Sh. Soliyev Qo‘qon dpi, fizika-matrematika fanlari nomzodi,"matematika-infomatika" kafedrasi dosenti 1-mavzu. Ratsional kasrlar

15-Mavzu. Chiziqli almashtirishlar va ularning matritsalari.
Biz oldingi ma’ruzalarda vektor fazo tushunchasi bilan tanishgan edik. Endi turli vektorlar fazolari orasida qanday munosabatlar mavjudligini ko’raylik.
U vektor fazoning V vektor fazoga akslantirish bo’lsa, u holda ko’rinishda belgilaylik. U vektor fazoning ixtiyoriy elementiga akslantirish yordamida V vektor fazodan mos keluvchi vektorni deylik. Bu moslik , , , ko’rinishlarda belgilanadi.
Ta’rif. ℱ sonlar maydoni ustida aniqlangan U vektor fazoning V vektor fazoga akslantiruvchi akslantirish uchun ushbu
,

shartlar bajarilsa, u holda U vektor fazo V vektor fazoga chiziqli akslanadi deyiladi
U fazoni V fazoga chiziqli akslantirishlar to’plamini orqali belgilanadi.
Ta’rif. U vektor fazoni o’z-o’ziga akslantirish U fazoda aniqlangan operator deyiladi.
Yuqoridagi ikkita ta’rifdan ko’rinadiki, operator chiziqli akslantirishning xususiy holi ekanligi.
Operatorlar harflar bilan belgilanadi.
Ta’rif. U vektor fazoni o’z-o’ziga chiziqli akslantirish U fazoda aniqlangan chiziqli operator deyiladi.
chiziqli akslantirish ta’sirida bo’lsa, u holda vektor vektorning obrazi (tasviri), vektor esa vektorning proobrazi (asli) deb yuritiladi.
bo’lganda vektorlar to’plami odatda akslantirishning obrazi deb yuritiladi va yoki orqali belgilanadi.
Misol. Agar akslantirish S kompleks sonlar maydoni ustida chiziqli operator bo’ladi (Bunda va sonlar o’zaro qo’shma kompleks sonlar).
Ta’rif. U vektor fazoning ixtiyoriy va elementlari va U da aniqlangan operator uchun tenglik bajarilsa, u holda ga U da aniqlangan additiv operator deyiladi.
Quyidagi xossalar o’rinli:
1⁰. ;
2⁰. ;
3⁰. ;
4⁰. .
Ta’rif. Agar ixtiyoriy son bo’lganda ham U fazoning ixtiyoriy elementi uchun tenglik o’rinli bo’lsa, u holda ga U da aniqlangan bir jinsli operator deyiladi.
Ta’rif. Bir vaqtda bir jinsli va additiv bo’lgan operatorga chiziqli operator deyiladi.
operator chiziqli operator bo’lishi uchun U fazoning ixtiriy elementlari va berilganda tenglikning bajarilishi zarur va etarli.
Bu mulohazani isbotlashda yuqoridagi ikkita ta’rifdan foydalaniladi.
Agar chiziqli operator bo’lsa, u holda uchun ushbu
(1)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Bu mulohazada (1) tenglik matematik induktsiya printsipi asosida isbot qilinadi.
Ta’rif. Agar uchun tenglik bajarilsa, u holda operatorga nol operator deyiladi.
Nol operator ham chiziqli operator bo’ladi. (Isbotlang).
Ta’rif. Agar uchun tenglik bajarilsa, u holda e ga ayniy (birlik) operator deyiladi.
Ta’rif. Agar , uchun tenglik bajarilsa, u holda ga o’xshashlik operatori deyiladi.
Demak, bu ta’rifdan ko’rinadiki, bo’lsa, o’xshashlik operatorining nol operator, bo’lsa, o’xshashlik operatorining ayniy operator bo’lishi.
Ta’rif. Agar bo’lib, bo’lsa, ya’ni operator n o’lchovli fazodagi vektorni k o’lchovli fazodagi vektorga o’tkazuvchi operator bo’lsa, u holda ga proektsiyalovchi operator deyiladi.
Ta’rif. Agar U_n fazoning ixtiyoriy vektori uchun tenglik bajarilsa u holda f ga va operatorlarning yig’indisi deyiladi va u orqali yoziladi.
Ta’rif. uchun tenglik bajarilsa, u holda ga operatorning skalyarga ko’paytmasi deyiladi.
Ayrim hollarda U_n fazoning nolmas vektorini operator ta’sirida nol vektorga akslanishi mumkin.