Shaklda. 4. 2, b da 1, va aksiomalar bajariladigan to‘plam ko‘rsatilgan, lekin a elementdan keyin 2-aksiomada talab qilinganidek bir emas, darhol ikkita element keladi., 2, 4, lekin c darhol a va b dan keyin keladi

1) Esda tutingki, natural sonni aniqlashda aksiomalarning birortasini ham e’tibordan chetda qoldirib bo‘lmaydi – ularning birortasi uchun qolgan uchta aksioma qanoatlantirilgan to‘plamni qurish mumkin, lekin bu aksioma bajarilmaydi. Ushbu pozitsiya rasmda ko'rsatilgan grafiklar bilan aniq tasdiqlangan. 14.2 va 14.3. Shaklda. 14.2, lekin 2 va 3 aksiomalar bajarilgan, lekin 1 aksioma bajarilmagan to'plam ko'rsatilgan (4 aksioma mantiqiy bo'lmaydi, chunki to'plamda boshqa hech qanday darhol ergashmaydigan element mavjud emas).

Shaklda. 14.2, b da 1, 3 va 4 aksiomalar bajariladigan to‘plam ko‘rsatilgan, lekin a elementdan keyin 2-aksiomada talab qilinganidek bir emas, darhol ikkita element keladi. , 2, 4, lekin c darhol a va b dan keyin keladi. Shaklda. 14.3 1, 2, 3 aksiomalari qanoatlantirilgan, lekin 4 aksioma qanoatlanmaydigan to'plamni ko'rsatadi - nurda yotgan nuqtalar to'plami 1 ni o'z ichiga oladi va har bir raqam bilan birga darhol keyingi raqamni o'z ichiga oladi, lekin bu to'plam mos kelmaydi. rasmda ko'rsatilgan barcha nuqtalar to'plami bilan.

Aksiomatik nazariyalarning o'rganilayotgan tushunchalarning "haqiqiy" tabiati haqida gapirmasligi, bir qarashda, bu nazariyalarni juda mavhum va rasmiy qiladi - ma'lum bo'ladiki, bir xil aksiomalar turli xil ob'ektlar to'plami va o'rtasidagi turli munosabatlar bilan qanoatlantiriladi. ular. Biroq, bu zohiriy abstraksiya aksiomatik usulning kuchidir: nashr etilgan aksiomalarning mantiqiy usuli bilan chiqarilgan har bir bayonot, agar ularda aksiomalarni qanoatlantiradigan munosabatlar aniqlangan bo'lsa, har qanday ob'ektlar to'plamiga nisbatan qo'llaniladi.
19-asr oxirida ushbu sohadagi barcha tadqiqotlar natijasi. — deb xulosa qilgan atoqli nemis matematigi D.Hilbert, u «Geometriya asoslari» kitobida Evklid geometriyasi aksiomalarining to‘liq ro‘yxatini keltirgan va bu aksiomatikaning izchilligini isbotlagan. U tomonidan tuzilgan aksiomalar nuqtalar, chiziqlar, tekisliklar va ular o'rtasidagi munosabatlarga tegishli bo'lib, ular "tegishli", "orada yotadi", "kongruent" so'zlari bilan ifodalanadi. Nuqta, to'g'ri chiziq nima
va tekislik va bu munosabatlarning o'ziga xos ma'nosi nima, D. Hilbert aniqlamaydi. Ular haqida ma'lum bo'lishi kerak bo'lgan hamma narsa aksiomalarda ifodalangan. Ular besh guruhga bo'lingan. ,
Birinchi guruh (mansublik aksiomalari). Ular nuqtalar, chiziqlar va tekisliklar o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatadilar.
Ikki nuqtadan bitta va faqat bitta to'g'ri chiziq o'tadi.
Har bir qatorda kamida ikkita nuqta mavjud.
Bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bor.
Ushbu uchta aksioma bilan bog'liq holda biz bitta fikrni bildiramiz. Ma'lumki, to'g'ri chiziqda cheksiz nuqtalar to'plami mavjud, ammo 2-aksiomada ularning kamida ikkitasi borligi qayd etilgan. Shuning uchun to'g'ri chiziqdagi nuqtalar to'plamining cheksizligini birinchi va keyingi guruhlarning aksiomalari asosida isbotlash kerak bo'ladi.
Planimetriyani qurish uchun ular ko'rsatilgan tegishli aksiomalar bilan chegaralanadi. Stereometriyani qurish uchun ularga quyidagilar biriktirilgan.
Bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan har uch nuqtada bitta va bitta tekislik mavjud.
Agar to'g'ri chiziqning ikkita nuqtasi ma'lum bir tekislikka tegishli bo'lsa, unda bu to'g'ri chiziqning barcha nuqtalari ham ko'rsatilgan tekislikka tegishlidir.
Agar ikkita tekislikning umumiy nuqtasi bo'lsa, unda ular kamida bitta umumiy nuqtaga ega.
Bitta tekislikda bo'lmagan kamida to'rtta nuqta mavjud.
Ikkinchi guruh (tartibli aksiomalar). Ular “orada yotish” tushunchasini belgilaydi va toʻgʻri chiziq va tekislikdagi nuqtalarning oʻzaro joylashuvi xossalarini ifodalaydi.
Agar B nuqta A va C nuqtalar orasida joylashgan bo'lsa, u holda u C va A nuqtalari orasida joylashgan.
A va B to'g'ri chiziqning istalgan ikkita nuqtasi uchun ushbu to'g'ri chiziqda shunday C nuqta mavjudki, B nuqtasi A va C nuqtalari orasida joylashgan.
To'g'ri chiziqdagi uchta nuqtadan ko'pi bilan bittasi boshqa ikkita nuqta orasida joylashgan.
A, B va C nuqtalar bitta to'g'ri chiziqda yotmasin va chiziq bu nuqtalarning birortasidan ham o'tmasin. Agar bu holda a to'g'ri chiziq AB segmentini kesib o'tsa, ya'ni A va B nuqtalar orasida yotgan nuqtadan o'tsa, u holda u BC yoki AC segmentlaridan birini kesib o'tadi.
Birinchi ikki guruhning aksiomalari segment, nur, burchak tushunchalarini aniqlash imkonini beradi. Segment a to'g'ri chiziqqa tegishli ikkita A va B nuqtalar sistemasidir. A va B o'rtasida joylashgan nuqtalar AB segmentining ichida joylashgan nuqtalar deb ataladi, A va B nuqtalar AB segmentining uchlari.
Boshi O boʻlgan nur O.ning bir tomonida yotgan toʻgʻri chiziqning barcha nuqtalari toʻplamidir.
Burchak - bu har xil to'g'ri chiziqlarda yotgan, kelib chiqishi umumiy bo'lgan ikkita nurning birikmasidir.

Uchinchi guruh (tenglik aksiomalari (kongruensiya)). Ular chiziq segmentlari va burchaklarining tengligini aniqlaydi.

Berilgan nuqtaning berilgan tomonida berilgan to'g'ri chiziqda siz berilganiga teng bo'lgan segmentni va bundan tashqari o'ziga xos tarzda kechiktirishingiz mumkin.
Alohida uchinchisiga teng bo'lgan ikkita segment bir-biriga teng.
Faraz qilaylik, qandaydir to'g'ri chiziqda B nuqtasi A va C nuqtalari orasida va qandaydir boshqa yoki bir xil to'g'ri chiziqda B1 nuqtasi ikkita A1 va C1 nuqtalari orasida joylashgan bo'lsin. Agar bu holda AB segmenti A1 B1 segmentiga va BC segmenti B1 C1 ga teng bo'lsa, u holda AC = A1C1
Ushbu nurning bu tomonida siz bu burchakni va bundan tashqari, o'ziga xos tarzda kechiktirishingiz mumkin.
Alohida uchinchisiga teng bo'lgan ikkita burchak bir-biriga teng.
A, B, C - bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta, A1, B1, C1 - bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta ham bo'lsin. Agar bu holda AB = A1 B1, ∠ BAC = ∠ B1 A1C1 bo'lsa, ∠ ABC = ∠ A1 B1 C1 bo'ladi.
To'rtinchi guruh (uzluksizlik aksiomasi).
Agar to'g'ri chiziqning barcha nuqtalari o'zboshimchalik bilan ikkita sinfga bo'lingan bo'lsa, birinchi sinfning har bir nuqtasi ikkinchi sinfning har bir nuqtasining chap tomonida joylashgan bo'lsa, u holda birinchi sinf eng o'ng nuqtaga ega bo'ladi (ikkinchisida esa yo'q). eng chap tomonda) yoki ikkinchi sinfda eng chap nuqta bor (va birinchisida eng o'ng tomon yo'q).
Obrazli aytganda, bu aksioma chiziqning teshigi yo‘qligini, uning uzluksizligini bildiradi. Darhaqiqat, agar raqamlar chizig'ida faqat bitta nuqta - nolga teng bo'lsa, qolgan nuqtalarga mos keladigan raqamlar ikki sinfga bo'linadi: salbiy va ijobiy. Va birinchi sinfda (salbiy raqamlar orasida) eng o'ng (eng katta) yo'q, ikkinchisida esa chap tomon yo'q.
Beshinchi guruh (parallelizm aksiomasi).
Tekislikda berilgan toʻgʻri chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali bu toʻgʻri chiziqni kesib oʻtmaydigan bir nechta toʻgʻri chiziqni oʻtkazish mumkin emas.
Beshta aksioma guruhidan chiqarilgan barcha teoremalarning yig'indisi Evklid geometriyasini tashkil qiladi.
Umuman olganda, bu geometriya turli aksiomatikaga (asosiy tushunchalar va aksiomalar tizimi) asoslanishi mumkin, ammo Evklid geometriyasidagi farqlariga qaramay, ular bir xil figuralarni o'rganadilar va bir xil xususiyatlarni oladilar. Geometriyaning aksiomatik qurilishi bir xil qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi:
1) ta'riflarsiz qabul qilingan geometriyaning asosiy tushunchalari ta'kidlangan;
2) geometriyani qurish uchun zarur bo'lgan asosiy tushunchalarning xususiyatlarini ochib beradigan aksiomalar tuziladi, ya'ni. aksiomalar mohiyatan asosiy tushunchalarning yashirin taʼriflaridir (aks holda asosiy tushunchalarning tabiati befarq). Aksiomalar tizimi bir qator shartlarni qondirishi kerak;
3) geometriyaning keyingi qurilishi quyidagi talablarga muvofiq amalga oshiriladi;
♦ har qanday geometrik tushuncha (termin), agar u asosiy bo'lmasa, asosiy yoki ilgari belgilangan tushunchalar orqali aniqlanadi;
♦ har qanday geometrik bayon (teorema, mezon, oqibat) aksiomalar yoki ilgari isbotlangan teoremalar asosida isbotlanadi.
Geometriyaning bu qurilishida chizmalar yordamchi rol o'ynaydi.
Evklid geometriyasida uzunlik, burchak, maydon va hajm tushunchalari bilan bog'liq bo'lgan figuralarning xossalari o'rganiladi. Shakllarning bu xossalari metrik deyiladi. Zamonaviy geometriyada figuralarning boshqa xossalari ham o'rganiladi. Shunday qilib, XX asrda. topologik xususiyatlarni tizimli o'rganish boshlandi, ya'ni har qanday deformatsiyalar (siqilish, kengayish, figuraning o'lchami va shaklining buzilishi) ta'sirida saqlanadigan xususiyatlar yirtilmasdan va yopishtirilmasdan hosil bo'ladi.