Shartli matematik kutilma va uning xossalari

Teorema (Kolmogorov – Proxorov). Butun qiymatli manfiy bo‘lmagan tasodifiy miqdor v ketma-ketlik {ξ_n,n ≥1} ga nisbatan kelajakka bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdor bo‘lsin. Agar
∞
k^∑=1P v( ≥ k E) ξ_k < ∞ (1)
bo‘lsa,
ES_{v k} . (2)
k=1
Agar ξ_k ≥ 0 bo‘lsa, (1) shart ortiqcha bo‘ladi.
Isbot. To‘la ehtimollik formulasi bo‘yicha
ES_v = ( v; = =) E S v( ; = n)= n=1 n=1
∞ n ∞
= n^∑∑= =1_k 1E (ξ_k,v = n)= _k^∑₌1E (ξ_k,v ≥ k) (3)
oxirgi tenglikda yig‘indilar tartibini almashtirish mumkinligini tushuntirishdan oldin (3) tenglikdan teoremaning isboti kelib chiqishini ko‘rsatamiz. Hodisa
{v ≥ k} = {v >k −1}
σ− algebra F_k,∞ dan bog‘liqsiz bo‘lgani sababli, u σ−algebra σ ξ( )_k ga ham bog‘liq bo‘lmaydi (chunki σ ξ( _k ) ⊂Fk,_∞). Shunga asosan,
E(ξ_k,v ≥k)= P v( ≥k E) ξ_k
bo‘lib, bu tenglik teoremani isbotlaydi. Yuqoridagi (3) tenglikda yig‘indilar tartibini almashtirish mumkin, chunki undagi qator absolut yaqinlashadi.
Haqiqatan ham, teoremaning shartiga asosan,
∞

E (ξ_k ; v = n)= ^∑E (ξ_k ;v ≥ k)= k= =1n k _k=1
∞
= k^∑=1P v( ≥ k E) ξ_k < ∞.
Agar ξ_k ≥ 0 bo‘lsa, oxirgi qatordagi hamma qo‘shiluvchilar manfiy bo‘lmasdan, unda yig‘indilar tartibini almashtirish doim mumkin bo‘ladi. Natija (Vald ayniyati). Agar ξ ξ1, 2,... tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan, v tasodifiy miqdor kelajakka bog‘liq bo‘lmagan bo‘lib, Ev < ∞ bo‘lsa,
ES_v = Eξ1 ⋅Ev . (4)
Haqiqatan ham,
Ev
n=1 k= =1k n k=1
va (4) tenglik (2) dan kelib chiqadi.
Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalaridan biri dispersiya tushunchasini keltiramiz.
Ta’rif. Tasodifiy miqdor ξ ning dispersiyasi deb
Dξ = E (ξ −Eξ)²
songa aytiladi.
Bu xarateristika tasodifiy miqdorning qiymatlari matematik kutilma
Eξ atrofida “tarqoqligini” yoki “quyuqligini” ifoda etadi. Mexanika nuqtayi nazaridan, dispersiya birlik massaning to‘g‘ri chiziqdagi taqsimotini inersiya momentiga teng bo‘ladi. Matematikada esa dispersiya tasodifiy miqdor funksiyasi
g(ξ)=(ξ −Eξ)²
ning matematik kutilmasi.
Bevosita hisoblab,
Dξ = Eξ² − ²Eξ ⋅Eξ +(Eξ)² = Eξ² −(Eξ)² (1)
formulani olamiz.
Dispersiyani
Dξ = minE(ξ −a)²
a
tenglik bilan ham aniqlash mumkin. Haqiqatan ham,
Dξ= +Eξ^{2 min}_a (a²−2aEξ)=Eξ²−(Eξ)²,
chunki
min(a² − 2aEξ)
a = Eξ bo‘lganda erishiladi. Oxirgidan ko‘rinadiki, a = Eξ son tasodifiy miqdor ξ uchun o‘rta kvadratik ma’noda eng yaxshi “baho” (taqribiy qiymat) bo‘ladi.
Misol 1. Tasodifiy miqdor ξ ning taqsimoti parametrlari (a,σ²) bo‘lgan normal zichlik funksiyaga ega bo‘lsin, ya’ni x
P x u,
1 ⎧

ϕa,σ2 ( )x = 2πσ exp⎪⎪⎨⎪⎪⎩−(x2−σa2)2⎪⎫⎪⎬⎪⎪⎭.
Yuqorida biz
D du

Oxirgi tenglik u ^{x a} almashtirish orqali olinadi. Bo‘laklab integrallashni bajarib
D ue
tenglikni olamiz. Demak, normal taqsimotning ikkinchi parametri σ² = Dξ ekan.