁽⁰⁾ nuqtalar uchun
3 - cos x - cos y - cos z > c > 0
tengsizlik o‘rinli. Bundan va (1)-tengsizlikdan


\ 3
8x <».
^C2
f v^{2 (x}, _£ ^M j dx dy dz
T³\B(0) ^{3 C0S x C0S y C0S z C}2 T³\B(0)

_v²(_x^'_{, y}^'_{, Z}^')_dx^'_dy^'_dZ^'
Shunday qilib,
J ' ' 7<^
33-cosx^' -cos y^' -cosZ^'
ekan.


M-;0)
Yuqorida keltirilgan mulohazalardan Fridrixs modelining va umumlashgan Fridrixs modelining xos qiymatlari soni va joylashgan o‘rnini aniqlashda foydalanish mumkin [1-30]. Bundan tashqari, Fridrixs modellari oilasi va umumlashgan Fridrixs modellari oilasiga mos Fredgolm determinanti ^;zfunksiyada
funksiyani uzluksizlikga tekshirishda alohida ahamiyat kasb etadi.