Sferik uchburchaklarni yechish

1-Amaliy ish

Sferik uchburchaklarni yechish

Ishning maqsadi: Sferik uchburchakni Lejandr teoremasi va additamentlar usuli bilan echishda amaliy ko'nikmalarga ega bo'lish.
Formulalar va tushuntirishlar. A. Lejandr tomonidan taklif qilingan sferik ortiqcha usuli quyidagicha: har bir uchburchakning burchaklari (1-shakl), A, B va C sferik ortiqcha ε ning 1/3 qismiga kamayadi. Natijada, A₁, B₁, C₁ yassi uchburchakining burchaklari olinadi va sferik uchburchakning a, b va c tomonlarini o'zgarmagan holda sinuslar teoremasi bilan echiladi.

5. 
   1-shakl. To’g’ri va sferik uchburchaklar
   

Ellipsoid (sferoid) sathida geodezik chiziqlar bilan hosil qilingan uchburchakga sferoidik uchburchak deyiladi.
Uchburchakni echish uchun uning barcha elementlarini (tomonlari va burchaklarini) aniqlash kerak, ayni paytda ularning ba'zilari ma'lum bo'lishi kerak. Sferik ortiqcha quyidagi formulalar bo'yicha aniqlanadi.
ε=f·v·s·sinA=f·(v²·sinA·sinS/sinV)
yoki
ε=f·D_I,

bunda f=0,0025345- kenglik bo'yicha tanlangan doimiy qiymat;

D_I=(v²·sinA·sinS/sinV) .
Burchaklar farqi quyidagi formuladan aniqlanadi
w= –(ε+180^o)+∑ ,

bunda ∑ – uchburchakning o'lchangan burchaklarining yig'indisi. Misol. ABC triangulyatsiya zvenosi 1 sinf sferik uchburchakni yechish.
O’lchangan, ellipsoid yuzasiga proektsiyalangan va punktlar markaziga keltirilgan A
= 52⁰ 50' 22.29″ , B = 53⁰ 24' 0.18 ''; C = 73⁰ 45' 39.11 ", uzunligi: b = 30750.425 m
Uchburchakning o'rtacha kengligi B_o`rt = 48⁰ 12 ' ga teng. Misolni yechish quyida keltirilgan ketma-ketlikda amalga oshiriladi. Sferik ortiqcha hisoblanadi (1-jadval).


1-jadval

Formulalar	Natijalar	Formulalar	Natijalar
f	0.0025404	b^2·sinA·sinS	723,519
v^2, km	945,59	sinV	0,802818
sinA	0,79694681	DI	901,224
sinS	0,9601029	ε˝	2.289
sinA·sinS	0,76515094

Sferoidal uchburchakning yechilishi 4- Jadvalda berilgan.

w= – (2,289^´´+180^o)+180^o00^´1,58^´´= – 0,71^´´

^DII
_ b
sin B_1
 30750,425
0,802818
 38303,108 м ^;

a  D_II sin A₁  30525,540 м ^;
c  D_II sinC₁  26774,925 м .

Nazorat hisoblari formulalar yordamida amalga oshiriladi.

^DII
_ a
sin A_1
 c _;
sin C₁

^DII
_ 30525,540
0,79694681
^ 38303,108 м ^;

^DII
_ 26774,925
0,9601029
 38303,108 м ^;

2-jadval

Variantlar	Burchak nomi	O`lchangan burchaklar				S,m
1	A	52	50	22,29	30750,425
	B	53	24	0,18
	C	73	45	39,11
2	A	74	58	50,81	25442,157
	B	51	0	59,63
	C	54	0	11,08
3	A	48	3	16,75	24130,217
	B	56	46	4,64
	C	75	10	39,57
4	A	59	44	1,21	28568,384
	B	62	45	44,75
	C	57	30	15,92
5	A	56	46	0,85	37366,352
	B	57	51	0,95
	C	65	22	59,80
6	A	71	24	57,83	25454,709
	B	54	4	1,89
	C	54	31	1,82
7	A	71	0	2,67	23582,559
	B	56	30	15,40
	C	52	29	43,33

Additamentlar usuli sferik uchburchak tomonlar a, b, c to'g'ri va sferik uchburchak, c, bo'zgartish tomoni samolyot uchburchak a noma'lum yon berishga, deb iborat. Aa, Ab, Ac: A_a =ka³; A_b = kb³; A_c =kc³.
Bunda k=1/6R²;

R  MN
–uchburchakning hududi uchun ellipsoidning kavisning o'rtacha radiusi

Sferik uchburchakni qo'shimchalar usuli yordamida yechishning ketma- ketligini ko'rib chiqing. Asl qismdan B qo'shimchasini chiqarib, tekis uchburchakning yon qismini oling.
. Sferik uchburchakning ma'lum burchaklaridan va b-bb-dan, uchburchakni va c trisinus teoremasidan foydalanib tekislang va uchburchakning a uchburchaklarini toping. Tomonlarning olingan qiymatlari ularning qo'shimchalari Aa va Ac tomonidan tuzatiladi va ABC uchburchagining istalgan tomonlarini topadi. Qo'shimchalar usuli Lejandr teoremasi yordamida uchburchaklarni yechish uchun nazorat sifatida ishlatiladi.
Misol. ABC uchburchakni qo'shimcha usulning formulalari bilan yeching.K qiymatining sobiq ittifoq respublikalari hududi uchun doimiy ravishda qabul qilinishi mumkin: k = 409*10^-11 uchburchak tomonlarining uzunligi kilometrlarda ifodalanadi.
Yassi uchburchakning tomoni aniqlanadi
b=b – A_b = b – kb³,

bunda A_b – formulalar tomonidan belgilangan qo'shimchalar

A_b = kb³.

Uchish uchburchagi qolgan tomonlari formulalar orqali topiladi

;
_{a } b^sin A
sin B
Sferoid uchburchakning tamonini topish
_{c } a^sin C

.
sin A

a=a +ka ³ = a + A_a; c = c + kc ³ = c+A_c; Bu yerda A_c = ka  ³; A_c = kc ³; k = 1/6R² Hisoblash natijalari 2-jadvalda.
Misol. Lejandr teoremasi yordamida uchburchak eritmasining dastlabki ma'lumotlaridan foydalanish ABC uchburchagini qo'shimcha usulning formulalariga muvofiq hal qilish. Olingan natijalar Lejandr teoremasi yordamida olingan uchburchakning uzunliklari bilan taqqoslanadi.
Masalani 4-jadval shaklida yechish tavsiya etiladi.
Sferik ortiqlikni hisoblash

3. 
   3-jadval
   

№	Formulalar	Hisoblash natijalari	Izoh
1	2	3	4
1	F	0.0025404
2	b2	945,59	ε – hisoblashda uchburchak tomon uzunligi km.da olinadi
3	sinA	0,79694681
4	sinC	0,9601029
5	sinA sinC	0,76515094
6	b^2 sinA sinC	723,519
7	sinB	0,802818
8	D1	901,224
9	E	2.289”

Uchburchakni yechish
4-jadval

Uch- bur- chak uch- lari	Sferik uchburchakni O‘lchangan burchaklari	  3	Sferik uchburchakni tenglashtirilgan burchaklari	  3	Yassi uchburchak burchaklari	Yassi uchburchakl arini sinuslari
B	53240.18”	0,24	53240,42”	-0,76”	5323'59,66”	0,80281649
A	525022,29”	0,24	525022,53”	-0,76”	525021,77”	0,79694528
S	734539,11”	0,24	734539,35”	-0,77”	734538,57”	0,96010216
∑β	180^o00^´1,58^´´	0,72	180002,3”	-2,29
Ε	2,29”
ω=	∑-(180+δ)= -
	0.72

  (  180^∘ )   β
Sferik uchburchak tomonlari
D_II= m a = 30525,540 m
v = 30750,425 m s = 36774,925 m