­щих эту сумму, минимизирует сумму квадратов модулей всех элементов матрицы

­щих эту сумму, минимизирует сумму квадратов модулей всех элементов матрицы .
Если матрица А невырожденная, то и, следовательно, сумма квадратов модулей элементов матрицы на матрице до­стигает своего абсолютного минимума. Матрица минимизирует эту сумму в случае произвольной матрицы А. Это обстоятельство также подчеркивает “похожесть^” псевдообратной и обратной матриц.
До сих пор мы рассматривали свойства псевдообратной матрицы как свойства матрицы псевдообратного оператора в естественных базисах. Многие свойства псевдообратной матрицы удобнее изучать, используя эквивалентное матричное определение.
Матрица является нулевой тогда и только тогда, когда является нулевой хотя бы одна из матриц или .
Пусть дана тхп-матрица А. Рассмотрим матричные соотношения
,
определяющие неизвестную пхт-матрицу X, где U и V — некоторые квадратные матрицы размеров и соответственно. Этим соотношениям удовлетворяет матрица и только она.
Определения псевдообратной матрицы эквивалентны.
Если матрица А имеет полный ранг, то

Отметим, что кроме указанных существует много других эквива­лентных определений псевдообратной матрицы. Доказательство эквива­лентности облегчается тем, что для псевдообратной матрицы известно матричное представление.
Пусть -матрица ранга . Существуют -матрица В и матрица С, такие, что гапк , гапк и А = ВС.
Разложение А = ВС называется скелетным разложением матри­цы А.
В скелетном разложении в качестве столбцов матрицы В можно взять любые базисные столбцы матрицы А. Тогда столбцы матрицы С состоят из коэффициентов линейных комбинаций, с помощью которых выражаются все столбцы матрицы А через базисные.
Если матрица А представлена своим скелетным разложением А = ВС, тAо
Л* = С'*(С'С*)^-1(В*В)-^гВ* =С*(В*АС*)~1 в*,
А* = С*В*, Л* = С^]В\
С¹ = С^СС*)-¹, В* = (В'В'г'В*
суть скелетные разложения соответственно для матриц Л*, Л^, С\ ВК